假若他日相逢-在青青的草叶上

六年级数学上册组合图形的周长和面积
例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积，


例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。
设圆的半径为 r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以 =7，
所以阴影部分的面积为：7-

例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的
面积，
所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，正方形面积减去圆面积，
16-π()=16-4π
=3.44平方厘米
例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方
形，
π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米
另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

=7-×7=1.505平方厘米
×-2×1=1.14（平方厘米）

1

例6.如图：已 知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积
多多少厘米？
解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）
π-π()=100.48平方厘米
（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）
例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)
正方形面积为：5×5÷2=12.5
所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米







(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)
例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面
积，割补以后为圆，
所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米
例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，
所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米

例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，
所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米
(注: 8、9、10三题是简单割、补或平移)

例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。
（π -π）×=×3.14=3.66平方厘米
解：


2

例12.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：三个部分拼成一个半圆面积．
π()÷２＝14.13平方厘米

例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解: 连对角线后将叶形剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.
所以阴影部分面积为：8×8÷2=32平方厘米

例14.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：梯形面积减去圆面积，
(4+10)×4-π=28-4π=15.44平方厘米 .
例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。
分析: 此题比上面的题有一定难度,这是叶形的一个半.
解: 设三角形的直角边长为r，则
圆面积为：π
=12，=6
÷2=3π。圆内三角形的面积为12÷2=6，
阴影部分面积为：(3π-6)×=5.13平方厘米

例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：［π＋π－π］
=π(116-36)=40π=125.6平方厘米

例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：上面的阴影部分以 AB为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直
角三角形，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。
所以阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米

3 < /p>

例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周长。
解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，
所以圆弧周长为：2×3.14×3÷2=9.42厘米


例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。
解：右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个
矩形。
所以面积为：1×2=2平方厘米


例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。
解：设小圆半径为r，4=36, r=3，大圆半径为R，
将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环,
所以面积为:π(-)÷2=4.5π=14.13平方厘米
=2=18,
例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。
解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形，
边长为2厘米，
所以面积为：2×2=4平方厘米

例22. 如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。
解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右
边一个半圆.
阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和.
π()÷2+4×4=8π+16=41.12平方厘米

4

解法二: 补上两个空白为一个完整的圆.
所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:π(
所以阴影部分的面积为:π()-8π+16=41.12平方厘米
)÷2-4×4=8π-16 < br>例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，，它们的公共点是该正方形的中心，如果
每个 圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？
解：面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积为：π
所以阴影部分的面积为:4π

例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中
的 黑点是这些圆的圆心。如果圆周π率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘
米？
-1×1=π-1
-8(π-1)=8平方厘米
分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去个圆，
这四个部分正好合成３个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆．
解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和．
为：4×4+π=19.1416平方厘米

例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
分析：四个空白部分可以拼成一个以２为半径的圆．
所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，
4×(4+7)÷2-π

例 26.如图，等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影
部 分的面积。
解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90度，到三角形ABD位置,
阴 影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积,
为: 5×5÷2-π÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米
=22-4π=9.44平方厘米
例27.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径

5

的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。
解: 因为2==4，所以=2



以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积，
π-2×2÷4+[π÷4-2]
=π-1+(π-1)
=π-2=1.14平方厘米
例28.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解法一：设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面
积,
三角形ABD的面积为:5×5÷2=12.5
弓形面积为:[π÷2-5×5]÷2=7.125
所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米
解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去小圆面积，其值为：5×5-π
π
=25-
阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：10×5÷2-（25-
平方厘米
π）=π =19.625
例29.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇 形BCD所在圆
是以B为圆心，半径为BC的圆，∠CBD=，问：阴影部分甲比乙面积小多少？
解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD，一个成为三角形ABC，
此两部分差即为：π





×－×4×6＝5π-12=3.7平方厘米

6

例30 .如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40
厘米。 求BC的长度。
解：两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC，一个为半圆，设BC长为X，则
40X÷2-π÷2=28
所以40X-400π=56 则X=32.8厘米

例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，
Q为正方 形一边上的中点，求阴影部分的面积。
解：连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，
两三角形面积为：△APD面积+△QPC面积=（5×10+5×5）=37.5
两弓形PC、PD面积为：π
所以阴影部分的面积为：37.5+
-5×5
π-25=51.75平方厘米
例32.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。
解：三角形DCE的面积为:×4×10=20平方厘米
梯形ABCD的面积为:(4+6)×4=20平方厘米 从而知道它们面积相
等,则三角形ADF面积 等于三角形EBF面积，阴影部分可补成圆ABE的
面积，其面积为：
π÷4=9π=28.26平方厘米
例33.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解:用大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2为半径的圆ABE面积，为
(π+π)-6
=×13π-6
=4.205平方厘米
例34.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：两个弓形面积为：π

-3×4÷2=π-6
7

阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为
π

+π-（π-6）=π（4+-）+6=6平方厘米
例35.如图，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求阴影部分的面积。
解：将两个同样的图形拼在一起成为圆减等腰直角三角形
[π÷4-×5×5]÷2
=（π-）÷2=3.5625平方厘米
例36.如图19－10所示，两圆半径都是1 厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方
形ABO
1
O的面积。
A
B


O O





解：因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的
面积相 等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。
所以
1
3.14×1
2
×
4
×2＝1.57（平方厘米）
答：长方形长方形ABO
1
O的面积是1.57平方厘米。

例37.如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。

C


II
6

D

I

B
A

E
4
19－14

解：我们可以把三角形 ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），
因为原大三角形的面积与后加上的 三角形面积相等，并且空白部分的两组三
角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。
6×4＝24（平方厘米）

答：阴影部分的面积是24平方厘米。

8

例38如图19－18 所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方
厘米，∠ABC＝30度，求阴 影部分的面积（得数保留两位小数）。

C
C
D

D


B
B
A
A
O
O

19－18

解：阴影部分的面积等于平行四边形的面积减 去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的
面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
60
扇形的面积：2×2×3.14× ≈2.09（平方厘米）
360
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
★组合图形的周长与面积练习题
圆的周长和面积(一)
【知识要点】：用剪拼移补的方法计算组合图形的面积
1、计算下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）
① ②
3 1
5

2、求下面图形中涂色部分的面积。（单位：厘米）
① ②
5 5
8

3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是5平方厘米，求圆的面积。
① ②
O


4、如下图示，AB＝4厘米，求涂色部分的面积。


9
3

A O B



5.求阴影面积



← 15厘米 →
6、如下图所示，一个圆的周长是15.7厘米，求长方形的面积。



圆的周长和面积(二)
一、关键问题：
对于组合图形的面积，可以通过把其中的部分图形进行平移，翻折或旋转，化难为易。
二、典型例题：
（一）基础部分：
1、例1、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。


O
1

O
2厘米 3厘米


2、例2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）



6

6

6

3、例3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）



4
（二）拓展部分：
o
1、例1：两条细绳各自牢牢地绑住如（甲）（乙）两图所示 的卷筒纸，每个卷筒纸的半径
是10㎝。请问这两条细绳的长度分别是几厘米？

10

（甲） （乙）

三、热身演练：
（一）基础练习：
1、如图：正方形的边长是5厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？

o


5

2、求阴影部分的周长。

2
o
3

45º


3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）

6

6

6


4、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）


4



4
(二)拓展练习：
1、有7根直径都是2分米的圆柱形木 棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米
长的绳子？（打结用的绳长不计）





2、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，（如图），试求金属带的长度。




3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。


6

11

4 、下图：大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系？如果小圆的直径分
别是3厘米、1 厘米、4厘米、2厘米。请求出大圆直径上所有小圆的周长之和，以及大
圆的周长。

5、下图：小圆的周长是12.56厘米，环形的宽度是2厘米，请求出环形的面积。


6、下图：长方形的长是6厘米，宽是3厘米。请求出阴影部分的面积。

7、下图：大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，请求出阴影部分的面积。



8、求出下图阴影部分的面积。



9、求出下图阴影部分的面积。

12

10、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。阴影部分占正方形的百分之
几？


11、下图是由两个边长是5厘米正方形的拼成长方形，请求出阴影部分的面积。

12、下图正方形的面积是8平方厘米，画出其对称轴，并求出阴影部分的面积。



13、下面正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。



14、根据上图，以及上图的条件求出阴影部分的面积。
15、下图：圆的周长是25.15厘米，请求出阴影部分的面积。


13

16、下图：直角三角形的两直角边分别是8厘米 ，6厘米，斜边是三角形周长的
阴影部分的面积。

5
，求出
12

17、下图：正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。


18、 如图8，已知EO=8㎝，求阴影部分的周长和面积。


19、 如图10，求阴影部分的周长和面积。（单位：㎝）

20、如图11，求阴影部分的面积及阴影弧线长的和。（单位：㎝）

21、 如图12，已经半圆的直径为10㎝，求阴部分的面积及阴影弧线长的和

14

。
22、如下图，已知AB=12厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的 面积大12平方厘米。
求BC的长是多少厘米？

23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。（单位：㎝）

24、如下图，已知AC=CD=DB=2㎝，求阴影部分的周长和面积。

25、已经半圆的直径为9㎝，求阴影部分的面积。


26、如下图，求阴影部分的周长与面积。（单位：㎝）


27、如图所 示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）
的面积与阴影部分（ 2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
C


15

1
B

A


2

C
D


28、如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。
A



D


C
B
8


29、如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。




A
c
B




30、如图所示，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）

C

3

D


○
45

A B

7
31、如图19－16所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。
C




F
D

38

A
B
19－16
E

32.图19－1 7是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分
的面积（单位：厘米）。





40
30

16

5
120

19－17
33、如 图19－19所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方
厘米。求 阴影部分的面积（得数保留两位小数）。



34、如图19－20所示 ，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：
DC＝3：1。求阴影部分 的面积。







35、如图19－21所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。




C
A
A


5.2

O
O
B
○
○
30

60
B
A 12

B C
19－21

D
19－20
19－19



三角形面积计算
【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=23B C，求阴影部分
的面积。


【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角 形AEF的面积无法
直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高） ，
采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=23BC，所 以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S
△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△
DCF＝8÷5 ＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2
（平方厘米）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面
积。




17

2． 如图所示，AE=ED，DC＝13BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影
部分的面积。




3．如图所示，DE＝12AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方 厘米。求三角
形ABC的面积。








【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三 角形的面积，
求另两个三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的 2倍，且高相等，可知：BO
＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO 等于
6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的
面积为6÷2 ＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：△AOD的面积是3。
练习2：
1． 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求
另两个三角形 的面积是多少？







2．已知AO＝13OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。








18

3． 已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面
积。（如 图所示）。






【例题3】四边形AB CD的对角线BD被E、F两点三等分，且四
边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的 面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等< br>底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD
的面积也相等。由此可 知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3
倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍， 从而得出四边形
ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角 线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（ 如图）。






2．已知四边形ABCD 的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求
四边形ABCD的面积（如图所 示）。







3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。






【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形 ABCD的面积
是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE 。根据三角形等底等高面积相等的性质，
可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4， 类推可得每个三角形的

19

面积。所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。


2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。




3．已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所
示）。







【例题5】如图所示，长 方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面
积是4，求三角形ABC的面 积。
【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE
后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积
的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形
AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三 角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角
形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍 ，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所
以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5 。
练习5：

1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形AD F的面积为5平方厘米，三角
形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。






2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平 方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方
厘米，求三角形AEF的面积。



20

< br>3．如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的
面积均为4平方 厘米，求三角形AEF的面积。
简单几何体的表面积与体积的计算
一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由
六个全 等的正方形组成的，见图6—1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六
个两两彼此全等的长 方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，
还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得< br>到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底

21

面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6 —3就是圆柱的平
面展开图。

4.（直）圆锥体
沿圆锥体的一条母 线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面
展开图。它是由一个半径为圆锥体的母 线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个
圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开
图。 具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体
2
正方体的表面积=6×a
3
正方体的体积=a（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh

22

圆柱体的全面积=2πRh+2πR=2πR（h+R）
2
2
圆柱体的体积=πRh（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
2
圆锥体的全面积=πRl+πR

母线长与高）。
三、例题选讲
例1 图6—5中的几何体是一个正方体 ，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、
（c）也是这个正方体的平面展 开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：从图6—5和图6—6中可知：
置上。只要在图6—7
与；与；与互相处于相对面的位


23

（a）、（ b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白
面上的图案便可 以补上。
先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。
再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。
最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。
图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体 上四点A、P、Q、
C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点 ，请在此长方体的平面展图
上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。
分析与解：只要能正确 画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，
就是题目中所要标出 的线段AC、CQ、QP、PA。

24

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体 的
侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？
分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开 铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕
圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图 的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而
两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面 展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—
13。

例4 图6—14中 的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为
2厘米，深为1厘 米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？

25

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有 被打透。这一来打孔后所
得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧 面积、这六个圆柱的高
为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：（略）
例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
分析与解 ：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，
所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积< br>也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以

上面的表面积为12×9=9（平方厘米）
前面的表面积为12×8=8（平方厘米）
左面的表面积为12×7=7（平方厘米）
几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
答：（略）

26

例6 图6—16中所示图形，是 一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个
底面直径为6厘米，高20厘米 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π
=3.14）
分析与 解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底
面与玻璃 杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱
的高就是水 面下降的高度。
因为圆锥形铅锤的体积为

2
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截 成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆
钢的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段
表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：
2
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）
=2πx+4π

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根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：2πx+4π=75.36
解方程：

2

圆钢的体积为π×（2÷2）×10≈31.4（立方分米）
答：（略）。


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