审理-被告

学生如何学习乘除法
一些教师认为，乘、除法是小学生学习了加减法后再学习的一种数 学
运算，当学生学习使用乘除法时，他们推理能力没有大的改变，对于
这种观点，皮亚杰和他的 同事提出了质疑。皮亚杰等认为，儿童在理
解乘除法过程中，他们的数学系思维发生了重要的变化，学习 乘除法
应该使小学和数学思维产生一次新的飞跃，通过学习乘除法，小学生
不仅学会了运算技能 ，而且拓展了学生的数学视野和应用数学的空
间。
一、乘除法和新的数学情境
乘法 的基础是什么？加法在某种程度上构成了乘法的基础，这种说法
无疑是对的，因为解决向乘法运算的方法 之一就是通过重复做加法，
你可以将270加三次而得到270×3的答案，除法和减法也有类似的关< br>系，计算270÷90也可通过从270中连续减去90直到差为0。
但是，如果将乘法看成一 种复杂的加法，将除法看成另一种形式的减
法，这是不对的，原因之一是乘除法比简单的加减法需要更多 的数学
理解，儿童必须了解一套完整的新知识的含义，他们必须以新的思维
方式进行思考，另一 方面我们把“经验”作为小学数学的基础，就不难
发出错乘除法和某些学生生活情境紧密联系，这些情境 是小学生理解
乘除法知识的基础。在本节中我们将介绍产生乘除法的三种具体情
境。
1．“一对多”的情境
一对多的情境指一个与多个相对应的现象，这是三咱情境中最简单和< /p>

最基本的一种，日常生活中的这种例子比比皆是，如，1辆汽车有4
个轮子（1与 4对应），那么3辆车有多少个轮子？结果为4乘3得
12，1个桌子能坐6个人（1与6对应），那么 5张桌子可以坐多少人？
等等，从一对多情境出发，乘法有以下重要意义和特点。
第一，乘法 表示两个集合之间的一与多相对应的恒定关系，这种一个
与多个相对应的恒定关系在生活中普遍存在，它 的基础上一个新的数
学概念，这就是“比率”，为了保持这种对应关系，如一辆汽车对应四
个轮 子，每将一辆汽车加入汽车集合，我们就必须将四个轮子加入到
轮子的集合，也就是说，我们必须加放不 同数目的物体到不同的集合，
这种方法与加法运算的思维方法上具有本质区别，为了使一个比率保
持不变，不是像加减法运算中将数“分”与“合”，而是同乘一个数或同
除一个数。
第二， 附着学生头脑中有关“比率”意义的发展，另一种亲的数学意义
逐渐为他们所认知，例如，如果我们刚开 始有1辆车4个轮子，重复
6次后，即4乘以6。“6”就是重复次数——称为乘数（因数）。一个乘数既非车的数目也非轮子数目，它不是针对物体的数目，而是针对
同种类型两个集合数目的重复次 数，“6”表示这种关系：1→6辆车和
4→24个轮子，为使比率保持不变，同一个乘数要同时对两个 物体的
集合产生作用，乘表示也变化过程一种确定的关系，数的含义与加减
法中数的含义有所不 同，这种新数学意义的产生据有关部门拓广了学
生的数学眼界和思维天地。
一与多的情境涉及 到两个新数学意义，一是比率，二是乘数，无论是

比率还是乘数，都和学生以前所认识的 数不一样，两个数都与测量单
位无关，它们不是对现实物体数量概括，而是说明数之间的关系，学
生的数学思维涉及到不仅是对虾的概括，而且涉及到数与数之间关系
的概括，这是一个重要的飞跃。
2．两个变量“共变”的情境
乘除法中蕴涵着变化的思想，共变现象是指在一个情境中，一个 量变
化，另一个量也发生相应的变化。在日常生活中，会发生两个或两个
以上的变量一起变化的 情境，这种变化具有因果关系，因果关系指的
是一个变量对其他变量的影响，例如：1千克糖的价格是4 .60元，则
0.5千克糖的价钱就是2.30元，2千克糖的价格是9.20 元，糖的数量
与总价发生了“共变”，又如，在一根弹簧的下端挂上20克的重物，
弹簧就会被拉长15厘米，如果挂 上10克的重物，弹簧就会被拉长
7.5厘米，重物的重量与弹簧的长度发生了“共变”，共变是几代人 上
变量的和种有规律的变化现象，在共变现象中，学生逐步体会了数量
的有规律的变化，他们会 逐步体悟一些不同的数学观念。
以上两个例子的相同点是，当解决有关两个变量的关系问题时，都运< br>用了扩大倍数和缩小倍数的方法，在共变现象中，隐含了“倍数”的含
义，倍数是学生的一种生活 经验，如果你要买２０倍重量的糖，就应
付２０倍的钱，两个变量之间的关系并不会因为数量、倍数的增 加而
改变。
当论及糖的价钱时，我们就会提到“每千克糖的价格”。“价格”这个量
既不是实际的价钱，也不是实际的重量，而是价钱与重量间的一种关

系，当重增加时，价 钱也会增加，但“每千克糖的价格”是不变的，数
量之间的对应关系可以表述为：两个因数和有关两个变 量的第三个变
量，倍数、价格等都是第三个量。
共变现象还应包括多变量（两个变量以上）的 形式，例如，农民在农
场里生产牛奶所赚的钱取决于许多变量——农场所拥有牛的头数，每
天每 只牛产牛奶的平均量，天数，还有牛奶的价格，不把这所有变量
考虑在内，农民就不可能估计出他的收入 ，很明显，涉及多变量的比
例的问题更加复杂。
3．平分的情境
平分的活动为学生 提供了包括乘法推理的另一种情境，平分包括在一
组受领人中平均发一组东西，例如，把20粒糖果平均 分给4个学生，
虽然也和加减法一样，平分活动涉及部分与总体之和，每一部分不需
要相等，平 分活动中虽然也包括部分—整体的关系，但是要考虑三个
因素：全体的大小，分为几部分和每部分的大小 ，每部分必须相等，
如果有20个糖果（整体）分给4个孩子（4部分），则每个孩子有5
个糖 果（每部分的大小，或数量）。因此，平分活动是一种新的数学
情境。
对于平分活动的描述也 许会联想到一对多的情境，但是儿童对这两种
情境的想法是不一样的，平分对于儿童说来是一种很生动的 活动。小
学生在思考这种活动时心理过程和一对多情境是不一样的。在平分
中，孩子们需要逐渐 地了解三个变量之间的关系，糖果的总数、孩子
的总数和每个孩子的糖果数，如果你保持孩子的数量不变 ，并且增加

糖果数，则每个孩子得到的糖果数会增加；但是，如果你保持糖果数
不变，并且增加孩子的数量，则每个孩子的数会减少，糖果的总数和
每个孩子的糖果数之间有直接的关系 ，但是孩子的数量和糖果的数量
之间则是反比例的关系。研究表明，学生对这种反比例关系的体悟（不< br>是掌握！）是理解除法的重要内容，了解这种反比例的关系是越过简
单的平分行为去理解除法含义 的基本步骤，概括起来，平分情境是学
生理解除法概念的经验基础，这种活动使学生进一步深入理解了部 分
—整体的关系，这种关系和加法的部分—整体的关系是不同的。
当平分活动在一组或一个目 标中连续进行时，我们称为“连续分割”
或“连续分配”。例如，一个被一分为二的巧克力蛋糕，如果对 每块进
行再次分割，将会有4块，这三次分会有8块，第四次分会有16块，
我们能容易地看出 ，在这种情境中，有三种数的含义，分割（或分配）
的次数，每次分配的份数，和每部分的大小，我们分 了四次，每次分
为两部分，每块是全体的116，平分或者连续分配的活动产生了一个
表示变化 比率的新的数（商数或者分数）。
总之，并不能说乘法仅仅是加法的重复，除法仅仅是减法的重复，显
然，加法和乘法是有必然联系的，同样，减法和除法也是有必然联系
的，乘法和除法的实际计算 结果也可以由连加或连减导出，但是，我
们必须注意，乘除法与学生生活经验相联系，在乘除法推理中出 现了
新的数学观念，小学生在乘除法的三种情境中，逐步发展其乘法推理
能力，在小学生学习乘 除法过程中，教师应该充分向学生提供这些重
要的情境，有目的地让学生开展多种活动，使学生有机会在 学习乘除

法过程中发展数感和数学思考的能力，而不是仅仅掌握运算技能。
二、小学生对乘除法问题的理解：乘法推理
学生对乘除法理解的核心是他们乘法推理能力的发 展，在这一过程中
学生的逻辑思维能力得到了锻炼，乘法推理也称为增倍推理，它是指
学生运用 倍数的概念进行正向和逆向的应用性推理，增倍推理有很多
不同的水平层次，实际上，儿童很小的时候就 在这一方面迈出了第一
步。
1.儿童何时产生乘法推理
儿童的增倍推理是怎么开始 的？皮亚杰认为：儿童最初的乘法思想来
自对应思想在推理中的运用。他推测，一个小孩子如果能理解一 对一
法则，就能掌握一对多法则，换言之，如果一个5-6岁的儿童明白：
若A=B，且C=B ，则A=C，那么他们就应该也能理解若A=2B，且
A=C，则C=2B。
皮亚杰调查了儿 童理解一比一的对应和多组事物间的一比我的对应，
他先让儿童在10个花瓶中插花，每个瓶中插一朵蓝 色小花；然后，
粉色花也取出并成一束，这样，儿童就知道蓝花数（A）等于花瓶数
（B），并 且粉色花数量（C）也等于花瓶数，但是，蓝花和粉色花大
小不同，这样儿童不能通过视觉轻而易举地对 比出两种花的数量。儿
童只有理解了一比一的对应才能得出两种花的数目相等。
据皮亚杰说， 儿童对这个问题的反应有两种：一种是儿童能够发现两
束花的数目相等，并且理由是花和花瓶构成对应， 另一种是儿童不能
发现数目相等过一事实，接下来，皮亚杰给这些儿童第二个任务，这

< br>个任务需要有这样的推理：若 A=2B且C=A，则C=2B，接着问这些
儿童，如果把那些粉 色和蓝色的花都插回花瓶，并且每个花瓶的花一
样，会出现什么结果呢？每个有多少朵花？如果儿童没有 弄清花（A）
和瓶（B）的关系，他们可以动手把花插回花瓶来看看，他们会发现，
每个瓶里有 两朵花（A=2B）。
这时，儿童的反映有三种。第一种反应是，一些儿童没料到每个瓶内
有 两朵花，因此他们没能理解瓶子和花之间的一比二的对应关系。第
二种反应是：儿童知道每个瓶内的两朵 花，但他们没想到瓶子的总数
与花的总数之间是一比二的关系。第三种反应，按皮亚杰所说的，就
是意识到1对多的关系，根据这一反应，皮亚杰认为：5-6岁的儿童
已经能理解倍数关系的一些特征 ，当然在这些问题上并不要求儿童求
和，也就是说，儿童根据生活经验获得对乘法推理的理解，这种现象
在5到6岁就开始了，这也进一步说明，乘除法与学生的生活经验丰
富有密切的关系。
2．小学生如何解决乘法推理问题
解决问题是学生运用和展示数学思维能力的重要途径，心理 学家斯特
芬（Steffe,L.）调查了8岁小学生怎样解决乘法问题，结果发现学生
思维的 核心是运用“倍数”解决问题，他让一些物件被放在一对多关系
中，而小学生却只能看到其中的一部分， 例如，有六排小车，每排三
辆，其中只有一排是看得见的，另五排被遮了起来，他问儿童：我们
的有六排小车，每排三辆小车，那么共多少辆？斯特花发现，解这种
问题的小学生会指着第一辆小车，数 出对应的六排：他们边在桌上点

着小车，边数着落6，12，18。斯特芬说明，小学生 在解题时每一辆
可见的小车都用以代表一个6的整体。这说明，学生已经能运用乘法
推理解决日 常的数学问题，他还说并非所有8岁的儿童都形成了这样
的倍数运用技巧。
斯特芬又提出如下 更为复杂问题：一个女同学有3条不同的裙子，4
件不同的衬衫，更换她的裙子和衬衫，她能有多少种穿 法？这类问题
是比较典型的一对多问题，在国外常被称为“笛卡尔乘积问题”
（Cartesi nan product problen）。斯特芬发现，小学生解这种问题往往
比其他的一对多的问题难得多。
在另 研究中，Bryant等在观察了32名8岁和9岁的小学生解四道乘
法题，其中两道是简单的一对多关 系问题，另两道是笛卡尔乘积问题，
在给儿童呈现问题的同时，也给他们一些用来解决问题的具体材料。
例如，有一个笛卡尔乘积问题，它要求儿童算出通过改变6条短裤和
4件T恤衫能有多少种搭配 方法，研究者就给儿童不同颜色的短裤和
T恤衫，让他们尽量想出解决办法。
这个研究的结果 表明，当拥有整套材料辅助时，大多数八九负儿童能
解答简单的一对多关系问题，但现当他们没有这些材 料，而需要通过
推理来解题时，小学生回答正确的人数不到一半，在解决笛卡尔乘积
问题中，没 有用具体材料的辅助，对他们解决问题具有重要意义。儿
童解决一对多的对应关系的问题的能力表明解决 问题绝对的数字要
比有使用一些具体的情境难得多。具体情境可以帮助学生思考，但在
学生发展 的一定时候，问题可以逐步抽象化。

上述研究结果对我们如何进行乘法内容的教学具有 一定启示。首先，
如果要使小学生有一个良好的对乘除法的理解，在他们解乘除法问题
的之前， 可以让他们在教室中谈论并钻研这些关系，在具体的还必须
境中体悟这些关系，而不是马上进行定量化的 解题，这将提高小学生
对于一对多的对应关系的意识，第二我们可以让小学生通过实物操作
来解 决问题，可以用实物模拟境，使他们对乘除法进行充分的描述，
建议有关的表象，逐步使他们形成乘法推 理能力并以此来思考问题，
当然，最后还是要让学生通过抽象推理来解决问题。
三、与乘除法有关的数学思想的发展
1．体验函数的思想
小学生在学习乘除法时， 对函数关系会有一定的体验，一般说来，小
学生还不能理解函数关系，但是在小学数学教学中，渗透有关 思想是
必要的，比例关系就是一个特殊的函数，对小学生来说，需要考虑变
量之间实际上如何的 ，这样才能初步体会函数关系，小学生对函数的
理解，并不是符号化的理解，而是在现实活动中的体验， 小学生关于
函数的体验是在日常的数学生活实践的基础上获得的。它和问题情境
紧密相关，例如 ，学生可以在价格与数量的关系中体验到函数思想，
是因为他们对这种情境比较熟悉，对于小学数学教学 来说，学生对函
数思想的体验是一种重要的过程性目标。
2．体验比例关系
比例是 小学生在日常生活中可以获得较多体验的一种函数关系，和函
数问题一样，小学生是在现实问题中体验比 例关系的，在学生的生活

中，实际上有对“比例认识的经验，如买1千克糖果10元钱， 买2千
克糖果20元钱，买3千克糖果则要30元钱，高年级的小学生甚至还
有了对”反比例“ 认识的经验。但解决这些问题的计算方法不是很简单
的，许多学生会感到困难，这些困难，实际上形成学 生学习代数知识
的动力。
3．理解“不变量”
我们强调总价和数量这两个变量发生 变化时，每千克价钱保持不变，
如果你买5千克的马铃薯，花的钱和得到的马铃薯要比你买3千克时都多，每千克的价钱是一样，每千克的价钱反映了购买数量与价钱之
间的关系，像这样的量我们称为 不变量，小学生在他们生活经验中对
不变量有较多的体验，但是在不同的情境中，小学生反应是有所不同
的。在某一些情境中，小学生仍然不能理解。教师设计多种不同的情
境让学生加深理解是必要的 ，例如，浓缩桔子汁中的不变量问题，研
究表明，小学生虽然对内容极其熟悉，但仍然不能理解其中的不 变量。
四、学生运算和解决问题策略的发展
在学生学习乘除法时，由于运算手段的增加，学 生运算策略也在不断
地发展，这些运算策略包括估算、口算等，同时，小学生逐步形成了
一些较 广泛的问题解决策略，这些策略性知识的发展对于小学生数学
能力的提高是有促进作用的。
1．估算策略
数学教育界一致认为，“估算是一个相当重要的数学技能，我国数学
教 师在培养学生估算方面积累了许多经验，估算和学生的思维活动紧

密相关，学生在计算中 涉及合理猜测，对运算结果范围的估计以及灵
活运算等活动，估算在一定程度上反映出学生的数学能力， 对于学生
的思维有一定促进作用，不仅如此，估算还涉及到学生反思与自我监
控的学习品质，例 如，学生先估算一个问题的答案，然后将此估计值
与他实际计算所得的答案作比较，便能够察觉出错误并 加以更正。
估算具有重要的应用价值，是学生应该具有的一种重要的计算技能。
随着计算技术 的进一步发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，
一个人的日常活动中对应付的钱数的估计，对家庭 收入和支出的估
计，对城市流动人口的估计等等，往往都是用估算的方法，在小学数
学计算教学 中，与估算有关的内容很多，如估计商的近似值、试商、
估计小数乘法的结果、用估算进行验算等。 < br>学生在估算中使用什么策略呢？小学生最常使用的三个策略分别是：
简约、转换及补偿，这三种策 略涉及了小学生在运算过程中的分析与
解决问题的思维过程。
估算中，学生往往首先会想如何 简化问题，学生进行简化往往反映出
一种估算的意识，对一些小的方面忽略不计，在简约的策略中，学生
首先会把数简化成比较简单的形式，例如77338可以简约为77000，
其次，学生会应用 转换策略使问题进一步简单化，举例来说，当要估
算一个如下所示的加法问题的答案时：
503+492+487
一个好的估算者可能会把该问题转换成一个乘法形式的题目，小学生
会想“500乘以3是1500，所以答案应该差不多是1500”。

再次， 小学生在使用补尝策略时，会做出一些调整，来补尝前面运算
中的不足，使运算比较准确，比方说在“5 03+492+487”这一问题中，
小学生可能会说：“答案应该是500乘以3，大约是1500， 而且会稍
小于1500，因为我在将每一个数字简化成500时，用加的部分比用
减的部分更多 一点。”事实上，学生应用这些策略的过程涉及到多种
数学思维，在学习计算时发展学生估算意识和策略 是必要的。
2．口算策略
“口算”指的是可以不必用纸笔，而在脑中便直接进行计算的方法 ，一
些好的估算策略也常被作为口算的策略，如“简化、转换和补尝”等都
是重要的口算策略， 但是，在口算中，计算的目的是要得到一个精确
的答案，而非只是一个约略的估算。
口算也称 为心算，在计算能力中占重要的位置，口算是笔算的基础，
笔算能力是在口能力的基础上发展起来的，口 算的熟练，特别是基本
口算的熟练，对于笔算具有重要的作用，口算在日常生活中也有一定
的用 途，例如，学生在进行购物活动时就要进行一些口算，另外，口
算还有利于促进儿童注意力、记忆力的发 展的功能，有利于发展小学
生的思维的灵活性和创造性。
对于小学生的口算来说，核心的内容 是基本口算，小学生是如何学习
基本口算呢？Hope和Sherrill在1987年研究了熟练与不 熟练口算者
之间的差别，首先，他们设计一个口算测验，让每一个小学生都去解
这些新口算乘法 题目，例如：25×32，25×220等，参与研究的小学生
不用纸笔去解题，而是口算得出结果，然 后他们必须解释自己是如何

解题的，事后Hope和Sherrill分析这些解释，发 现小学生们解题过
程中采用了四种主要的策略。
第一种策略是“类似笔算的口算”。这种口算 方法是一套类似于直接使
用纸笔的笔算，其中的计算程序和笔算程序完全一样，只不过这一过
程 放在小学生的头脑中进行。
第二种策略是“运用分配律”，小学生在口算中使用了分配律的计算方法，具体的方法是，第一步将某个因数转换成两个数的和或差，第二
步再用分配律来计算答案，然后 再算出结果，例如，计算7×5220，
小学生头脑中会想“7乘以5000，加上7乘以200，再加 上7乘以20，
就可以得到结果”。
第三种策略是“分解因数”。学生在口算中把一个因数分 解成积或商，
使计算比较简便，例如：计算225×8，就可以变成15×15×8，再变成
1 5×15×4×2，再应用交换台律，很容易得到结果。
第四种策略是“直接提取”，有一些计算问题 ，在学生的头脑中已经有
现成的答案，他们可以在长期记忆中提取有关数学事实。学生在记忆
中 提取一个数目的乘积，例如，计算25×25，学生会这样想“等于625，
我记得答案。”
口算不熟练的小学生几乎完全依赖第一种策略，运用笔算式的口算，
相反地，熟练的学生较少用到这个策 略，熟练的学生通常较喜欢使用
分配律策略和分解因数策略，熟练的学生相对不熟练的学生而言，前者比较偏好直接提取数学事实，而不熟练的学生难以做到。例如，大
部分熟练的学生都可以从长期记 忆中提取“15×15=225”这个事实，但

许多不熟练的学生却无法提取这个数字性 事实。
小学生学习了乘除法后，面对的解决问题的情境更加多样化了，他们
解决应用题的策略 也得到了重要发展，小学生在解决问题策略的形
成 ，对于他们数学能力和数学思维的发展具有重要作用 ，有关于小
学生这些策略的发展，我们将在第九章加以讨论。