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容斥原理公式及运用
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重 复计算，研
究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包
含于某 内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目
排斥出去，使得计算的结果既无遗 漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原
理。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、B两类，那么，先 把A、B两个集合的元素个数相加，
发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图 所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并
且有4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人
数学得满分人数→A，语文得满分人 数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，
至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4 =23，共有23人至少有一门得满
分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集 合的元素个数相
加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2
次 。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复< br>计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-
（A∩ B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：


【示例2】某班有学生45人， 每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25
人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人， 足球、排球都参加的有12
人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参
加的有多少人
参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A ∩
B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→
A∩B∩ C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A- B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-
22-24+12+9+8=3人。