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容斥原理


知识结构

一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地
把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个
数，用式子可表示成：
A
的意思；符号“
BABAB
(其中符号“”读 作“并”，相当于中文“和”或者“或”
”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包 含与排除原理，简称容
B
，斥原理．图示如下:
A
表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
A
即阴影面积 ．图示如下:
A
表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大 圆与小圆的公共部分，记为：
A
即阴影面积．
B
，
1．先包含——
AB

重叠部分
AB
计算了
2
次，多加了
1
次；
2．再排除——
ABAB

把多加了
1
次的重叠部分
AB
减去．


包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、B
的并集
AB的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合
A、B
的 元素个数，然后加起来，即先求
AB
(意思是把
A、B
的一切元素都“包含 ”
进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题
A类、
B
类与
C
类元素个数的总和
A
类元素的个数B
类元素个数
C
类元素个数

既是
A
类又 是
B
类的元素个数

既是
B
类又是
C
类的 元素个数

既是
A
类又是
C
类的元素个数

同时是
A
类、
B
类、
C
类
的元素个数．用符号表 示为：
ABCABCABBCACABC
．图示如下：
奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page1 of 10

图中小圆表 示
A
的元素的个数，中圆表示
B
的元素的个数，
大圆表示
C
的元素的个数．
1．先包含：
ABC

重叠部分
AB
、
BC
、
CA
重叠了
2
次，多加了
1次．
2．再排除：
ABCABBCAC

重叠部分
ABC
重叠了
3
次，但是在进行
ABC
ABBCAC计算时都被减掉了．
ABCABBCACABC
．

3．再包含：


在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．


例题精讲

【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有
28
人，参加数学兴趣小组的有
29
人，有
12
人两
个小组都参 加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
AC
B






【巩固】 芳草地小学四年级有
58
人学钢琴，43
人学画画，
37
人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画
画的分别 有多少人？
A
CB






【例 2】 某班共有
46
人，参加美术小组的有
12
人，参加音乐 小组的有
23
人，有
5
人两个小组都参加了．这
奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page2 of 10

个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？





【巩固】 四年级一班有
45
人，其中
26
人 参加了数学竞赛，
22
人参加了作文比赛，
12
人两项比赛都参加
了 ．一班有多少人两项比赛都没有参加？





【例 3】 对全班同学调查发现，会游泳的有
20
人，会打篮球的有
25
人．两项 都会的有
10
人，两项都不
会的有
9
人．这个班一共有多少人？ < br>会游
泳的
两项
会打
都会
篮球的
的
两项都不会 的


【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有
32
人，参加军棋比赛的有
28
人，有
18
人两项比赛
都参加了，这个班 参加棋类比赛的共有多少人？
两项
比赛
都参
加的
只参加
象 棋比
赛的
A
只参加
围棋比
赛的
B


【例 4】
47
名学生参加数学和语文考试，其中语文得分
95
分 以上的
14
人，数学得分
95
分以上的
21
人，
两 门都不在
95
分以上的有
22
人．问：两门都在
95
分以上 的有多少人？
语文
95分
以上
的
A
两门
95分< br>以上
的
数学
95分
以上
的
B
两门都不在95 分以上的


【巩固】 有
100
位旅客，其中有
10人既不懂英语又不懂俄语，有
75
人懂英语，
83
人懂俄语．问既懂英语
又懂俄语的有多少人？
奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page3 of 10

【例 5】 一个班48
人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学
作 业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有
37
人；做完数< br>学作业的有
42
人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？





【巩固】 四年级科技活动组共有
63
人．在一次剪 贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老
师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有< br>42
人，装配好一架飞机模型的同学有
34
人．每
个同学都至少完成了 一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？





【例 6】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有
34人，手中有黄旗的
共有
26
人，手中有蓝旗的共有
18
人．其中 手中有红、黄、蓝三种小旗的有
6
人．而手中只有红、
黄两种小旗的有
9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有
4
人，手中只有红、蓝两种小旗的有
3
人，
那么这个班共有多少人？










17
人爱打排球，
19
人爱踢足 球，
9
人既爱打篮球又爱踢足球，【巩固】 某班有
42
人，其中
2 6
人爱打篮球，
4
人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人 三种球都不爱好．问：既
奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page4 of 10

爱打篮球又爱打排球的有几人？





【例 7】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了 语文小
组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参< br>加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参
加数 学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．





【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴 趣小组，35人
参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有1 2人，参
加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、
美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．






【例 8】 在某个风和日丽的日子，
10
个同学相 约去野餐，每个人都带了吃的，其中
6
个人带了汉堡，
6
个
人带了鸡 腿，
4
个人带了芝士蛋糕，有
3
个人既带了汉堡又带了鸡腿，
1个人既带了鸡腿又带了
芝士蛋糕．
2
个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：
⑴ 三种都带了的有几人？
⑵ 只带了一种的有几个？






【巩固】 盛夏的一天，有
10
个同学去冷饮店，向 服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁
的各有
5
人；可乐、雪碧都要 的有
3
人；可乐、橙汁都要的有
2
人；雪碧、橙汁都要的有
2
人；三
奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page5 of 10

样都要的只有
1
人，证明其中一定有
1
人这三种饮料都没有要．





【例 9】 三个面积均为
50
平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是
10
平方厘
米． 三个纸片盖住桌面的总面积是
100
厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
A
10
B
C





【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别 为6，
8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．





【例 10】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于6 0平方厘米．阴影部分的面积
总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重 叠部分的面积是多少平
方厘米？





【巩固】 如图所示，
A
、
B
、
C
分别是面积为< br>12
、
28
、
16
的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，
露在外面的总面积为
38
．若
A
与
B
、
B
与
C
的公共部分的面积分别为
8
、
7
，
A
、
B
、
C
这三
奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page6 of 10

张纸片的公共部分为
3
．求
A
与
C
公共部分的面积是多少？
B
C
A




【例 11】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?





【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．





【例 12】 某班共有学生48人，其中27 人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至
少有多少学生这三项运动都会？





【巩固】 某班有
50
名学生 ，参加语文竞赛的有
28
人，参加数学竞赛的有
23
人，参加英语竞赛的有< br>20
人，
每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．





课堂检测

奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page7 of 10

【随练1】 四(二)班有
48
名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有
30
人，写完数学作业的有
20
人，
语文数学都没写完的有
6
人．
⑴问语文数学都写完的有多少人？
⑵只写完语文作业的有多少人？




【随练2】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行 ，参加围棋比赛的有
42
人，
参加中国象棋比赛的有
55
人，参加国 际象棋比赛的有
33
人，同时参加了围棋和中国象棋比赛
的有
18
人 ，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有
10
人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的
有
9
人，其中三种棋赛都参加的有
5
人，问参加棋类比赛的共有多少人？





【随练3】 一个长方形长
12
厘米，宽
8
厘米，另一个长方形长
10
厘米，宽
6
厘米， 它们中间重叠的部分是
一个边长
4
厘米的正方形，求这个组合图形的面积．





家庭作业

【作业1】 四（1）班有 46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又
会拉小提琴的至少有 人。





【作业2】 实验二校一个歌舞表演队里 ，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的
有7人．这个表演队共有多少人能登 台表演歌舞？

奥数.杂题. 容斥原理（ABC级）.学生版 Page8 of 10

【作业3】 科技活动小组有
55
人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技 活动比赛中，老师到时
清点发现：制作好一架飞机模型的同学有
40
人，制作好一艘舰 艇的同学有
32
人．每个同学都
至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少 人？





【作业4】 五一班有28位同学，每人 至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语
文小组的人数等于仅参加数学小组的 人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个
同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅 参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加
的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为 0的偶数，那么仅参加数学和语文
小组的人有多少人？





【作业5】 如图
3
，一张长
8
厘米，宽
6厘米，另一个正方形边长为
6
厘米，它们中间重叠的部分是一个边
长为
4
厘米的正方形，求这个组合图形的面积．





【作业6】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．





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教学反馈

学生对本次课的评价

○特别满意 ○满意 ○一般

家长意见及建议


家长签字：


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