高等数学容斥原理公式
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高等数学容斥原理公式
n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i
≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋
∑n(Ai∩Aj∩Ak)－„＋(-1)^m-1)n(
A1∩A2„∩Am)1≤I,j,k≤m
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B -
A∩B (∩:重合的部分）
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C -
A∩B - B∩C - C∩A +
A∩B∩C
详细推理如下：
１、 等式右边改造 = ｛【（A+B - A∩B）+C - B∩C】 - C∩A ｝+ A∩B∩C
２、文氏图分块标记如右图图：１２４５构成Ａ，２３５６构成Ｂ，４５
６７构成Ｃ
３、等式右边（）里指的是下图的１+２+３+４+５+６六部分：
那么A∪B∪C还缺部分７。
４、等式右边【】号里+Ｃ（４+５+６+７）后，相当于A∪B∪C多加
了４+５+６三部分，
减去B∩C（即５+６两部分）后，还多加了部分４。
５、等式右边｛｝里减去C∩A （即４+５两部分）后，A∪B∪C又多
减了部分５，
则加上A∩B∩C（即５）刚好是A∪B∪C。
编辑本段容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于
A类元素个数+
属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B =
A+B - A∩B )
例1 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，
并且有4人语、数
都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少
人？
分析
依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A
类元素”，“语文得满分”称为“
B类元素”，“语、数都是满分”称为“既
是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为
“A类和B类
元素个数”的总和。
答案
15+12-4=23
试一试
电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34
人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？
100-(62+34-11)=15
编辑本段容斥原理2
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数
总和= A类元素个数+ B类
元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元
素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是
C类的元素个数+既
是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C -
A∩B - B∩C
- C∩A + A∩B∩C）
例2
某校六（1）班
有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中
参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，
参加游泳队的有24人，足
球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参<
br>加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
分析：参加足球队的人数25人为A类元素，
参加排球队人数22人为B
类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球<
br>排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C
类又是A类的为排球游
泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的
总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练
队，所以这个班的总
人数既为A类B类和C类的总和。
答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3
例3
在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3
或5整除的数共有多少个？
分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分
别去数3的倍数，5的
倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看
成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数
（15的倍数）”就是
被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元
素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。
1000÷3=333„„1，能被3整
除的数有333个（想一想，这是为什么？）
同理，可以求出其他的条件。
例4
分母是1001的最简分数一共有多少个？
分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进
行约分的数。由于
1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
解答：1~1001中,有7的倍数10017 = 143 (个)；有11的倍数100111
= 91 (个),有13的倍数100113 = 77
(个)；有7´11=77的倍数
100177 = 13
(个),有7´13=91的倍数100191 = 11
(个),有
11´13=143的倍数100143 = 7
(个).有1001的倍数1个.
由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除
的数有
(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整
除的数有
1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4
名学
生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，
达到了优秀的这部分学生情况如下
表：
短
跑
1 7
游
泳
1
8
投
掷
1 5
短跑、游
泳
6
短跑、投
掷
6
游泳、投
掷
5
短跑、游泳、投
掷
2
求这个班的学生共有多少人？
分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。
试一试：一个班有42人，参加合
唱队的有30人，参加美术组的有25
人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份
，
第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度
线将木棍锯断，木
棍总共被锯成多少段？
分析
很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上
共有多少条
不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
若按将木棍分成10等份的刻
度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍
上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复
的，如510
和612都是12。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所
以，
我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？
想一想，被计数的事物有那几类？每
一类的元素个数是多少？
解答
不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别
是9，11，14(相应于
10，12，15等分)，共计34个
由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位
处相重，必须从34中减1．
又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单
位和40单位两
处相重，必须再减去2，
同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在1
2，24，
36，48单位处相重，必须再减去4
由于这些相重点各不相同．所以从3
4个内分点中减去1，再减去2，
再减去4，得27个刻度点。沿这些刻度点把木棍锯成28段.