高斯定理[1]资料
奥巴马的夫人-shilian
三、高斯定理
1、高斯定理的内容
通过任意一个闭合曲面的电通
量等于包围在该闭合面内所有电荷电量的
代数和除以,与闭合面外的电荷无关。用公式表示,得
这个闭合面习惯上叫高斯面。闭合面内的电荷可能有正有负,电量的代数和
指的是正负电荷电量
的代数和。
2、高斯定理的证明
(1)单个点电荷包围在同心球面内
设
空间有一点电荷,其周围激发电场。以为球心,为半径作一球面
为高斯面。则高斯面上各点场强的大小相
等,方向沿矢径方向向外。在高斯面上
取一面元,则通过的电通量为
通过整个高斯面的电通量为
(2)单个点电荷包围在任意闭合曲面内
在闭合曲面内以为球心,为半径作一任意球面
上取一面元 ,则通过 的电通量为
为高斯面。在面
通过整个闭合曲面的电通量为
(3)单个点电荷在任意闭合曲面外
以为顶点作一锥面,立体角为
元, ,它们到顶点的距离分别为
。锥面在闭合曲面上截取了两个面
,则通过和的电通量为
即和的数值相等,符号相反,它们的代数和为零。而通过整个闭
是通过这样一对对面元的电通量
之和,因而也等于零。 合曲面的电通量
(4)多个点电荷的情形
在高斯面
之内,
,由场强叠加原理,
设空间同时存在个点电荷,其中
在高斯面之外。设面上任一点的场强为
得
式中
存在时的场强。穿过 面的电通量为
是各点电荷单独
高斯定理是静电场的两条基本定理之一,它反映了静
电场的基本性质:静电
场是有源场,源即电荷。此外高斯定理不仅对静电场适用,对变化的电场也适用,它是电磁场理论的基本方程之一。
四、应用高斯定理求场强
1、均匀带电球壳的场强
设有一半径为的球壳均匀带电,其所带电量为,求球壳内外的电场
强度。
解:(1)、球壳外的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性,<
br>该面上场强的数值都相同,方向沿半径向外。应用高斯定理,得
所以
(2)、球壳内的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性
,
该面上场强的数值都相同,方向沿半径向外。应用高斯定理,得
所以
2、均匀带电球体的场强
设有一半径为的均匀带电球体,其所带电荷的体密度为
,求球体
内外的电场强度。
解:(1)、球体外的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性,
该面上场强的数值都相同,方向沿半径向
外。应用高斯定理,得
所以
(2)、球体内的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性,该面上
场强的数值都相同,方向沿半径向外。应用高斯定理,得
所以
3、无限大均匀带电平面的场强
设有一无限大均匀带电平面,其所带电荷的面密度为 ,求带电平面
的电场强度。
解:经过平面中部作一封闭圆柱面为高斯面,其轴线与平面正交,底面
积为 。令
得
为两底面上的场强,则通过的电通量为 ,由高斯定理,
所以
若有两平行无限大均匀带电平面,其所带电荷的面密度为。可
以证明,在两平行板中间,电场强度为:
在两平行板外侧,电场强度为:
4、无限长均匀带电直导线的场强
设有一无限长均匀带电直导线,其所带电荷的线密度为,求带电导线
周围的电场强度。
解:过直导线作一高为、截面半径为
r
的封闭圆柱面为高斯面。根据电场
轴的对称性,通过圆柱侧面的电通量为
高斯定理,得
,通过圆柱底面的电通量为0。由
所以