爱的漩涡-贤良方正

2.4 高斯定律
2.4.1 真空中的高斯定律
（1）E的闭合面通量
在静电场中有一曲面S，在其上取一面元dS

，建立面元矢量
dSdSe
n
，穿过dS面
元的电场强度的元通量为
d

E
EdS

穿过S面E的通量为

E


S
EdS

若S为闭合曲面，
e
n
为其外法线单位矢量，则E在S上的净通量为


E


S
EdS

（2）真空中的高斯通量定理
定理内容：在真空电场中，穿出任意闭合面E的通量恒等于闭合面内电荷 的代数
荷除以真空的介电系数

0


s
EdS
q
ε
0

（2.4.1）

q
证明：设电场E是由点电荷q产生的，即
Ee
，则E的闭合面通量
2
R
4π
ε
0
R

s
EdS
e
R
q
dS


s2
4π
ε
R
0
e
n



又
e
R
dscos

ds
，则上式被积函数为

E
e
R
dS
cos

dS

2
RR
2

dS

dS


以q所在的
r

点为圆心，R为半径作一
球面
S

，
cos

dSdS

是dS在球面
S

上的
R
dS

对点电荷q所 在的
r

点投影，如图所示。
形成一个空间锥，称这个空间锥为立体角，用
d
表示。从图中可以看出，dS和
dS

对
r
r


dΩ

q

点所张的 立体角是相等的。整个球面对
r

点所张的立体角为4，而
d
与 整个球面的立体
角之比应等于面元
dS

与整个球面面积之比，即
dΩdS



2
4

4πR
因此立体角
dS

cos

dS
e
R
dS
d
2


（2.4.2）

22
RRR
上式为空间任意面元矢量对空间任一点所张的立体角
d
。将它代入积分式得
q
d


s
EdS
4π
< br>s
ε
0
分析任意形状的闭合面S对
r

点所张的立体 角：
①
当
r

点位于S内时，曲面S与球面
S

对
r

点所张的立体角相等，为4。

的一部分
S
1
对
r

点所张的立体角为正，而另一部分
S
2
对
r

点
r


②
当
r

点在闭合面外。S
S


S
2
S
r


S
S
1 < br>所张的立体角为负，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面S对
r

点所 张的
立体角为零。

由此可以更清楚的认识到：真空中电场强度E的闭合面通量只与闭 面内的电荷和

0
有关，而与闭面外的电荷无关。（2.4.1）式可以推广到体电荷 、面电荷、线电荷以及点电
荷系产生的电场。证毕。

2.4.2 高斯定律的一般形式
（1）高斯定律的积分表达式
当有电介质存在时，电场是自由电荷< br>q
与极化电荷
q
p
在真空中共同产生的。运用真

空中静电场的高斯定律，总的净电荷将包含自由电荷
q
和极化电荷
q
p

S
EdS
ε
0
讨论闭面内的体极化电荷
qq
p

q
p


V
p
dV

V
PdV

S
PdS

代入积分式得

ε
0
EdSqPdS

SS

即


S
(
ε
0
EP)dSq

D
ε
0
EP

（2.4.3）

令

称
D
为电位移矢量，单位是Cm
2
（库米
2
）。有

S
DdSq

（2.4.4）

这就是高斯定律的积分表达式。它表明
D
的通量只与闭合曲 面S内的自由电荷有关，而
与介质的极化无关，也与介质结构、状态、分布无关。
理解高斯定 律应注意：①高斯定律是基于场的观点，从整体上来反映场与源之间的
关系，闭合曲面S可以跨多种介质 ，而不受介质影响；② D（或E）的闭合面净通量
ψ
D

(或
ψ< br>E
)仅与闭合面内的电荷相关，而D（或E）本身则与产生电场的所有电荷以及介质
的特 性与分布情况相关。
（2）高斯定律的微分表达式
考虑静电场域空间内有体密度为

(r

)
的体电荷连续分布。若D连续可微，任取一闭
合面S， S所包围的体积为
V

，由高斯定律，有

S
DdS q

V


dV


应用高斯散度定理，得


V

DdV



V


dV


考虑到闭 面S的任意性，S所包围的体积
V

必有其任意性。上式成立必然有

D


（2.4.5）

称为高斯定律的微分形式，它更为直接地反映场与源之间的关系。高斯定律的 积分形式
和微分形式，反映了静电场的另一基本性质，即静电场是有“源”场，其“通量源”为
电荷，或说静电场的有散性。
2.4.3 电位移矢量D
电位移矢量的定义式
D
ε
0
EP

将场强E的与介质的极化联系起来，包含 了电介质极化对电场的影响，又称此式为介质
的构成方程（或称本构关系），这是电场中引出的又一个基 本场量。D的单位是Cm
2
(库
平方米)，表示电场中某点处垂直于电场方向的单位面积上穿过的电通量。
在各向同性线性介质中，有
P
ε
E
，代入上式

0
χ
D
ε
)E

0
EP
ε
0
(1
χ
)
ε
令
ε

ε
0
(1
χ
0
ε
r< br>
，有

D
ε
E

（2.4.6）

0
ε
r
E
ε
称为各向同性线性 介质的构成方程，式中
ε
称为电介质的介电系数，单位为Fm；
ε

ε
r
>1）称为相对介电率，无量纲。
r

ε
0
（
ε
对于无限大各向同性线性介 质，
ε
为标量，高斯定律可写成

S

EdSq
。若再加
上是均匀介质这个条件，
ε
将为常数，则高斯定律为


S
EdS
ε

q
比较真空中的高斯定律，在 形式上相当于把
ε

ε
0
，介质极
0
换成了介电常 数
ε
。由于
ε
化削弱了原电场，在同样自由电荷分布情况下，介质中的电场为 真空中的
1ε
r
倍。由此
可知，处于无限大各向同性线性均匀介质中的电场， 库仑定律以及由此导出的计算电场
强度、电位等场量的场-----源关系式，只需将
ε
0
换成
ε
，计算中只考虑自由电荷，就得到

介质中计算场量 的各类公式
qq

rr


E(r)e

2
R
3
4π

R
4

rr< br>
1

(r

)(rr

)
E( r)dV


3
V

4π

rr

1

(r)
4π

2.4.4 高斯定律的应用

V

rr


(r

)dV

C

应用高斯定律计算电场的分布是我们要掌握的基本计算方法。
当电场分布具有某种对称性（如 球对称性、无限长圆柱对称性和无限大平面对称性）
时，应用高斯定律求解这类电场来得十分简单，这种 方法的关键步骤是：是选择一个合
适的闭合面，称之为“高斯面”，使在该闭合面上的E或D的模值为同 一个值，方便于进
行闭合面积分。现在，通过算例来说明这一方法的应用。
例1. 真空中有 电荷以体密度

均匀分布于一半径为
a
的球内，试求球内、外的电场
强度。
解： 分析此例，场的分布呈球对称性，
以对称中心为坐标原点，建立球坐标。作半< br>径为
r
的同心球面正好是球对称面，取它为
高斯面。
（1）
r < a
时
r>a
a
o


r
S
EdS

S
Ee
r
e
r
dS

E

S
dS
2
E

dV



V


0
E
max
1
4πr
3


E4πr
3
ε
0

r
Ee
r

3
ε
0
o
a
r

（2）
r>a
时
4πa
3


S
EdS
3
ε

0
4πa
3


E4πr
3
ε
0
2

a
3
q
Eee

2
r
2
r
3
ε
4π
ε
0
r
0
r
结论：均匀带电球体外的电场，相当于电荷集中于球心的点电荷的电场。当
r=0
时，
E=0
，

a
当
r=a
时，
Ee< br>r
，
E
值达到最大
E
max
，如图示。
3
ε
0
例2. 有两层介质（设

1


2
）的长直同轴电缆，尺寸如图所示。已知内、外导体单
位长度上的电荷分别为

和


，求介质中的D、E、

以及介质分界面上的面 极化电荷
密度

p
。
解：电荷以线密度沿长度方向分布于长直同轴 电缆的内外导体上，实际上是指沿长
度方向电荷均匀分布在电缆内、外导体表面上。显然，电场呈圆柱对 称分布，可以长直
同轴电缆轴线为
z
轴，建立圆柱坐标系，作
计算图，可作半 径为

，长为
l
的同轴圆柱
面为高斯面。
(1) 求D，E

1

R
1
o
R
2
R
3

S
DdS

S
De

e

dS

(2π

l)D

l

D

2

D,E,


D
E
2
E
1

2π

e


（
R
1


R
3
）


E
1
e


(
R
1


R
2
)

ε
2π
ε
11

D
E
2

(2) 求


D
ε
2


e


(
R
2


R
3
)

2π
ε
2

o
R
1


1
R
2


2
R
3



电位参考点设在外导体上，有

R
3

2



E
2
d

e




E
2
e



d

e


ln (
R
2


R
3
)
2π
ε
2
R
3
R
3

1



E
1
(d

e

)

2R
2

R
R
3
R
2

 lnln
2π
ε
2π
ε
（
R
1


R
2
）
2
1

2
R
2
（3） 求

P


p

R



2
p
1


p
2


R
2


P
1
e
n
1
P
2
e
n
2


R
2



(D
1

ε
0
E
1
)e

(D
2

ε
0
E
2
)e< br>


R
2

ε
0

E
2
E
1


R
2

ε
0


2πR

11

2


ε


2
ε
1



结 论：在电场中极化的介质导致在两种介质的分界面上出现剩余的极化电荷，或者说
在介质分界面上的极化 电荷是导致
E
突变的原因。


作业：1-2-2（2）、（3），1-4，1-7