童年的稻田-哥特式

§11-3 静电场的高斯定理
一、 电场线
电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。

1、
E
用电场线描述


规定：
E
方向：电力线切线方向

< br>

大小：
E
的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数

=
dN

ds
dN

ds
< br>（即：某点场强大小=过该点并垂直于
E
的面元上的电力线密度。）
即

E
2、静电场中电场线性质
⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量
定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电
场强度通量，用

e
表 示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场

⑴平面S与
E
垂直。如图所示，由
E
的
大小描述可知：

⑵平面S与
E
夹角为

，如 图所示，由
E

的大小描述知：





e

ES


ES
cos


E

S

(SSn)



式中
n
为
S
的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量
如图所示，在S上取面元
dS
，
dS
可看成平面，
dS
上



E
可视为均匀，设
n
为
dS
单位法向向量，
dS
与 该处
E
夹角
E
为

，则通过
dS
电
场强度通量为：


d

e

E

dS

通过曲面S的电场强度通量为：



e

< br>d

e


E

dS

s
在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量
v
v

e

Ñ

EdS

s
注意：通常取面元外法向为正。
三、高斯定理
高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电
通量
的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，
q
为正点电荷，
S
为以
q
为中心< br>以任


意
r
为半径的球面，
S
上任一点
p
处
E
为：

E

q
4

0
r
2

e
r

2、通过闭合曲面
S
的电场强度通量为：



e


E

dS


ss
q4

0
r
2



dS

e
r


s
q
4

0
r
2
dS


（
r
、
ds
同向）


v



s
q
4

0
r
2
dS

q
4

0
r
2

dS< br>
s
q

0

结论：

e
与
r
无关，仅与
q
有关
(

0
cons t
)

2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量
⑴
q
在S内情形
如图所示，在S内做一个以
q
为中心，
任意半径
r
的闭合球面S
1
，由1知，通过S
1
的电场强度通量为
q

0
1
。∵通过S
1
的电力线
必通过S，即此时

es

es
，∴通过S的
v
v
q
0
E

dS

电场强度 通量为

e

Ñ


0
s
⑵q
在S外情形。
此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即
穿入与穿出S面的电力线数相等，
v
v
∴

e

Ñ
E

dS0

s
结论：S外电荷对

e
无贡献

e


q
在S内


0


0
q
在S外
q
3、点电荷系情况
在点电荷
q
1
,q
2
,q
3
,q
n
电场中，任一点场强为

E

E
1

E
2

E
3

E
n

通过某一闭合曲面电场强度通量为：





e


E

dS



E
1

E
2

E
3

E
n


dS

s s








1


E
1

dS


E< br>2

dS


E
3

dS


E
n

dS

ssss
< br>0

q

S
内
即

e
< br>v
v
1
E
Ñ


dS

s

0

q

S
内
上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电
荷的代数和除以

0
。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高< br>斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理， 仅是为了便
于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明
⑵高斯定理是在库仑定律基础上 得到的，但是前者适用范围比后者更
广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时< br>间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只 与闭合面内的自由电荷代
数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。



>0时，不能说S内只有正电荷



q


<0时，不能说S内只有负电荷





1
当

e


E
dS

s

0

S
内
=0时，不能说 S内无电荷
注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。


1
⑷高斯定理说明

e


E

dS
< br>
0
s

q
与S内电荷有关而与S外电荷无关，
S< br>内

这并不是说
E
只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上，< br>E
是由S
内、外所有电荷产生的结果。
⑸高斯面可由我们任选。

四、应用高斯定理求场强
下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以 看到，

应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。
1. 一均匀带电球面，半径为
R
，电荷为
q
，求：球面内外任一点场强。 解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径

向外，以 O为球心任意球面上的各点
E
值相等。
⑴球面内任一点
P
1
的场强
以O为圆心，通过P
1
点做半径为
r
1
的球面
S
1
为高斯面，高斯定理为： < br>s
1


1

E

dS


0

q

S
1
内

 
∵
E
与
dS
同向，且
S
1
上
E
值不变


∴

E

dS
< br>
E

dS

E

dS

E

4

r
1
2

s
1
s
1
s
1
1

0

q

0

S
1
内
E
4

r
12

0

∴
E0

即均匀带电球面内任一点P
1
场强为零。
注意：1）不是每个面元上电荷在 球面内产生的场强为零，而是所有面元上
电荷在球面内产生场强的矢量和=0。
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个
别点有可能为零）
⑵球面外任一点的场强
以O为圆心，通过P
2
点以半径
r
2
做一球面
S
2
作为高斯面，由高斯定理有：
E

4

r
2
2

q
4

0r
2
1

0
q


E


方向：沿
OP
2
方向（若
q0
，则沿
PO
方向）

结论：均匀带电球面外任一点的 场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷
在该点产生的场强一样。
E







0
(rR)

q
4

0
r
2

(rR)

2．有均匀带电的球体，半径为
R
，电量为
q
，求球内外场强（8 -13）。
解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心

向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的
E
相同。

（1）球内任一点P
1
的
E?

以O为 球心，过P
1
点做半径为
r
1
的高斯球面S
1
，高 斯定理为：



∵
E
与
dS
同向，且 S
1
上各点
E
值相等，


2
∴

E

dS


E

dS
< br>E

dS

E

4

r
1

s
1
s
1
s
1
s
1


1

E

dS


0

q
S
1
内

1

0

q

S
1
内
q4q
3


r1
3

r

3
1
4
3
3
0
R

0

R
3
q
3r

1
3

0
R
r
1

E

4

r
1
2

q∴
E

4

0
R
3

O P
方向。（若
q0
，则
E
沿
P
1
O方向）
E
沿

结论：
Er
1

注意：不要认为S
1
外任一电荷元在P
1
处产生的场强为0，而是S
1
外所有电
荷元在P
1
点产生的场强的叠加为0。

（2）球外任一点P
2
的
E?

以O为球心，过P
2
点做半径为
r
2
的球形高斯面S
2< br>，高斯定理为：
s
2


1
E


dS


0

q

S
2
内
由此有：
E

4

r< br>2
2

1

0
q
q


E

4

0
r
2
2


E
沿
OP
2
方向
结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷
全部集中在球心处的点电荷产生的场
强一样。

q
r

(r
1
R)

E



3< br>1

4

0
R


q

(rR)

4

0
r
2
Er
曲线如左图。
3 ．无限长均匀带电圆柱面，半径为
R
，电荷面密度为

0
，求柱面 内外任一点
场强。
解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐 射，

并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点
E
值相等。

1）带电圆柱面内任一点P
1
的
E?

以OO ’为轴，过P
1
点做以
r
1
为半径高为
h
的圆柱高 斯面，上底为S
1
，下底
为S
2
，侧面为S
3
。高 斯定理为：


1

E

dS

s

0

q

S
内
在此，有：









< br>E

dS


E

dS


E

dS


E

dS


∵在S
1
、S
2
上各面元
dS
1

E
，∴上式前二项积分=0，
s
s
1
s
2
s
3


又在S
3
上
dS
与
E
同向，且
E
=常数，


∴

E

dS


EdS

E

d S

E

2

r
1
h

s
s
3
s
3
1

0

q

0

S
内
E
2

r
1h
0

∴
E0

结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0

2）带电柱面外任一点场强
E?

以
OO
'< br>为轴，过P
2
点做半径为
r
2
高为
h
的圆柱 形高斯面，上底为S
1
’，下
底为S
2
’，侧面为S
3’。由高斯定理有：
E

2

r
1
h

1

0


2

Rh


E



2

R

2

0
r
2
∵

2

R


2

R1

=
单位长柱面的 电荷（电荷线密度）=




∴
E

，
E
由轴线指向P
2
。

0
时，
E沿P
2
指向轴线
2

0
r
2
结论 ：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带
电柱面的轴线上的无限长均匀带电 直线产生的场强一样。
4.无限大均匀带电平面，电荷面密度为


，求平面外任一点场强。 解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距

平面相同 的任意二点处的
E
值相等。设P为考察点，过P点做一底面平行于平面
的关于平面又对 称的圆柱形高斯面，右端面为S
1
，左端面为S
2
，侧面为S
3，高斯
定理为：



1

E

dS

s

0

q

S
内
在此，有：








E


dS


E

dS


E

dS


E
dS

ss
1
s
2
s
3


∵在S
3
上的各面元
dS

E
，∴第三 项积分=0



又 ∵在S
1
、S
2
上各面元
dS
与
E
同向，且在S
1
、S
2
上
E
=常数，
∴有：



E
< br>dS


EdS


EdS

E< br>
dS

E

dS

ES
1

ES
2

2ES
1
ss
1
s
2
s
1
s
2

1

0

q


S
内
1
0


S
1


E

2S
1

1

0


S
1

即
：
E

（均匀电场）

2

0

。
E
垂直平面指向考察点（若

0
，则
E
由考察点指向平面）
5.有二平行无限大均匀带电平 板A、B，电荷面密度分别为1）2）


,

；

,

。
求：板内、外场强。
解：设P
3
为二板内任一点，

E

E
A

E
B

即
E

E
A

EB




2

0
2

0

0
设P
4
为B右侧任一点（也可取在A左侧）

E

E
A

E
B

即：
E

E
A
E
B



0

2

0
2

0
上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子 看出，用

高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立
的，但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条
件的，它要求电 场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯
面，从而很方便的计算出值。应用高斯定 理时，要注意下面环节：1）分析对称


1
性；2）适选高斯面；3）计算

E

dS

?

s

0
求出
E
。


1

q

?
4）
由高斯定理

E
dS

S
内
s

0

q< br>S
内