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万有引力场的高斯定理
容晓晖
物理工程学院2010级物理学类二班
邮箱：295771197@
一 问题的提出
在大一上学期学习力学，在学到简谐 运动那一章时，胡老师曾举个一个例子，是摘自老版
本大学物理学的一道书上例题，题目是这样的： < br>将地球看做一个半径为R的均匀球体，密度为ρ，假定沿直径开一条通道，若有质量为
m的质点沿 通道做无摩擦运动，证明此运动为简写运动。（题目示意图如下）









例题图



当时做这道题时不知道如何列出质点的受力方程，后来老师直接讲到质点的受力大小仅与
质 点所在圆面内包围的质量有关，而与外部的质量无关。列出受力大小公式，经过化简发现
受到的万有引力 大小是一个和质点所在面的半径r成正比的
○
1，即质点在地球内部受到了
一个线性回 复力的作用，方向和质点相对于平衡位置（地心）的位移方向相反，即质点做的
是简谐运动。具体的解题 公式和过程不再写出，这些不是本文章的重点。
场景转换到大一下学期（现在），在老师讲到电磁 学中静电场的高斯定理时，惊奇的发现：

E


Ecos

dS
1

0
(S内)

q
i

这个公式告诉我们：通过一个任意闭合曲面S的电通量

E
等于该面所包 围的所有电荷的代
数和Σq除以ε
0
，与闭合面外的电荷无关。这就是著名的电场中的 高斯定理的表述。
其他有关高斯定理的证明请见《电磁学》（赵凯华、陈熙谋版）第54页至59页，这里不
再抄写证明。
高斯提出了电通量的概念，并根据库仑定律推导出来，使很多电场问题步骤和思路大大简
化，并 提炼出了这个公式。
学到这里时我就突然想到了本文最开始的那道有关万有引力的题目，并且想到牛顿 的万有

引力定律公式——
F
万
G
m
1m
2
r
2
和库仑定律公式——
F
c
k
q
1
q
2
r
2
有着十分相似的形
式，既然库仑定 律能够推导出电场的高斯定理，那么高斯定理应该在万有引力场中同样适用。
二 万有引力场中的高斯定理简单证明过程
在这里先给几个定义和公式：

万有引 力强度，用
g

g
m
中

F
万
g G
表示，定义式为
2
，但正方向为从内到外，与
mr
实际方向相 反。对于球状质点系，通过单位表面积的引力通量是：
d

万
S-
g*4

r
4

r
2
2
-g

1， 万有引力通量，

万


gc os

S
（注意负号）
S
2， 仿照
k
1< br>4

0
，令
G
1
4

g
0
，这里的
g
0
姑且命名为真空介万常数，呵呵，根
据真空介电常 数改的，大小约为1.193*10^9。
下面进行公式推导，目的是证明：

万< br>

gcos

S
S
1
g
0

m
(S内)
i

1
g
0

m
S
i

m
中
g
0
成立。

推导证明公式成立：

同样仿照课本上的证明过程（《电磁学》（赵凯华 、陈熙谋版）第54页至59页），从球面
开始证明：

万

 
gcos

S
S

S
G
2
m
中
r
2
dSG
m
中
g
0
1
g
0
m
中
r

2

dS
S
G
m
中
r
2
4

r
2< br>1
4

g
0
4

r
1
g< br>0
m
中
r
2

1
g
0
即< br>
m
S
i

万


gcos

S
S

m
(S内)
i

 
m
S
i

m
中
g
0

上为第一种情况：通过包围质点的同心球体的万有引力通量都为m
中
g
0
< br>另外两种情况：通过包围质点的任意闭合面的万有引力通量都等于m
中
g
0，
和通过不包围
点电荷的任意闭合面的万有引力通量恒为0.因为过程和课本上的极为相似 ，均不再这里证
明，有兴趣的可以参考课本。

在这里，我们可以提出万有引力 场的高斯定理：通过一个任意闭合曲面S的电通量

万
等于该面所包围的所有质量（的 代数）和Σm除以g
0
，与闭合面外的质量无关。

三 对万有引力场中的高斯定理的应用
应用一 求万有引力场场强
对于像本文开头提到的例题， 那种十分对称的物体可以得某处的万有引力场强大小和重
力势能位相对大小。比如应用于球、无限长的棍 、无限大的平面等等。
具体由此得出的结论（这里只给出大小，方向均指向质点系）：
1. 单个质点：
g
1m
2
4

g
0
r

2.均匀质量球壳：当rg0

1m
2
当r >R时,
g
4

g
0
r
（相当于质量集中在球壳 中心）
3.均匀质量的实心球体：当rg
1m
3
4
g
0
R
1
1）
r
（这里验证了第一部分的句
○
当r>R时，
g
m
2
4

g
0
r
（相当于质量集中在球体中心）
4.无限长的棒：
g
1

2< br>
g
0
r
（

表示质量的线密度）
5.无限大的平面（一个）：
g

2g
0

6.两个无限大的平行平面：两板之间
g0


g
0
两板之外
g
（

表示质量的面密度）
应用二 求万有引力场中的引力位，或引力位差（万有引力的位，或称为重力势能位）
1. 单个质点：


1m
4

g
0
r
（无限远为零势 能点）
2.均匀质量球壳：当r

1m
4

g
0
R
1
（无限远为零势能点）
当r>R时,


m
4

g
0
r
（无限远为零势能 点）

3. 均匀质量的实心球体：当r

1m< br>3
8

g
0
R
(rR)
22
1 m
4

g
0
R

当r>R时，


1m
（无限远为零势能点）
4

g
0
r
4.无限长的棒：

12< br>

2

g
0
ln
r
1
r
2
（

表示质量的线密度）
5.无限大的平面（一个）：

12


2g
0
(r
1
r
2
)

6.两个无限大的平行平面：两板之间

内2


g
0
r
2
（两板之间为零势能点）
两板两（外）边

12

应用三 寻找反物质（目前只是一种猜想）

g
0

(r
1
r
2
)
（

表示质量的面密度）
如果在已知正质量和一 个高斯面的总的通量的前提下，或与能够证明具有- m的物质（反
物质）的存在，甚至能够借此发现这种反物质，因为公式中的质量和是代数和。
（或许还有好多）
四 感想
这是我第一次将自己的想法以此种形式写出来，很 多地方还不能够写得很严谨甚至有的地
方还需要改正，希望大家能够多多指正。
这个想法 我想我肯定不是第一个提出的，根据开篇时胡振刚老师的讲解就能知道我提出的
这个东西早已经前人研究 过的东西，但是由于我查阅资料的能力不足，至今不能找到较为权
威或详细的有关万有引力场中的高斯定 理的论著，无奈只好自己推出其中比较浅薄的东西，
可能在推断过程中还出现了一些物理词典里根本没有 的名词。另外万有引力场中环路定理也
是成立的，不过在这里我就不再证明了，也是比较容易证明的。
写这篇小文章的目的有以下几个：
1， 将自己在学习中的发现和想法总结出来，并和大家分享，希望这个东西能对以后解题
有所帮助。
2， 能给和我一样在物理学习中产生想法的同学以激励，希望他们能够大胆的分享自己的
想法 ，另外也在这个过程中提高自己的学术能力，为写论文积累一些经验和方法。
3， 还想说的是有关这 篇文章知识的，高斯定理其实有好多，数学中、电场、磁场都有，
形式和内涵都不大相同，希望同学在今 后的学习中能够理解清楚。
4， 最后不得不提的是，是有关学习方法的事，这里我有一点想法：平时 学习是要注意知
识之间的联系并及时总结汇总，找到一些物理现象的相似之处，有利于一些方法的相互应用，例如中学时代匀强电场中的类平抛运动，这里的万有引力场的高斯定理，艺
术是互通的，很 多知识和方法也是可以通用的，及时找到相似点做到触类旁通。