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新疆财经大学本科毕业论文

题目： 利用加减法判断函数的奇偶性



学 号：


学生姓名：


院 部：


专 业：
数学与应用数学

年 级：


指导教师
姓名及职称
：



完成日期：

目 录

1.函数的定义 ................................ .................... 1
2.函数奇偶性的定义 .............................................. 1
3.函数奇偶性的性质 .............................................. 2
4.判断函数奇偶性的方法 .......................................... 3
4.1定义法 .................................................. 3
4.2图像法 ................................................. 4
4.3性质法 ................................................. 5
4.4对称曲线法 ............................................. 7
4.5求导法 ................................................. 8
5.利用加减法判断函数的奇偶性 .................................... 8
6.正确理解函数的奇偶性及判断函数奇偶性常见的错误 ............... 12
总结 ........................................... ................ 16
参考文献 ..................... .................................. 17
致谢 ..... .................................................. .... 18

利用加减法判断函数的奇偶性
利用加减法判断函数的奇偶性
数学与应用数学学院，应用数学2007-2班
米哈依.多力昆
【摘要】：函数的奇偶性是函数的基本性质之一。它在代数，三角
函 数以及高等数学中有着广泛的应用；不论是何种函数，都必须与函数
性质相关联，函数性质是函数知识的 重点内容；判断函数的奇偶性是研
究函数性质时应予以考察的一个很需要方面。它在计算函数值，探讨函
数的单调性，绘制图像，求定积分等方面均有用处；因此在解题中，针
对不同的函数类别及函数 性质的应用，归纳出一定的解题思路是很有必
要的，本文就介绍了以函数奇偶性的定义，函数奇偶性的性 质，判断函
数奇偶性的方法构建了利用加减法判断函数的奇偶性现过程，引导积极
思考，详细讲 述了函数奇偶性的判断方法，利用加减法判断函数的奇偶
性,正确理解函数的奇偶性及判断函数奇偶性常 见的错误。
【关键词】：
函数的的定义，函数奇偶性 ，加减法判断函数的奇偶
性
1.函数的定义
给定两个实数集D和M，若有对应法则
f
，使对D内的每个 数
x
，都
有唯一一个数
yM
与它相对应的，则称
f是定义在数集D上的函数，记
f:DM,xy
数集D称为函数
f
的定 义域，
x
所对应的数y,称为
f
在点
x
的函数值，常记为< br>f(x)
.全体函数值的集合
f(D)

yyf(x),xD< br>
M

称
为函数
f
的值域.
2.函数奇偶性的定义

1

利用加减法判断函数的奇偶性
2.1如果对函数
f

x

的定义域内任意一个
x
都有
f

x

f

x

0
（
f

x

f

x

），那么函数
f

x

就叫做偶函数，如：
f

x

x
2
，
f

x

x
。
2.2如果对函数
f

x

的定义域内任意任意一个
x
都有
f

x

f

x

0
< br>(
f

x

f

x

)，那么函数
f

x

就叫做奇函数，如：
f

x

x
,
f

x



【例1】判断函数
f

x

lg(x
2
1x)
的奇偶性。
解：
x
2
1x
2
x


函数
f

x

的定义域为
R
，又
f
x

f

x

lg(x
2< br>1x)lg(x
2
1x)

1
x
lg( x
2
1x
2
)lg10
。


f

x

为奇函数。
xx

的奇偶性？
2
x
12
【例2】判断函数
f

x


解：

2
x
10



x0


函数
f

x

的定义域为
(,0)(0,)
，
又
f

x< br>
f

x

(
xxxx
)()< br>
xx
212212
x2
x
xx(2
x1)

x
x
x
x0

212
x
121

f(x)f(x)

故
f(x)
是偶函数.
3.函数奇偶性的性质
3.1 对称性
奇偶函数的定义域关于原点对称。
如：

2

利用加减法判断函数的奇偶性

3.2整体性
奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个
x
都必须成立.
3.3可逆性
f(x)f(x)f(x)
是偶函数
f(x)f(x)f(x)
是奇函数
3.4等价性
f(x)f(x)f(x)f(x)0

f(x)f(x)f(x)f(x)0

3.5可分性
根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶
函数，非奇非偶函数.
3.6奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称.
4.判断函数奇偶性的方法
4.1定义法
1、任取自变量的一个值
x，
x
是否有定义，如果存在一个属于定义
域的
x
0
但 在
x
0
没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若
f

x

存在，
则进一步看.
2、
f(x)f(x)
着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方

3

利用加减法判断函数的奇偶性
便可转而验证
f(x)f(x)0

f(x)
1
，
f(x)f(x)
f(x)

奇函数
0
2f(x )
偶函数

【例3】确定下列函数的奇偶性：
e
x
e< br>x
（1）
f(x)
xx
.
，（2）
f()x 2soc1
ee
(x)1x
2
（3）
f(x)
，


，
x1
（4）
f(x)sin
2
xcos
2
x
。
解：（1）显然
f(x)
的定义域为

,

，
f(0)0
，
x0
时
f(x)e
x
e
x
e
x
e
x

xx

xx
1,

f(x)eeee
故
f(x)
为奇函数。
解：（2）
f(x)
定义域为

。对任意
x
有
f(x)0，
从而
f(x)f(x)0
，
故
f(x)
既是奇函数有是偶函数。
解：（3）
f(x)
定义域为

,1

(1,)
,它不对称于原点，
故
f(x)
既不是奇函数也不是偶函数。
解：（4）
f(x)的定义域为
R
,任意
xR
,
f(x)1
,从而
f(x)f(x)0
，
故
f(x)
为偶函数.
4.2图像法
函数为奇（偶）函数的充要条件是图象关于原点（
y
轴）对称.
【例4】根据函数的图象，判定函数的奇偶性.

4

利用加减法判断函数的奇偶性

图（1） 图（2）



图（3） 图（4）


解：（1）为偶函数。（2），（3）为奇函数。（4）为非奇非偶函数。
4.3性质法
性质1：偶函数的和，差，积，商（分母不为零）仍为偶函数。
性质2：奇函数的和，差仍为奇函数。
性质3：奇（偶）数个奇函数的积为奇（偶）函数。

5

利用加减法判断函数的奇偶性
性质4：一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。
性质5：对于复合函数
F(x)f(g(x))
有：
（1）若
g(x)
为偶函数，则
F(x)
为偶函数。
（2 ）若
g(x)
为奇函数，
f(x)
也为奇函数，则
F(x)
为奇函数。
（3）若
g(x)
为奇函数，
f(x)
为偶函数，则< br>F(x)
为奇函数。
性质6：
F
1
(x)f(x)f( x)
为偶函数，而
F
2
(x)f(x)f(x)
为奇函数。
【例5】判定下列函数的奇偶性。
（1）
f(x)12cosx
，（2 ）
f(x)ln(12cosx)
，（3）
f(x)sinxarcsinx
，
（4）
f(x)x
e
e
2x
2x
1
1
，（5）
f(x)x1x1
，（6）
f(x)
2

33
x
1
2
x
。
解：（1）
f(x)
为定义域在R上的两个偶函数之差，
故
f(x)
为偶函数。


解：（2）
f(x)
的定义域为
DRU

，
2k

,2k


k

33


因为
1cos2x< br>在
D
上为偶函数，由性质5（1）
知
f(x)ln(12cosx)
为
D
上的偶函数。
解：（3）因为两个奇函数的积为奇函数，
故
f(x)sinxarcsinx
为

1,1

上的奇函数。
解：（4）由
g (x)
e
2x
2x
1
1
e

ex
x
e

e

e
x
x
及
g(x)
为R上奇函数。
再由性质3知，两个奇函数的积
f(x)xg(x)
为R上的偶函数。
解：（5）
f(x)
3
1x
3
1x
，由性质6知
f(x)
为R上的偶函数。

6

利用加减法判断函数的奇偶性
解：（6）
f(x)
2
x
1
2
x
，由性质6知
f(x)
为R上的奇 函数。
4.4对称曲线法
奇偶函数图象的性质可以看成是一般曲线对称性的特列，把函 数表达
式改写成曲线方程
F

x,y

0
，则有
偶函数


F(x,y)0
同时成立.

F( x,y)0

F(x,y)0
奇函数

同时成立.
F(x,y)0

这个方法对于分段定义的函数特别方便。
【例6】判断下列数的奇偶性。
x0

x(1x)x0
< br>lnx
（1）
f(x)

，（2）
f(x)
< br>，
x(1x)x0ln(x)x0


2x
x0

arccosx(1x)
（3
f(x)

）， （4）
f(x)


1
arccosx[x(1x)]x0< br>


2
x
x0
x1

解：（1）定义域：任取
x0
，有
x0
，
f(x )(x)

1(x)

x(1x)f(x)
又任取
x0
，有
x0
，
f(x)(x)

1(x)

(1x)f(x)

故按定义
f(x)
为偶函数。
图象法：见例4（1）
性质法：函 数可以表示成
f
1
(x)xx
2
两个偶函数的差为偶函数。 < br>对称曲线法：若把
x0
时函数表达式改写成，
c
1
:F(x ,y)yx(1x)0
则
x0
的表达式为
c
2
: F(x,y)yx(1x)0
这表明
c
1
，
c
2
于
y
轴对称，故
f(x)
为偶函数。

7

利用加减法判断函数的奇偶性
易见，性质法和对称曲线法较为简单。
|x|

F(x,y)yln|x|0

x

x< br>解：（2）有
f(x)lnx
，或


|x|
x< br>
F(x,y)yln|x|0

x

故
f(x)
为奇函数。（例4.（2）图象）
解：（3）有
f(x)arccos(x
x
)
，
由性 质5.（1）知为偶函数，或由

解：（4）有
f(x)

F(x ,y)0
知
f(x)
为偶函数。

F(x,y)0
2
x
x

F(x,y)0

2
或

x

F(x,y)0
故
f(x)
为奇函数。
4.5求导法
可微奇（偶）函数的导函数为偶函数，反之也对。
【例7】确定函数的奇偶性
（1）
f(x)ln
1x
，（2）
f(x)ln(x
2
1x)
。
1x
2
为偶函数，
1x
2
解：（1）
f(x)
故
f(x)
为奇函数。
解：（2）
f(x)
故
f(x)
为奇函数.
1
x1
2
为偶函数
5.利用加减法判断函数的奇偶性
利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两

8

利用加减法判断函数的奇偶性
个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两
个偶函数的代数和是偶函 数；奇函数与偶函数的代数和非奇函数非偶函
数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶
函数的积是奇函数。
根据函数奇偶性定义易证: 设f(x)是定义在R上的任一函数,则
F(x) = f(x) + f(-x)是偶函数；
F(x)= f(x) - f(-x)是奇函数；
这个结论给出了判断函奇偶性的一种新方法,即对于定义域中的
任一x，
若函数F(x)能表示成 F(x)= f(x)+f(-x),则F(x)是偶函数；
若函数F(x)能表示成 F(x)=f(x)-f(-x),则F(x)是奇函数；
利用这 种方法判断函数的奇偶性,关键在于能否将已知函数F(x)分裂成
f(x)±f(-x)的形式。这种 分裂虽然技巧性较强， 但对判定一类复合函数
却常常较为简便, 因此这种方法具有一定的实用性。
(1) 设在定义域D 中,函数f(x)和g(x)均为奇函数, 则它们的和函数是
奇函数；证明如下:
令F(x)=f(x)+g(x)
因为F(-x)=f(-x)+g(-x )=-f(x)-g(x)
=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
所以F(x)=f(x)+g(x) 为奇函数
例如: y=sin x+ x
3
是奇函数。
(2) 设在定义域D 中, 函数f(x)和g(x)均为偶函数, 则他们的和函数

9

利用加减法判断函数的奇偶性
是偶函数； 证明如下:
令F(x)=f(x)+g(x)
因为F(-x)=f(- x )+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)
所以F(x)=f(x)+g(x) 为偶函数
例如: y= cos x+ x
2
是偶函数。
(3) 设在定义域D 中, 函数f(x)和g(x )分别为奇函数和偶函数, 则它
们的和函数是非奇非偶函数； 证明如下:
令F(x)=f(x)+g(x)
因为F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)
显然-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)
且-[f(x)-g(x)]≠-[f(x)+g(x)]
所以F(x)= f(x)+g(x) 为非奇非偶函数
例如: y= sin x+ co s x 是非奇非偶函数。
注: 上述g(x)≠0( 因为0 函数既是奇函数又是偶函数)。
综上能总结出以下的奇偶性运算：
(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数；
(2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数；
(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数；
(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数；
(5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数；
(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数；
以上的总结也可以表示为：
奇±奇＝奇 偶±偶＝偶 奇×奇＝偶 偶×偶＝偶 奇×偶＝奇

10

利用加减法判断函数的奇偶性
（两函数定义域要关于原点对称）
至于复合函数其实只要掌握好奇偶函数的定义，自己推一下
是非常容易的。
设在定义域D 中, 函数y= f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,则
(1) F(x)=f[f(x)] 是奇函数,
因为 F(-x)=f[f(- x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)]=-F(x)
(2) F(x)=g[g(x)] 是偶函数,
因为 F(-x)=g[g(-x)]=g[g(x)]= F( x )
(3) F(x)=g[f(x)]是偶函数,
因为F(-x)=g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)]=F(x)
(4) F(x)=f[g(x)]是偶函数,
因为 F(-x)=f[g(-x)]=f[g(x)]=F(x)
所以由两个函数复合而成的复合函数， 当里层的函数是偶函数时，复
合函数是偶函数；不论外层是怎样的函数，当里层的函数是奇函数，外层< br>的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数；当里层的函数是奇函数，外层
的函数是偶函数时，复合 函数是偶函数；在其它的场合，就不能判断复合
函数的奇偶性了。
【例8】
（1）
F(x)3x
2
2sinx

因为
f (x)3x
2
是奇函数，
g(x)2sinx
是奇函数，所以根据同奇则 奇，同偶
则偶得
F(x)f(x)g(x)
是奇函数.
（2）
F(x)f(x)g(x)
是奇函数.
G(x)sinxcosx


11

利用加减法判断函数的奇偶性
因为
f(x)sinx
是奇 函数，
g(x)cosx
是偶函数所以
G(x)sinxcosx
是非 奇
非偶函数.
【例9】判断下列函数的奇偶性

e
（1）< br>F

x



x
2
1x

1x


a0,a1


;
（2）
f

x

log
a

x
2

e1

x1x

x

xe
x
xxe
x
xe
x
xe
x
x

e
x

x
解：（1）
F

x


x

x

x

x

e1e1e1e1e
x
1e1
xe
x
如令
f

x


x
，则
F
x

f

x

f

x

，所以
F

x

是偶函数
e1
（2）
f

x

log
a
x
2
1xlog
a
x
2
1x

=
log(x
2
1x)log
a
[(x)
2
1(x)]

令
f

x
log
a
x
2
1x
,
则
F

x

f

x

f
x

,所以
F

x

是奇函数.
6.正确理解函数的奇偶性及判断函数奇偶性常见的错误
一般的，如果对于函数
f( x)
的定义域内任意一个
x
，都有一个
f(x)
=
f( x)
，则称
f(x)
称为这一定义域内的奇函数;






一般的，如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(x)
=
f(x)
，
f(x)则称为为这一定义域内的偶函数.很多时候我们认为形式上
f(x)
=
f( x)
，
f(x)
就是奇函数；有
f(x)
=
f(x)
,
f(x)
就是偶函数而与函

12

利用加减法判断函数的奇偶性
数
f(x)
的定义域没有任何 关系。事实上如果不先看函数义域，函数的奇偶
性是无法判别的. 比如，对于定义在区间
< br>2,4

上的函数
f(x)x
2
，虽然从
形式上 来看有
f(x)f(x)
但它并不是偶函数.
【例10】判断下列的奇偶性
（1）
f(x)2x
4
3x
2

f(x)2x
4
3x
2
的定义域是R.
对于任意< br>xR
,都有
xR
，并且，
f(x)2(x)
4< br>3(x)
2
2x
4
3x
2
即
f( x)f(x)
所以
f(x)2x
4
3x
2
是偶函数.
（2）
f(x)x
3
2x
2
3

 f(x)x
3
2x
2
3
的定义域是
R

对于任意
xR
都有
xR
.而
f(x)(x)
3
2(x)
2
3x
3
2x
2
3
f(x)x2x3
32

所以
f(x)f(x)
且
f(x)f(x)

因 此
f(x)x
3
2x
2
3
既不是奇函数也不是偶函数 .
（3）
y
解：
xxx
2sincos
1sinxcosx
222


f(x)
1sinxcosx
2cos
2
x
2 sin
x
cos
x
222
xxx
2sin(sincos )
222
tan
x

xxx
2
2cos(sin cos)

222
xx
f(x)tan()tanf(x)
22
2sin
2
1sinxcosx

1sinxcosx

f(x)
是奇函数.

13

利用加减法判断函数的奇偶性
出错的原因是没有考虑原函数的定义域，而且简 化函数时没有考虑到
sin
xx
cos0
的要求.所以正确解应该是
22
1sinxcosx0



2sin

x

1

4



2


sin
< br>x


4

2

x
4
2k



4
且
x

4
2k


5

(kz)

4
x2k



2
且
x2k

< br>
(kz)

定义域不关于原点对称，故
f(x)
是非奇非偶函数.
总结以上概念判断函数奇偶的错误概念有：
（1）错误的定义
2


x，x0
【例11】判断函数
f(x)

3
的奇偶 性．


x，x0
错解：

当
x0时，
f(x)(x)
2
f(x)
；
当
x0
时，
f(x)(x)
3
f(x)
，


当
x0
时，函数
f(x)
是偶函数．
当
x0
时，函数
f(x)
是奇函数．
剖析：函数的 奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，应把函数的奇
偶性与单调性区分开，函数的单调性是函数的一个 局部性质，而函数的奇
偶性是函数的一个整体性质。“当
x0
时，函数是偶函数；当
x0
时，函
数是奇函数”这种说法本身就是错误的．
正解：显然，
f(x)
的定义域关于原点对称。当
x0
时，
x0
，
f(x)(x)
3
x
2
f(x)
；故函数
f(x)
既不是奇函数也不是偶函数．

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利用加减法判断函数的奇偶性
（2）对函数本质认识不透
【例12 】判断函数
f(x)x
2
a
2
a
2
x2
(a0)
的奇偶性．
错解：
f(x)(x)2
a
2
a
2
(x)
2
x
2
a
2
a
2
x
2
，
xf(x)f(x)
．
f(x)f(
，且
故此函数是偶函数，但不是奇函数．
剖析：表面上看，以上结论似乎无懈可击，便考虑到函数的 定义域
是

a，a

，值域是

0
< br>，故函数的解析式可简化为
f(x)0
，
x

a，a< br>
．
正解：
f(x)0
，
x

a ，a

，
f(x)f(x)
，且
f(x)f(x)
．
故此函数既是奇函数又是偶函数．













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利用加减法判断函数的奇偶性

总结
判断函数的奇 偶性是研究函数性质时应予以考察的一个很需要方
面。它在计算函数值，探讨函数的单调性，绘制图像， 求定积分等方面
均有用处；因此在解题中，针对不同的函数类别及函数性质的应用，归
纳出一定 的解题思路是很有必要的。
经过这次毕业论文的写作过程我对加减法判断函数的奇偶性及函数
的奇偶性等一系列问题有了深刻的认识。巩固了自己对函数的知识。















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利用加减法判断函数的奇偶性

参考文献

[1] 胡炯涛 《数学教学论》 广西教育出版社 1996年
[2］王子兴 《数学方法论》 湖南师范大学出版社 199年6月
[3］陆少华 《微积分》 上海交通大学出版社 2002
[4］数学学习与研究 2011年3期
[5] 雅安教育学院学报综合版 2000年4期
[6］数理化解题研究 2011年1期
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年

利用加减法判断函数的奇偶性

致谢
四年的读书生活在这 个季节即将划上一个句号，我将面对又一次征程
的开始.四年的求学生涯在师长，亲友的大力支持下走的 辛苦却也收获满
囊，在论文即将递上之际，我感谢在座的所有师生陪伴我长大.在此特向
艾尼瓦 尔老师及学院的所有老师致以衷心的谢意！向你们无可挑剔的敬业
精神、严谨认真的治学态度、深厚的专 业修养和平易近人的待人方式表示
深深的敬意！















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利用加减法判断函数的奇偶性


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