饮食与睡眠-最新笑话

首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛
决赛试题笔试（二）及答案
一、填空题（每题12分，满分60分）
题 号
答 案
1
1729
2
40.8
3
62
4
385
5
29
1. 如下数表由从1开始的连续自然数写成，并且每行最右边的一个数都是平方数：





则表中第10行所写出的各数的和等于.
解：第10行是从82 ~ 100共19个自然数之和:
82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100 =
808449010451001729
.
注：计算82 + 83 + 84 + ……+ 99 + 100的方法很多，比如：
82 + 83 + 84 + …… + 99 + 100


1

(82100)(8399 )(8498)
2
(10082)



1
1821991191820911729

2
或 82 + 83 + 84 + …… + 99 +
100
10019(1218)1900
(118)18

2
190019919001711729.

2. 图1中，长方形ABCD的长BC = 10厘米，宽AB = 6
厘米. 在BC上取点M，在AD上取点N，使得四边形
（图1）
BMDN是一个菱形. 则菱形BMDN的面积是平方厘米.
解：因为BMDN是一个菱形，可设

BMMDNDBNx
，
则
AN10x
. 在直角三角形ABN中，由勾股定理得
6
2
(10x)
2
x
2
，即
13620x
，解 得
x6.8
. 菱形BMDN的面积 = 6.8×6 = 40.8（平方厘米）.
3．100名少年运动员胸前的号码分别是1，2，3，……，99，100. 选出其中的k名
运动员，使得他们的号码数之和等于2008. 那么k的最大值是.
解：显然，选号码越小的，可以使选出的人数越多. 因此，考虑先选前n名运动员，
他们的号码是1~n的连续自然数，并且号码数之和不超过2008.

由于
123n
n(n1)n(n1)
20< br>，
082008,n(n1)4016
. 得
22
60603600,70704900,
故 n是二位数，其十位数字是6. 从小到大，
,
逐一试算
n(n1)
，得到
626339064016636440324016
，即选出的运
动员 不可能多于62人.
又因为
6263

1953,2008

1953

55
，可以选如下号码的运动员： 1，2，3，…，
2
7，9，…，62，63，这些号码数的和是（1953－8＋63）＝2008，所以，k的最大值< br>是62.
4. 自然数b与175的最大公约数记为
d
. 如果
176(b11d1)5d1
，
则b =. 解：由于
d(175,b)
，d必为175的约数，而175=5×5×7，所以d只能 取1，5，7，
25，35，175中的某一个. 另外由
176(b11d1)5d1
可知
b11d1
为非
0自然数， 即
b11d11
，因此
5d1176d35.
所以d =35或175.
将d =35代入
176(b11d1)5d1
，得b = 385. 将d =175代入
176(b11d1)5d1
，得
176(b11 1751)51751876
，即
44(b111751)219，左边是偶数，右边是奇数，矛盾！所以d =175不合要求.
所以b = 385.

5.华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科.
请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题：
“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，
缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”
白话译文：如图2，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺. 葛藤生
于圆柱底部A点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点. 则葛藤的长度是
________ 尺.
解：设想从A点将葛藤剪断，顶点处B不动，将
缠绕的葛藤 解开拉直，如图2-1所示：A点变为地
面上的C点. 则葛藤长为
RtBAC
的斜边BC. 由
AB =20，AC=21和勾股定理得：
BC
2
20
2
21
2
400441


（图2-1）
= 841=
30
2
60130
2
2301(301)
2
29
2< br>. 所以BC =29（尺）.
答：葛长29尺.
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每小题15分，满分45分）
6. 如图3，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴
棍； 摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棍. 小
明用1300根火柴棍，恰好摆放成一个m×m的“m
2
宫格”，问m=?
解：在“m
2
宫格”中，横向的火柴棍有
m1
行，每行有m根，共有m(m1)
根. 同
样，纵向的火柴棍有
m1
列，每列有m根，也共 有
m(m1)
根. 所以，摆放“m
2
宫
格”共用了2m(m+1)根火柴. ……（10分）
由
2m(m1)1300
， 得到
m(m1)65025
2
132526
，因此
m25.

（图3）

……（15分）
7. 图4中，M是AB 的中点， N是BC上一点，CN
= 2BN. 连接AN交MC于O点. 若四边形BMON
的面积为14平方厘米， 求：


（1）CO︰OM=？（2）三角形
ABC
的面积 = ？

解：
（图4）

8. 在1 ~ 30m（其中m是非零自然数）这些自然数中，
（1）能被2整除的合数共有多少个？能被3整除的合数共有多少个？
（2）请说明：在1 ~ 30m这些自然数中，质数的个数不超过10m .
解：（1）在1 ~ 30m（其中m是非零 自然数）这些自然数中，被2整除的数有15m
个，由于2是质数，所以偶合数共有15m – 1个； ……（3分）
被3整除的数有10m个，由于3是质数，其中的合数有10m – 1个.……（6分）
（2）由（1）的结果可知：在1 ~ 30m（其中m = 1，2，3，……）这些自然数中，
被2整除的合数有15m – 1个；被3整除的合数有10m – 1个；既被2整除同时又被
3整除的数有5m个，每一个都是合数. ……（9分）

在1 ~ 30m（其中m = 1，2，3，……）这些自然数中，减去15m – 1个偶合数；
再减去10m – 1个被3整除的合数，其中被6整除的数减重复了，注意再补回5m个
重复减掉的被6整除的合数. 注意，1不是质数也不是合数；此外，对任意非零自然
数m，在1 ~ 30m中，25是既不被2整除也不被3整除的一个合数，因而尚未被除
去. 所以，再除掉1与25这 两个数后，质数包含在剩下部分的数中，因此，质数的
个数不会超过剩下部分的数的个数，也就是质数的 个数不会超过
30m(15m1)(10m1)5m210m
……（15分）
另一解法：从1到30m中，能被2整除的数共有15m个，能被3整除的数共有10m
个，能 被5整除的数共有6m个；能被2和3整除的数共有5m个，能被2和5整除
的数共有3m个，能被3和 5整除的数共有2m个；能被2、3和5整除的数共有m
个.由“包含排除”原理，1到30m中不能被 2或3或5整除的数共有
30m(15m10m6m)(5m3m2m)m8m
（个）
设1 到30m中质数的个数为z，因为2、3和5都是质数，1既不是质数也不是
合数，因此
z8 m138m2
. 由
8m210m
，得到1 ~ 30m 中，质数的个数
不超过10m .
三. 解答下列各题，要求写出详细过程（第9题20分，第10题25分，满分45分）
9.在A到B的公 路段上，每30千米设一个慢车站，每50千米设一个快车站，如果
相邻两个车站间的路程大于15千米 ，则在这段路程的中点设一个维修点. 如果一
个车站既是慢车站也是快车站，则在这个车站设一家商店. 已知从A到B共设有7
家商店，A和B既是慢车站也是快车站.问：（1）从A到B的路程有多少千米? （2）
从A到B的途中共设有多少个维修点？
解：（1）计算从
A
到B的路程和快车站、慢车站的站数. 易知
A
是第1个商店，其
余各商店到
A
的路程是30和50的公倍数，而[30，50]=1 50，B是第7个商店，所以，

从
A
到B的路程是
(71) 1506150900
（千米）. ……（8分）
（2）途中的5个商店将全路程等分成6等份，每个等份中快车站、慢车站的设置完
全相同. 由于A是第1个商店，因此只要考虑从A到第2个商店这一段150千米的
路程上的快车站与慢车站的分 布情况就可以了.
设第2个商店为C点，则AC =150千米. 在AC这一段上（不包括A,C），有4
个慢车站，2 个快车站，如图所示：绿色□表示快车站，△表示慢车站. 从图上可以




看出：相邻两站的路程为30千米的路段有3段；相邻两站的路程为20千米的路段
有2段；相邻两站的路程为10千米的路段也有2段. 其中相邻两站的路程大于15
千米的路段共有5段，因此在AC这一路段上应该设有5个维修站点. 从A到B全路
程上应该设有
5630
个维修站点. ……（18分）
答：从A到B的路程为900千米；途中共设有30个维修站点. ……（20分）
另解：若学生按比例画出示意图，从图中标出A，B及快车站、慢车站，商店和维修< br>点，从图中数出全程长900千米；一共设有30个维修站点. 也给满分20分.
10. 图 5是由16个面积为1的等边三角形组成的一个
大的等边三角形，这个大的等边三角形内部及边上共有< br>15个交叉点. 请回答：
（图5）
（1）以这些交叉点为顶点，可以连成多少个等边三角形？
（2）所连成的全部等边三角形的面积的总和是多少？
解：（1）总计可以连成35个等边三角形.
其中：面积是1的等边三角形有16个；
面积是4的等边三角形有7个；
面积是9的等边三角形有3个； （图5-1）

面积是16的等边三角形有1个；……（10分）
利用对称的性质，如图5-1，红色等边
三角形的面积是由6个面积是1的等边三
角形 组成的正六边形面积的一半，等于3，
面积是3的等边三角形共有6个;
利用对称的性质， 如图5-2，蓝色等边三角形
1
的面积是
16
6

3< br>
7
，
面积是7的等边三角形
2

（图5-2）
共有2个； ……（18分）
此外，不能再连成别的等边三角形了.因此，可以连成的等边三角形总计有
16 + 7 + 3 + 1 + 6 + 2 = 35个.……（20分）
（2）所连成的全部等边三角形面积的总和等于
11647931613672119
. ……（25分）
答：可以连成35个等边三角形；所有等边三角形的面积总和是119.