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第七讲.勾三股四弦五I

【教学目标】
1.复习直角三角形及勾股定理；
2.掌握勾股定理的直接应用；
3.掌握构造勾股定理法；
4.掌握勾股定理的综合应用。

【知识、方法梳理】

1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为< br>a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
2
b
2
c
2
. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B
弦
c
A
b
股
a
勾
C

勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾 股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a,b,c
有下面关系：
abc
， 那么这个三
222
角形是直角三角形.
2. 勾股数：满足
abc的三个正整数叫做勾股数（注意：若
a,b,c
为勾股数，那么
222
k a,kb,kc
同样也是勾股数组.）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形 的三边长
a,b,c
满足
abc
，那么这个三角形是直角三角
形 。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为
90
的三角形是直角三角形.
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为
c
）；
（2）若
cab
，则
ABC
是以
C
为直角的三角形；
若
abc
，则此三角形为钝角三角形（其中
c
为最大边）；
若
abc
，则此三角形为锐角三角形（其中
c
为最大边）

222
222
222

222
1
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4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个 锐角等于
30
，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（3）在直角 三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等
于
30
。

5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边.
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.
（3）用于证明线段平方关系的问题.
（4）利用勾股定理，作出长为
n
的线段



【典例精讲】


类型一：勾股定理的直接用法

例1．在
Rt
ABC
中，
C90

(1)已知
a6
，
c10
，求
b
， (2)已知
a40
，
b9
，求
c
； (3)已知
c25
，
b15
，求
a
.
【思路点拨】: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用.
【解析】：

(1) 在
ABC
中，
C90
，
a6
，
c10
，
bc
2
a
2
8


(2) 在
ABC
中，
C90
，
a4 0
，
b9
,
ca
2
b
2
41


(3) 在
ABC
中，
C90
，
c25
，
b15
,
ac
2
b< br>2
20



类型二：勾股定理的构造应用

例2．如图，已知：在
ABC
中，
B60，AC70，A B30
。求：
BC
的长。


【思路点拨】：由条件
B60
，想到构造含
30
角的直角三角形，为此作
ADBC
于


D
，则有
BAD30

，
BD
BC
的长。


1
AB 15
，再由勾股定理计算出
AD、DC
的长，进而求出
2
【解析】 ：作
ADBC
于
D
，则因
B60
，

∴
BAD906030
（
Rt
的两个锐角互余）
∴
BD

1
AB15
（在
Rt
中，如果一个 锐角等于
30

，
2
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在
Rt
ABD
中，
2
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ADAB
2BD
2
30
2
15
2
153
.
根据勾股定理，在
RtACD
中，

CD AC
2
AD
2
70
2
15
2
3 65
.
∴
BCBDDC651580
.



类型三：勾股定理的实际应用：


（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
例3．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地
A
点出发，沿北偏东
60
方向走了

5003m
到 达
B
点，然后再沿北偏西
30

方向走了
500m
到达目
的地
C
点.
（1）求
A
、
C
两点之间的距离.
（2）确定目的地
C
在营地
A
的什么方向.
【解析】：（1）过
B
点作
BE

AD


∴
DABABE60


∵
30CBAABE180


∴
CAB90

即
ABC
为直角三角形
由已知可得：
BC500m
，
AB
5003m

由勾股定理可得：
ACBCAB

222
所以
ACBCAB5005003
222

2
1000
< br>m


（2）在
RtABC
中，
∵
BC500m
，
AC1000m

∴
CAB30

∵
DAB60

∴
DAC30

即点
C
在点
A
的北偏东
30
的方向










3




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（二）用勾股定理求最短问题：
例4．国家电力总公司为了改 善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改
造，某地有四个村庄
A
、
B
、
C
、
D
，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划 在四个村
庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架< br>设方案最省电线．

【思路点拨】：解答本题的思路是：最 省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路
长，然后进行比较，得出结论．
【解析】：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为

ABBCCD3,ABBCCD3

图（3）中，在
RtABC
中

ACAB
2
BC
2
2

2
同理
BD
∴图（3）中的路线长为
222.828

图（4）中，延长
EF
交
BC
于
H
，则
FHBC
，
BHCH

由
FBH30,BH

1
及勾股定理得：
2

EAEDFBFC
∴
EF12FH
33

,FH
36
3

3
∴此图中总线路的长为
4EAEF132.732


32.8282.732

∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。


类型四：利用勾股定理作长为
n
的线段：

例5．作长为
2
、
3
、
5
的线段.
【思路点拨】：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
2
，直角边
为
2
和1的直角三角形斜边长就是
3
，类似地可作
5
.
【作法】：如图所示
4
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（1）作直角边为1（单位 长）的等腰直角
ABC
，使
AB
为斜边；
（2）以
AB
为一条直角边，作另一直角边为1的直角
B
1
BA
.斜边为< br>B
1
A
；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
AB
2
B
3
，这样斜边
AB
、
AB
1、
AB
2
、
AB
3
的
长度就是

2
、
3
、
4
、
5
.


类型五：逆命题与勾股定理逆定理：

例6．写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
【思路点拨】：掌握原命题与逆命题的关系.
【解析】：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
【总结升华】：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

例7．如果
ABC< br>的三边分别为
a
、
b
、
c
，且满足
ab c506a8b10c
，判断
ABC
的形状.
【思路点拨】 ：要判断
ABC
的形状，需要找到
a
、
b
、
c< br>的关系，而题目中只有条件
222
a
2
b
2
c< br>2
506a8b10c
，故只有从该条件入手，解决问题.
222
【解析】：由
abc506a8b10c
，得 ：
222

a6a9b8b16c10c250
,
222
∴

a3



b 4



c5

0
.
∵

a3

0
,

b4

0
,

c5

0
.
∴
a3,b4,c5
.
∵
345
,
∴
abc
.
由勾股定理的逆定理，得
ABC
是直角三角形.
【总结升华】：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常
要用到。
222
222
222
5
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【双基训练】

1.如图，
BACD90
,
AD13,CD12,BC3,
则
AB
的长是多少?









222
2.如图，已知：
C90
，
AMCM
，
MPAB
于
P
. 求证：
BPAPBC
。







3.已知：如图，
BD90
，
A60
，
AB4,CD2
.求：四边形
ABCD
的面积.














6
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4.四边形
ABCD
中，
B90
，
AB3
，
BC4
，
CD12
，
AD13
，求四边形

ABCD
的面积。
C
B
A
D










5.已知:< br>ABC
的三边分别为
mn,2mn,mn
(
m,n
为正 整数,且
mn
),判断
ABC
是
否为直角三角形.







6.如图正方形
ABCD< br>，
E
为
BC
中点，
F
为
AB
上一点 ，且
BF
否垂直？请说明。
2222
1
AB
。请问FE
与
DE
是
4









7
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【纵向应用】 < br>7.一辆装满货物的卡车，其外形高
2.5
米，宽
1.6
米，要开进厂 门形状如图的某工厂，问这辆
卡车能否通过该工厂的厂门?





8.在数轴上表示
10
的点。











【横向拓展】
9.如图，一圆柱体的底面周长为
20cm
，高
AB
为
4cm
，
BC
是上底面的直径．一只蚂蚁从
点
A
出发，沿着圆柱的侧面爬行到点
C
，试求出爬行的最短路程．


















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练习题目答案
【双基训练】


1.
【答案】∵
ACD90


AD13,CD12,

AC
2
AD
2
CD
2

13
2
12
2

25
∴
AC5


又∵
ACB90
且
BC3

∴由勾股定理可得

ABACBC


222
5
2
3
2
16
∴
AB4

∴
AB
的长是4.
2.【解析】：连结
BM
，根据勾股定理，在
RtBMP
中，
222

BPBMPM
.
而在
RtAMP
中，则根据勾股定理有
222

MPAMAM
.
2222222
∴
BPBM

AMAP

BMAMAP

又∵
AMCM
（已知），
∴
BPBMCMAP
.
在
RtBCM
中，根据勾股定理有

BMCMBC
，
∴
BPBCAP
.

3.【分析】：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结
AC
，或延 长
AB
、
DC
交于
F
，或延长
AD
、BC
交于点
E
，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边
选第三种较为简单.
【解析】：延长
AD
、
BC
交于
E
.
∵
A60
，
B90
，∴
E30
.
∴
AE2AB8,CE2CD4,


BE
2
AE
2
AB
2
8
2
4
248,BE4843
.

DE
2
CE2
CD
2
4
2
2
2
12,DE1 223
.

S
四边形ABCD
S
ABE
S
CDE


4. 【答案】：连结
AC


∵
B90
，
AB3
，
BC4


222

2222
222
11
ABBECDDE63
.

22
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∴
ACABBC25
（勾股定理）
∴
AC5

∵
AC
2
CD
2< br>169,AD
2
169

∴
ACCDAD

∴
ACD90
（勾股定理逆定理）

S
四边形AB CD
S
ABC
S
ACD


222
222
11
ABBCACCD36

22
222
5.【分析】:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:
abc
即可
【证明】：
mn


22
2



2mn

22
2
m
4
2m
2
n
2
n
4
4m
2
n
2

m
4
2m
2
n
2
n
4


mn
2


所以
ABC
是直角三角形。

6.【答案】答：
DEEF
.
证明：设
BFa
，则
BEEC2a
,
AF3a
，
AB4a
,
∴
EFBFBEa4a5a
；

DECECD4a16a20a
.
222222
222222
连接

∴
∴
DF
（如图）
DF
2
AF
2< br>AD
2
9a
2
16a
2
25a
2< br>.
DF
2
EF
2
DE
2
,
DEEF
.

7.【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡 车位于厂门正中间时其高度是否小于
CH
．如图所示，点
D
在离厂门中线0.8
米处，且
CDAB
， 与地面交于
H
．
【解析】：
OC
＝1米 (大门宽度一半)，

OD
＝
0.8
米 （卡车宽度一半）
在
RtOCD
中，由勾股定理得：

CDOC
2
OD
2
1
2
0.8
2
0.6
米，

CH0.62.32.9
（米）

2.5
（米）．
因此高度上有
0.4
米的余量，所以卡车能通过厂门。

8.【解析】：可 以把
10
看作是直角三角形的斜边，

10

2
 10
，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1.

【作法】：如图所示在数轴上找到
A
点，使
OA3
，作
ACOA
且截取
AC1
，以
OC
为半径， 以
O
为圆心做弧，弧与数轴的交点
B
即为
10
.

10
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9.【解析】：

如图，在
RtABC
中 ，
BC
＝底面周长的一半＝
10cm
， 根据勾股定理得
（提问：勾股定理）
∴
AC

AB
2
BC2
4
2
10
2
22910.77

c m

（勾股定理）．
答：最短路程约为
10.77cm
．







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