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第八讲.勾三股四弦五II

【教学目标】
二．复习直角三角形及勾股定理；
三．掌握勾股定理的直接应用；
四．掌握构造勾股定理法。
五．掌握勾股定理的综合应用

【知识、方法梳理】
1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
2
b
2
c
2
. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B
弦
c
A
b
股
a
勾
C

勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾 股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a,b,c
有下面关系：
abc
， 那么这个
222
三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足
abc的三个正整数叫做勾股数（注意：若
a,b,c
为勾股数，那么
222
k a,kb,kc
同样也是勾股数组。）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长< br>a,b,c
满足
abc
，那么这个三角形是直角
三角形。（经典直 角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为
90
的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为
c
）；
（2）若
cab
，则
ABC
是以
C
为直角的三角形；
若
abc
，则此三角形为钝角三角形（其中
c
为最大边）；
若
abc
，则此三角形为锐角三角形（其中
c
为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个 锐角等于
30
，那么它所对的直角边等于斜边的一
半。

o
o
222
222
222
222

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于
30
。

5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为
n
的线段
o
【典例精讲】


类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。












类二：勾股定理的应用

o
例2. 如图，公路
MN
和公路
PQ
在点
P
处交汇，且
QPN30
，点
A处有一所中学，
AP
＝
160m
。假设拖拉机行驶时，周围
10 0m
以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路
MN
上沿PN方向行驶时，学校是否会 受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的
速度为
18kmh
，那么学校 受影响的时间为多少秒？
型

类型三：数学思想方法

4.转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或 进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化
为直角三角形问题来解决．
例3. 如图所示，
ABC
是等腰直角三角形，
ABAC
，D
是斜边
BC
的中点，
E
、
F
分
别是
AB
、
AC
边上的点，且
DEDF
，若
BE1 2
，
CF5
．求线段
EF
的长。







5.方程的思想

方法
oo
例4.已知
ABC
中，
C90
，
A60
，
ab33
，求
a
、
b
、
c
的值。













类型四：综合应用二：
例5.如图,一只蚂蚁沿棱长为
a
的正方体表面从顶 点
A
爬到顶点
B
，则它走过的最短路程为
( )
A．
3a
B．
(12)a
C．3
a
D．
5a

例6.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学 家赵爽的《勾股圆
方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如
果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为
a
，较长直角边
为
b
，那么

ab

的值为（ ）
2
（A）13 （B）19 （C）25 （D）169

例7.已知：如图，在
ABC
中，
EC90
，
AD
是
BC< br>边上的中线，
DEAB
于
E
，求证：
AC
2
AE
2
BE
2
。
E
B
D

A
C



例8.如图，把一张长方形纸片
ABC D
折叠起来，使其对角顶点
A
、
C
重合，•若其长
BC为
a
，宽
AB
为
b
，则折叠后不重合部分的面积是多少 ？






【双基训练】

一.等边三角形的边长为2，求它的面积。









2.直角三角形周长为< br>12cm
，斜边长为
5cm
，求直角三角形的面积。










3.若直角三 角形的三边长分别是
n1
，
n2
，
n3
，求
n
。













4.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40












）（

5.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径 ”，在花园内走出了一
条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩 伤了花草。










2.如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格 ，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角
形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形
ABCD
含 有多少个单位正三角形？平行四边形
ABCD
的面积是
多少？
（3）求出图中线段
AC
的长（可作辅助线）。



【纵向应用】
2.如图所示，折叠矩形的一边
AD
，使点< br>D
落在
BC
边的点
F
处，已知
AB8
cm
，
，求的长。
BC10EF
cm










【横向拓展】
1.
ABC
中，
BCa
，
AC b
，
ABc
，若
C90
，如图（1），根据勾股定理，则

o

abc
，若ABC
不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，
试猜想
ab
与
c
的关系，并证明你的结论。
22
2
222

练习题答案
【双基训练】

1.【答案】如图， 等边
ABC
，作
ADBC
于
D

1
BC
（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
2
∵
ABACBC2
（等边三角形各边都相等）
∴＝1
BD
222
在直角三角形
ABC
中，
ABADBD
，
AD
2
AB
2
BD
2
13
即：
∴
AD3

1

S
ABC
BCAD3

2
则
BD
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为
a
，则其面积为
3
a
。
4
2.【答案】设此直角三角形两直角边长分别是
x,y
，根据题意得：



xy512(1)

xy5< br>（
2
222
(2)

由1）
，
(2)，
形的
得：
xy7
，
(3)

xy

49
(3)
∴直
－
角三
x
2
2xyy
2
49
得
面积是
：
xy12

角
11
xy126

cm
2


22

3.【思路点拨】：首先要确定斜边（最长的边）长
n3
， 然后利用勾股定理列方程求解。
【解析】：此直角三角形的斜边长为
n3
，由勾股定理可得：


n1



n2



n 3


222
n4
化简得：
∴
n 2
，但当
n2
时，
n110
，∴
n2

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给
出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

5.【解析】：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用
cab
的变形：
b
2
c
2
a
2< br>

ca

ca

来判断。
222
2
例
∵
∴以
同理
如：对于选择D，
，
8
2


4039



4039

8，39，40为边长不能组成直角三 角形。
可以判断其它选项。 【答案】：A

5. 【 解
走
析
“
】
捷
：
径
他
”
们
的路
原
长
来
为
走的路
，
为
则< br>3+4＝7(m)
设
x
m
x3
2
4
2
5

故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

6.【答案】（1）单位正三 角形的高为
133
3

，面积是
1
。
224
2
。
（2）如图可直接得出平行四边形
ABC D
含有24个单位正三角形，因此其面积
24
3
63
4
2
（3）过
A
作
AKBC
于点
K
（ 如图所示），则在
RtACK
中，
33

3

A K3
2



,
2

2

15
KC11
，故
ACAK
2
KC
2
22

33


5

2


13


2






2

2

7. 【解析】：因为
ADE
与
AFE
关于
AE
对称，所以
ADAF
，
D EEF
。
o
因为四边形
ABCD
是矩形，所以
BC90
，
在
RtABF
中，
AFADBC10
cm
，
AB8
cm
，
所以
BF
所
设
AF
2
AB
2
10
2
8
2
6
cm

。
以
FCBCBF1064
< br>cm

，
222
。
。
ECxcm
则< br>2
EFDE

8x

cm
2
2
在
RtECF
中，
ECFCEF
，即
x4
8x

，解得
x3
。

EFDE

8x

cm5cm
即
EF
的长为
5cm
。
【横向拓展】

8.解：若
ABC
是锐角三角形，则有
ab＞c
；
若
ABC
是钝角三角形，
C
为钝角，则有
ab＜c
；
（1）当
ABC
是锐角三角形时，如下图
222
222

证明：过点
A
作
ADCB
，垂足为
D
。设
CD
为
x
，则有
DBax

根据勾股定理得
bxc(ax)

即：
bxca2axx

∴
abc2ax

∵
a＞0
，
x＞0

∴
2ax＞0

∴
ab＞c

（2）当
ABC
是钝角三角形时，如下图示：
222
222
22222
2222

证明：过点
B
作
BDAC
，交
AC
的延长线于点
D
.
设
CD
为
x
，则有
DBax

根据勾股定理得
(bx)axc

即 ：
b2bxxaxc

∴
ab2bxc

∵
b＞0
，
x＞0

∴
2bx＞0

∴
ab＜c










222
222
22222
2222
222