___ __________________________________________________ __________________________________________________ _______
勾股定理的逆定理 （3）
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

5 .一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得
零件 各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？


2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，
图18－2－7
∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.
6.已知△ABC的三边分别为k
2
－1，2k，k2
+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.



图18 图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S
1
、S
2
、S
3
，且S
1
=4，

S
2
=8，则AB的长为_________.
4.如图18－2－6，已 知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=
1
AD，
4
试判断△EFC的形状.
是直角三角形吗？为什么？




-可编辑修改-

二、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt △ABC的三边长，△A
1
B
1
C
1
的三边长分别是2a、 2b、2c，那么△A
1
B
1
C
1

____ __________________________________________________ __________________________________________________ ______



8.已知：如图18－2－8，在△ABC中， CD是AB边上的高，且CD
2
=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形. 12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
边形ABCD的面积.

图18－2－8


18－2－10
9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A （3，1），B（2，4），

△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论

参考答案

一、基础·巩固
. 图18－2－9 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
10.已知：在△ABC中，∠A、 ∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a
2
+b
2
+c
2
+338=10a+24b+26c.A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
试判断△ABC的形状. C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
-可编辑修改-
求：四
图

_______________________________________ __________________________________________________ _____________________
思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方 法：①有一个角是直角或两锐角互
余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一 半.
由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.
答案：D
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，
S
2
=8，则AB的长为_________.

图18－2－5 图18－2－6

思路分 析：因为△ABC是Rt△，所以BC
2
+AC
2
=AB
2
,即S
1
+S
2
=S
3
，所以S
3
=12 ，因为S
3
=AB
2
,
∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是 ________ cm（结果不取近似值）.
所以AB=
答案：
2
S
3
1223
.
3


图18－2－4
解：过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，
∴AB=DE.
∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.
4.如图1 8－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=
试判断△E FC的形状.
思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
解：∵E为AB中点，∴BE=2.
∴CE
2
=BE
2
+ BC
2
=2
2
+4
2
=20.
同理可求得,EF
2
=AE
2
+AF
2
=2
2
+1
2
=5,CF
2
=DF
2
+CD
2
=3
2
+4
2
=25.
∵CE
2
+EF
2
=CF
2
,
∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.
1
AD，
4
根据勾 股定理的逆定理得，DE=
∴AB=
10
2
5
2
53< br> cm.
10
2
5
2
53
cm.
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S
1
、S2
、S
3
，且S
1
=4，5.一个零件的形状如图18－2－7 ，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得
-可编辑修改-

_________________________________________________ __________________________________________________ ___________
零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A
1
B
1
C
1
的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A
1
B< br>1
C
1
是直角三角形吗？为什么？

图18－2－7 思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直
角三角形（ 例2已证）.
思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角 形即
解：略
可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
8.已知：如图18－2 －8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD
2
=AD·BD.
解：在△AB D中，AB
2
+AD
2
=3
2
+4
2
=9 +16=25=BD
2
，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.
求证：△ABC是直角三角形.
在△BDC中,
BD
2
+DC
2
=5
2
+12
2
=25+144=169=13
2
=BC
2
.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.
图18－2－8
因此这个零件符合要求.
思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.
6.已知△ABC的三边分 别为k
2
－1，2k，k
2
+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵AC
2
=AD
2
+CD
2
，BC
2
=CD
2
+BD
2
，
思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.
∴AC
2
+BC
2
=AD
2
+2CD
2
+BD
2

证明：∵k
2
+1>k
2
－1,k
2
+ 1－2k=(k－1)
2
>0,即k
2
+1>2k，∴k
2
+1是最长边.
=AD
2
+2AD·BD+BD
2

∵( k
2
－1)
2
+(2k)
2
=k
4
－2k
2
+1+4k
2
=k
4
+2k
2
+1=( k
2
+1)
2
,
=（AD+BD）
2
=AB
2
.
∴△ABC是直角三角形.
∴△ABC是直角三角形.
二、综合·应用
-可编辑修改-

______________________ __________________________________________________ ______________________________________
9.如图18－ 2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），
△OAB是直 角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；
②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽
视了a有可能 等于b这一条件，从而得出的结论不全面.

图18－2－9
答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等
腰三角形或直角三角形 .
思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的
11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a
2
+b2
+c
2
+338=10a+24b+26c.
逆定理判断△OAB是否 是直角三角形即可.
试判断△ABC的形状.
解：∵ OA
2
=OA1
2
+A
1
A
2
=3
2
+1
2
=10,
思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为 0；(3)已知a、
OB
2
=OB
1
2
+B
1B
2
=2
2
+4
2
=20,
b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.
AB
2
= AC
2
+BC
2
=1
2
+3
2
=10,
解：由已知可得a
2
－10a+25+b
2
－24b+144+c< br>2
－26c+169=0,
∴OA
2
+AB
2
=OB
2
.
配方并化 简得,(a－5)
2
+(b－12)
2
+(c－13)
2
= 0.
∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.
∵(a－5)
2
≥0 ,(b－12)
2
≥0,(c－13)
2
≥0.
10.阅读下列解 题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a
2
c
2
－b
2
c
2
=a
4
－b
4
，试判断△ABC
∴a －5=0,b－12=0,c－13=0.
的形状.
解得a=5,b=12,c=13.
解：∵a
2
c
2
－b
2
c
2
=a
4
－b
4
，(A)∴c
2
(a
2
－b2
)=(a
2
+b
2
)(a
2
－b
2
)，(B)∴c
2
=a
2
+b
2
，（C)∴△AB C
又∵a
2
+b
2
=169=c
2
,
是直角三角形.
-可编辑修改-

_______________ __________________________________________________ _____________________________________________
∴△ABC是直角三角形.
12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.
在△BDA中 AD
2
+AB
2
=3
2
+4
2
=25=B D
2
,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为S
△
BDA
=
11
×3×4=6;S
△
DBC
=×6×4=1 2.
22
∴S
四边形ABCD
=S
△
BDA
+S
△
DBC
=6+12=18.


图18－2－10
思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
( 2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直
角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.
解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,
∴DE=AB=4，BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE< br>2
+CE
2
=3
2
+4
2
=25=CD2
,
∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.




-可编辑修改-

___________________________ __________________________________________________ _________________________________
勾股定理的应用（4） < br>1.三个半圆的面积分别为S
1
=4.5π，S
2
=8π，S
3
=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，
则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由 。




2.求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所 示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠
A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，D A=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投
入多少资金买草皮？

D
BC=10cm，求EC的长。






4.如图，一个牧童在小河的南4km的
A
处牧马，而他正位于他的小屋< br>B
的西8km北7km处，
他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事 情所走的最短路程是多少？



小
牧
A
小
B

北
东
C

A
B




5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？
3
2
=4+5，5
2
=12+13，7
2
=24+25 9
2
=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵


< br>3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，< br>-可编辑修改-

____________________________ __________________________________________________ ________________________________
其中呢？
（1）填空：13
2
= +

8.已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求 这个四边形的面
（2）请写出你发现的规律。
（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。




6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长
A
D
B
C

7.在数轴上画出表示
17
的点（不写作法，但要保留画图痕迹）




积

_A

_D


_B


_C





9.如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。




勾股定理复习题（5）
-可编辑修改-
D
AC
B

_____________ __________________________________________________ _______________________________________________
一、填空、选择题题：
3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（ ）米。
（ ）
⑶若
a
2
b
2
，则a=b （ ）
4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是 ⑷全等三角形的对应角相等。 （ ）
（ ）米。
6、 在△ABC中，∠C=90°,AB=10。 (1)若∠A=30°,则BC= ，AC= 。(2)若∠A=45°,
则BC= ，AC= 。
8、在△ABC中，∠C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD= m
11、三角形的三边a b c，满足
(ab)
2
⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
（ ）
16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1:
(C) a=2 b=
3
: 2
c
2
2ab
，则此三角形是 三角形。
68
c= (D) a=13 b=14 c=15
55
12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明
向东走80米后又向 方向走的。
13、
ABC
中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC边上的中线AD=12cm则 AC的长为 cm
14、两人从同一地点同时出发 ，一人以3米秒的速度向北直行，一人以4米秒的速度向东直行，
5秒钟后他们相距 米.
15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴两直线平行，内错角相等。 （ ）
⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是( ).
A.8 B.10 C.
28
D.10或
28

18、下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等
C.对顶角相等 D.如果a=b或a+b=0,那么
a
二、解答题：
19、有一个水池，水面是一个 边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1
尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中 点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦
2
b
2

-可编辑修改-

___________________________ __________________________________________________ _________________________________
苇的长度分别是多少？



20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少? (其
中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)



21、某港口位 于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航” 号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相
距30海里。如 果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？




23、一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方 体木箱中,能放进去
吗?(提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)




22、请在数轴上标出表示
5
的点
-可编辑修改-

_______________________________________ __________________________________________________ _____________________
勾股定理复习题（6）
1、如图所示,有一 条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小
路的 面积是多少?

A

B
E
C




B 8km C
6km
A
F
D
4、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，
出发点
10


2、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。
(1)求DC的长。(2)求AB的长。

A


< br>3、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km
的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40kmh，则我边防海
警 船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？

D B
C
再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.
20

40





5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行 折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为
10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F 处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
•

70
终止点
40
A
D
E
-可编辑修改-
B
F
C< /p>

________________________________________ __________________________________________________ ____________________


8、已知，如图，四边形
ABCD
中，
AB
=3cm，
AD
=4cm，
BC
=13cm，
CD
=12cm，且∠
A
=90°，
6.如图，从电 线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电
线杆底部有多远？





求四边形
ABCD
的面积. （8分）


A
D
B

C




7、如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子
的顶端沿墙下滑0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？（8分）




9.如图，在△
ABC
中，
AB=AC
（12分）
（1） P为BC上的中点，求证：
AB
2
－
AP
2
=
PB
·
PC
；
（2）若
P
为
B
C上的任意一 点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若
P
为
BC
延长线 上一点，说明
AB
、
AP
、
PB、PC
之间的数量关系.

A
C


O
B
D


-可编辑修改-

___________________________ __________________________________________________ _________________________________


-可编辑修改-

___________________________ __________________________________________________ _________________________________






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-可编辑修改-