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【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其
为 “赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接
而成，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S
1
,S
2
，S< br>3
．若
S
1
，S
2
，S
3
＝10， 则S
2
的值是多少呢？

【知识梳理】
1、勾股定理定义：如果 直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a
2
＋b
2
＝c< br>2
. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B
弦
c
A
b
股
a
勾
C

勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾 股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a
2
＋b
2
＝ c
2
，那么这
个三角形是直角三角形。
2、勾股数：满足a
2＋b
2
＝c
2
的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数 ，
那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a、 b、c满足a
2
+b
2
=c
2
，那么这个三角形是
直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c
2
＝a
2
＋b
2
，则△ABC是以∠C为直 角的三角形；
若a
2
＋b
2
＜c
2
，则此三角形 为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a
2
＋b
2
＞c
2
，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边
所对的角等于30°。
5、勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为
n
的线段









【经典例题】
【例1】（2016山东 烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角

形，两直角边分 别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长
（计算 时视管道为线，中心O为点）是（ ） A.2m B.3m C.6m D.9m


【例2】（2016贵州贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC =3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可
能是（ ） A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7

【例3】（2016河北）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点
A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE 的长为（ ）A．0.5 B．2 C．3 D．4

【例4】 （2016重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角< br>∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.
222

【例5】（2016广东肇庆）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB＝ ．
【例6】（2016贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折
叠，使点C落在AB边的C ′点，那么△ADC′的面积是 ．

【例7】（2016四川广安） 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩
建成等腰三角 形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
．．．．．．．．．．

【例8】（ 2016四川乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平< br>分AB，求∠B的度数。
o

【例9】（2016山东枣庄）如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要
求完成下列各题：（1）画线段A D∥BC且使AD =BC，连接CD；
（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ；
（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；

【例10】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发 现地面上的C处有一筐水
果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另 一只猴子从D处滑到地面B，
再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.




【课堂练习】
1、（2016湖北黄石）将一个有45度角的 三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿

上，另一个顶点在纸带的另一边沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板
的最大边的长 A. 3cm B. 6cm C. 3
2
cm D. 6
2
cm

2、（2016江苏无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，
则EF = _________cm．

3、（2016山东枣庄）将一副三角尺如图所示叠放在一起， 若
AB
=14cm，则阴影部分的面积是________cm
2
.

4、王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条 边长为a米，由于受
地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
（1）请用a表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；
（3）能否 使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.





5、一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BD C都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，
AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

【课后作业】
1、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）

A.9
，
12
，
15 B.
53
,1,
C.0.2
，
0.3
，
0.4 D.40
，
41
，
9
44
2、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶
5

C.三边之比为
3
∶2∶
5
D. 三个内角比为1∶2∶3 < br>3、如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S
1
、S
2
、S
3
，且S
1
=4，S
2
=8，则AB的长为_ ________.

4
、如图，
E
、
F
分别是 正方形
ABCD
中
BC
和
CD
边上的点，且
AB= 4
，


A

D

F
CE=
B
E
C
BC
，
F
为
CD
的中点，连接
AF
、
AE
，问△
AEF
是什么 三角

形？请说明理由
.

(5题图) （6题图）
5、如图，如上图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处 折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么
这棵树折断之前的高度是 米.
6、一个零件的形状如图所示，已知AC=3
cm
，AB=4
cm
， BD=12
cm
。求CD的长.
7、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长 13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助
计算一下，铺完这个楼道至少需要多 少元钱?

8、如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4
m，则梯子的底端将滑出多少米？
【经典例题】
1、C 2、D 3、B 4、
14
5、15 6、6cm
2
7、由题意可得，花圃的周长=8+8+
82
=16+
82

3
8、解：∵AD平分∠CAD ∴∠CAD=∠BAD∵DE垂直平分AB∴AD=BD,∠B=∠BAD∴∠CAD=∠BAD=∠B
∵在RtΔABC中，∠C=90º∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º∴∠B=30º
9、解：（1）如图；

（2）
25
，
5
，5； （3）直角，10； （4）
1
．
2
10、设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（1 5-x）米，BC为5米，∴(x+10)
2
+5
2
=(15-x)
2
，解得x=2，∴10+x=12
【课堂练习】
1、D 2、5 3、
49

2
4、(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条 边为30-a-（2a+2）=28-3a
(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第 三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。
13
＞a＞5
2
(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形
5、解：在△ABD 中，AB
2
+AD
2
=3
2
+4
2
=9+ 16=25=BD
2
，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.
在△BDC中 ,BD
2
+DC
2
=5
2
+12
2
=25 +144=169=13
2
=BC
2
.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.
【课后作业】
1、C 2、C 3、
23

4、解：由勾股定理得AE
2
=25，EF
2
=5， AF
2
=20，∵AE
2
= EF
2
+AF
2
， ∴△AEF是直角三角形

5、8 6、解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得
BCACAB3425

在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD
2
=BC
2
+BD
2
=25+12
2
=169，所以CD=13.
7、根据勾股定理求得水平 长为
13
2
5
2
12m
，
地毯的总长 为12+5=17（m），地毯的面积为17×2=34（
m)
，
铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元） 8、0.8
2
22222