放下-高三女生

勾股
练习题
定理
温故而知新：
1.勾股定理
直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a
2
+b
2
=c
2
.
2.勾股定理的验证
勾股定理的证明方法很多，据说已有400余种 ，其证明的内涵极其丰富.常用的证法是
面积割补法，如图所示.
3.直角三角形的性质 < br>两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系），30°角所对的直角边等于斜边的一
半（边角 关系），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等
方面有广泛的应用.
例1 （2013·安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一 只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行（ ）
米 米
米 米
解析：小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB； 过点A向10米高的树作垂线，垂足
为C，则易知AC=8米，BC=10-4=6（米）；根据勾股定 理可得
AB=
AC
2
BC
2
=
8
2< br>6
2
=10（米）.
答案：B
小结：在解决实际问题时，往往根 据题意把实际问题转化为数学问题，构造直角三角形
利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数，借 助勾股定理列方程求解，常可使问
题简便.
例2 （2013·衢州）如图，将一个有45 °角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm
的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得 三角板的一边与纸带的一边
所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（ ）
cm cm

2
cm
2
cm
解析：如图所示在图中标上字母，过点A作AD⊥BD，
垂足为D，则AD=3 cm；
因为∠ABD=30°，所以AB=2AD=6 cm；
又△ABC是等腰直角三角形，故BC=AB=6 cm，根据勾股定理可得
AC=
A B
2
BC
2
=
6
2
6
2
=6
2
（cm）
答案：D
小结：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 斜边的一半，45°的直角三角形中，
斜边是直角边的
2
倍.
例3 如图 所示，公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=
∠C=120°，∠ A=45°.求出这块草地的面积.
解析：连结BD，作CE⊥BD,交BD于E点， 构造含特殊锐角（30°或45°）的直角
三角形求解.
答案：解：连结BD，作CE⊥BD,交BD于E点.
∵DC=BC，∴△BCD是等腰三角形.
∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°.
1
又BC=10m, 则EC=BC=5m，∴BE=
BC
2
EC
2
=5
3
m，BD=2BE=10
3
m, ∴
2< br>11
S
VBDC
=EC·BD=×5×10
3
=25
3
（m
2
）.
22
又∠DBA=∠CBA-∠CBE=90°，∠ A=45°，∴△DBA是等腰直角三角形.
11
∴
S
VDAB
= BD·AB=×10
3
×10
3
=150（m
2
）. 22
∴这块草地的面积S=
S
VBDC
+
S
VDAB< br>=（150+25
3
）m
2
.
小结：对于本题中这类图形，适当添加辅助线，将图形切割为基本图形，再进行相关计
算.
举一反三：
1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）
B.

7

C.

5

或
7

解析：分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑.

2.如图，△ABC和△ DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，
连接BD，则BD的长为（ ）
A.
3
B.
23

C.
33
D.
43

解析：由题意易知 ∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=4，BE=8，根据勾股定理可得
BD=
BE< br>2
DE
2
=
8
2
4
2
=
43
.
6.（2013·湘西）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB ，DE⊥AB于E，若
AC=6，BC=8，CD=3.
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积.
解析：（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=3；
11
（2）BD=BC- CD=5，S
△
ADB
=BD·AC=×5×6=15.
22
例4 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文
价值.图是一棵由正方形 和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自
下而上第一个正方形和第一个直角三角形 的面积之和为S
1
，第二个正方形和第二个直
角三角形的面积之和为S
2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S
n
，
设第一个正方形的边 长为1.请解答下列问题：
（1）S
1
=_______；
解析：根据正 方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理
求出三角形的直角边，求出S< br>1
.
答案：解：∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
3
1

1

∴ 三角形的一条直角边为，另一条直角边就是
1
2



，
2
2

2

333
1
∴三角形的面积为× ÷2=，∴S
1
=1+.
288
2
2
（2）通过探究，用 含n的代数式表示S，则S
n
=________.

解析: 利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
答案：解：∵第二个正方形的边长为
的
3
，
4
3
，
4
3
3
，它的面积就是，也就是第一个正 方形面积
2
4
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的
∴S2
=（1+
3
3
）×，依此类推，
8
4
S< br>3
=（1+
33
333
）××，即S
3
=（1+）× ()
2
，
88
444
3
3
）×()
n1
（n为整数）．
8
4
S
n
=（1+
小结：（1）勾股定理反映直角三角形三 边关系即a
2
+b
2
=c
2
，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理的另一种表现形式；（2）从简单到复杂，从
特殊到一般是 探究规律型问题的一般方法.
举一反三：
4.(2013·莆田)如图是一株美丽的勾股树 ，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为 2,5,1,2，则最大的正方形E
的面积是__________.
解析：S
3
=S
1
+S
2
=S
A
+S
B
+S
C
+S
D
=2+5+1+2=10.
例5 如图，△ABC中， 已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD
的长.小萍灵活运用轴对称知 识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍
的思路，探究并解答下列问题：
分 别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分
别为E，F，延长E B，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾
股定理，建立关于x的方程模 型，求出x的值.
解析：由四边形AEGF为正方形及对称性质得EG=GF=AE=AD=x， BD=BE=2，
CD=CF=3. BG=x-2，CG=x-3，BC=BD+CD=5，在Rt△BGC中利用勾股定理列方程
求解.
答案：解:∵AD=x,则AE=EG=GF=x.

∵BD=2,DC=3,∴BE=2,CF=3.
∴BG=x-2，CG=x-3.
在Rt△BGC中，BG
2
+CG
2
=BC
2
，
∴（x-2）
2
+（x-3）
2
=5
2
,化简得x
2
-5x-6=0,
即（x+1）(x-6)=0，可得x+1=0 或x-6=0.
∵x+1＞0,∴x=6,∴AD=x=6.
小结：（1）对折不改变图形的大小及形状，也 就是说折叠前后的图形全等，并且成轴
对称，其中折痕所在的直线即为对称轴；（2）利用方程的方法求 解平面图形，是方程
的一种简单应用，有时候也让我们的解题更为便捷.
3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm，
BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕
为DE，则DE的长为（ ）
cm
15
cm cm
4
25
；（下一步）
4
解析：由折叠性质知AD=BD，设BD=x cm，则CD=（8-x）cm，
在Rt△ACD中，AC
2
+CD
2
=AD
2
，∴6
2
+(8-x)
2
=x
2
,解 得x=
在Rt△ABC中，AB=
AC
2
BC
2
=
6
2
8
2
=10（cm）,∴ AE=BE=5cm,
15< br>
25

∴DE=
BD
2
BE
2
=

5
2
=（cm）.
4

4

2
例6 请阅读下列材料：
问题：如图甲，一圆柱的底面半径为5 dm，BC是底面直径，高AB为5 dm，求一只
蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线；
路线1：侧面展开图中的线路AC，如图乙所示.
设路线1的长度为
l
1< br>，则
l
1
2
=AC
2
=AB
2
+B C
2
=5
2
+(5π)
2
=25+25π
2
.
路线2：高AB+底面直径BC，如图甲所示：
设路线2的长度为
l
2
，则
l
2
2
=(AB+BC)
2
=(5+10)
2
=225.
∵
l
1
2
-
l
2
2
=25+25π
2
-225=25π
2
-200=25（ π
2
-8）＞0.
∴
l
1
2
＞
l
2
2
,∴
l
1
＞
l
2
.所以选择路线2 较短.
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1 dm，高

AB为5 dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1：
l
1
2
=AC
2
=______ _____________；
路线2：
l
2
2
=（AB+BC）
2
=______.∵
l
1
2
_____
l
2
2
，∴
l
1
____
l
2
（填“＞” 或“＜”），
所以应选择路线_______（填“1”或“2”）较短.
（2）请你帮小 明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何
选择上面的两条路线才能使蚂蚁 从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
答案：（1）AB
2
+BC
2
=5
2
+π
2
；（5+2）
2
=49；＜；＜； 1
解：（2）路线1：
l
1
2
=AC
2
=AB< br>2
+BC
2
=h
2
+(πr)
2
=h
2
+π
2
r
2
.
路线2：
l
2
2
=(AB+BC)
2
=(h+2r)
2
.
∴
l
1
2
-
l
2
2
=(h
2
+π< br>2
r
2
)-(h+2r)
2
=π
2
r
2
-4hr-4r
2
.
当
l
1
2
-
l
2
2
＞0时, π
2
r
2
-4hr-4r
2
＞0,即［(π
2
-4)r-4h］·r＞0.
又r＞0, ∴(π
2
-4)r-4h＞0. 解得r＞
4h
.
2

4
当
l
1
2
-
l
2
2
＜0时，π
2
r
2
-4hr-4r
2
＜0,即(π
2
-4)r-4h］·r＜0.
又r＞0, ∴(π
2
-4)r-4h＜0.∴r＜
所以当r＞
4h
,

2
4
4h
22
ll
时，＞，选择路线2. < br>12
2

4
4h
当0＜r＜
2
时，
l
1
2
＜
l
2
2
，选择路线1.
< br>4
小结：在这道题中，勾股定理和以前学过的不等式，以及圆柱体的一些相关知识联系到
了一起，对我们的综合能力要求较高.
举一反三：
5.（2013·东营）如图，圆柱形容器中，高为 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容
器底部 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 m与蚊 子
相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）．
解析：将圆柱侧面展开如图所示，作点A关于CD的对称
点A′,连接A′B，则A′B的长即为所求最短距离；
过点B作BE⊥AC于E，
则BE=，A′E=，根据勾股定理得

A′B=
A'E
2< br>BE
2
=
1.2
2
0.5
2
=（m）.