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勾股定理课时练（
1
）
222
第一课时答案:
2 2 2 2 2
2

A.2 B.4 C.6 D.8


2. ___________________________________
如图
18
-
2
-
4
所示
，
有一个形状为直角梯形的零件

ABCD
，
AD

BC
,斜腰
DC
的长为
10 cm
，
D=120
，则该零件另一腰
AB
的长是
cm
（结果不取近似

值）
.
1.
在直角三角形
ABC
中，斜边
AB=1
，则
AB

BC

AC
的值是（
1.A
，提示：根据勾股定理得
BC

2.4
，提示：由勾股定理可得斜边的长为
AC

1
，所以
AB

BC

AC

=1+1=2
；
3+4-5=2

5
m
，而
m
，所以他们少走了
4
步
.
2222
60
12
2
5
2
. 169 13
，再

3.

4.


一根旗杆于 离地面
直角三角形两直角边长分别为
12
m
处断裂，犹如装有铰链那样倒向地 面，旗杆顶落于离旗杆地步

5
和
12
，则它斜边上的高为 _________ •
旗杆在断裂
16

之前高多少


m
m
,
5.


如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面
3
米处折断，树的顶端落在离树杆底

部
4
米处，那么这棵树折断之前的高度是 米
.








第
5
题图

6.
飞机在空中水平飞行
，
某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方
飞机距

离这个男孩头顶

5000
米
,
求飞机每小时飞行多少千米
？
7.

如图所示，无盖玻璃容器，高
18
cm
，底面周长为
60
cm
， 在外侧距下底
1
cm
的点
C
处有

一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口
1
cm
的
F
处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的

蜘蛛，所走的最短路线的长度

.

8.
一个零件的形状如图所示，已知
AC=3
cm
，
AB=4
cm
，
BD=12
cm
。求
CD
的长
.



9.
如图,
四边形
ABCD
中，
A=60°,Z B=Z D=90°
,
BC=2 CD=3
求
AB
的长
.
10.

如图，一个牧童在小河的南
4km
的
A
处牧马，而他正位于他的小屋
B
第
西
7
8
题图
北
7km
处, 他想

把他的马牵到小河边去饮水，然后回家


.
他要完成这件事情所走的最短路程是多少

第
8
题图
11
2m
的楼

如图，某会展中心在会展期间准备将高
5m,
长
13m
，宽
道上铺地毯
图
已知地毯平方米
18
元，请你帮助计算一下， 个楼道至少需要多少元钱
？
铺完这


12.

甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻
13m 5
找水 机

源•为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话
的有

效距离为

15
千米•早晨
8
:
00
甲先出发，他以
6
千米

时 向东行
第
11
题
的速度

走，
1
小时 后乙岀发，他以
5
千米

时的速度向北行进, 远还能保
上午
10
：
00
，甲、乙二人相距多

持联系吗




3.
，提示：设斜边的高为
X
，根据勾股定理求斜边为
利用面积法得
13
,
1 1 “ 60
5 12 13 x,x
4.
解：依题意，
2 2 13
在直角三角形
ABC
AB=16
中
，
由勾股定理
m
，
AC=12
，
m

，
2 2 2 2 2 2
BC AB AC 16 12 20
,
所以
BC=20
m
,20+12=32
（
m
）,
故旗杆在断裂之前有
5.

32
m
高
.
8
6.
解
：
如图
,
由题意得
，AC=4000
米
,

C=90° ,AB=5000
米
,
BC
=.
5000
2
4000
2
3000
（
米
）,
3
所以飞机飞行的速度为
540
（
千米

小
时
）
3600
20
7.
解：将曲线沿
AB
展开，如图所示，过点
C
作
CEL
AB
于
E.
在
R
t CEF,
CEF 90
，
EF
=18-1-1=16
（
cm
），
1
CE=—
30
2. 60
（cm）
,
由勾股定理，得
CF
=
CE
2
EF
2
30
2
16
2

8
解：在直角三角形
ABC
中，根据勾股定理，得
在直角三角形
CBD
中，根据勾股定理，得
CD=
9.
解：延长
BC AD
交于点
E.
（如图所示）

VZ B=90°,Z A=60
°「.
E=30°
又•:
CD=3 • CE=6 • BE=8,
设
AB=
X
,
则
AE=2
X
，由勾股定理。得
(2x)
2
x
2
8
2

,X
8
、
3
3
10.
如图，
作出
A
点关于
MN
的对称点
A
'，连接
A
'
B
交
MN
于点
P
,
在'
B=17km

Rt
△
A
'
DB
中，由勾股定理求得
A
11.
解：根据勾股定理求得水平长为
・13
2
5
2

12m
,
地毯的总长 为
12+5=17
(
m
),地毯的面积为
17 X 2=34
(
2
铺完这个楼道至少需要花为：
34 X 18=612
(元)
m )
,
12.
解：如图，甲从上午
8
:
00
到上午
10
:
00
一共走了
2
小时, 走了
12
千米，即
OA=12
.
乙从上午
9
:
00
到上午
10
:
00
一共走了
1
小时，
走了
5
千米，即
OB=5
.
在
Rt
△
OAB
中，
AB
2
=
22
12
十
5
=
169
,二
AB=13
,
因此，上午
10
:
00
时，甲、乙两人相距
13
千米.
V 15
>
13
, •••甲、乙两人还能保持联系.
B
就是最短路线
.
A
'

勾股定理的逆定理（
2
）


选择题
1.


下
列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（



）

A.9

，
12
，
15 B.
5
1

3
C.0.2
，
0.3
，
0.4 D.40
，
41
，
9
,1,

44

A.
2.
三个内角比为
1
:
2
:
B.
三边之比为
1
:
2
:

5
1

满足下
列条件的三角形中，不是直角三角形的是（

）
C.

三边之比为
，3
:
2
:
5
D.
三个内角比为
1
:
2
:
3

3.


已知三角形两边长为
2
和
6
，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）


A.
. 2
B.
2
加
0
C.
4 .2
或
2 10
D.
以上都不对


4.
五根小木棒，其长度分别为
7
，
15
,
20
，
24
,
25
，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确

的是（）

A B C D

二、

填空题

5.
△
ABC
的三边分别是
7
、
24
、
25
,则三角形的最大内角的度数是
.

6.


三边为
9
、
12
、
15
的三角形，其面积为
.

7.


已知三角形
ABC
的三边长为
a,b,c
满足
a b 10
,
ab 18
,C
8
，则此三角形为 _________________ 三角形
.

8.

__ __________________________________________________ ______________
在三角形
ABC

中,
AB=12
cm
,
AC=5
cm
,
BC=13
cm
，贝
U BC
边上的高为
AD= __________________
cm
.

三、 解答题

9.


如图，已知四边形
ABCD
中，
B=90
°,
AB=3
,
BC=4
,
CD =12
,
AD=13
,求四边形
ABCD
的面积
.







第
9
题图

10.
如图，
E
、
F
分别是正方形
ABCD
中
BC
和
CD
边上的点，且
AB=4
,
CE =
BC
F
为
CD
的中点，连接
AF
、
AE
,
问厶
AEF
是什么三角形请说明理由
A
D
11.
如图
树，在树上距地
10m
的
D
处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C
处
A
面 、
F
有一筐水
D
处上爬到树
处，利用拉在
A
处的滑绳
AC
,滑到
C
处，另一只 已知两猴
猴子从
顶
B
,

再由
B
跑到
C
,
子所经路程都是
15m
，求树高
AB.
B
E C
12
十
10
题
.
，为修通铁路凿通隧道
AC
量出
A=40°Z B= 50
°,
AB= 5
公里，
BC
=
4
公里，若每天
凿隧道
18.2
.3
公里，问几天才能把隧道
AB
凿通
勾股定理的逆定理答案：
1.C
;

第三边为斜边
2.
;
3.C
,提示：当已经给出的两边分别为直角边时，
=
J
―6―
C
0;
当
6
为斜边时，第 三边为直角边
=
J6
2
2
2
4'2
；
4.
二、
5.9
第
°提示
题
根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为
C
;
90
°
.6.54
，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积
1
9 12
为
2
直角，提示:
54.
7
.

(a b)
2

100,
得
a
2

b
2

2ab 100,a
2

b
2

100 2 18 64 8
2

c
2

；
8.
60

,提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得
13
1 1
—12 5 — 13 AD
；
2 2
三、
9.
解：连接
AC
，在
Rt
△
ABC
中，
AC
2
=AB
2

+
BC
2
=3
2
+
4
2
=25
,
•
AC=5.
在厶
ACD
中，
T
AC
2

+
CD
2
=25
+
12
2
=169
, 而
AB
2
=13
2
=169
，
• AC
2

+
CD
2
=AB
2
，二
ACD=90
°.
1 1
A
故
S
四边形
ABCD
=S
A
AB
C
+

S
A
ACD
=
2 2
X5 X 12=6 + 30=36.
10.
解：由勾股定理得
AE
2
=25
，
EF
2
=5
，
2
AF
=20
，
T
AE
2
= EF
2
+ AF
2
，
•••△
AEF
是直角三角形
11.
设
AD=x
米，贝
U AB
为（
10+x
）米，
AC
为（
15-x
）米，
BC
为
5
米，
（ x+10）
2
+5
2
=（ 15-x）
2
， 解得
x=2
，「
15,b 2 7 (7 1) 112,c 112 1 113.
12.
解：第七组，
a 2 7 1
第
n
组，
a 2n 1,b 2n(n 1), c 2n(n 1) 1

.
10+x=12
（米）

勾股定理的逆定理 （
3
）
、基础巩固
1.
满足下列条件的三角形中，不是直角三角
形的是（ ）
A.
三内角之比为
1
:
2
:
3 B.
三边长的平方之比为
1
:
2
:
3
C.
三边长之比为
3
:
4
:
5 D.
三内角之比为
3
:
4
:
5
2.
如图
18
-
2
-
4
所示
，
有一个形状为直角梯形的零件
ABCD
,
AD

BC
,斜腰
DC
的长为
10 cm
,

D=120
，则该零件另一腰
AB
的长是 _____________
cm
（结果不取近似值）
.
图
18
图
18
-
2
-
5
图
18
-
2
-
6
3•
如图
18
-
2
-
5
,以
RtAABC
的三边为边向外作正方形，其 面积分别为
S
、
S
2
、
S
3
,且
8=4
,
S
2
=8
, _则
AB
的长为 ___________
.
4.
如图
18
-
2
-
6,
已知正方形
ABC D
的边长为
4,E
为
AB
中点，
F
为
AD
上的一点，且
AF= 1AD
,
4
试判
断△
EFC
的形状
.
5.
一个零件的形状如图
18
-
2
-
7
,按规定这个零件中
A
与
BDC
都应为直角，工人师傅量得
零件各边尺寸：
AD=4
,
AB=3,BD=5
,
DC=12 , BC=13
，这个零件符合要求吗
图
18
-
2
-
7
6.
已知△
ABC
的三边分别为
k
2
-
1
,
2k
,
k
2
+1
（
k
>
1
）,求证：
△
ABC
是直角三角形
.
二、综合应用
7.
已知
a
、
b
、
c
是
RtA ABC
的三 边长，
△
A
1
B
1
C
1
的三边长分别是
2a
、
2b
、
2c
,那么△
A
1
B
1
C
1
是直角
三角形吗为什么
8.
已知：如图
18
-
2
-
8
,在厶< br>ABC
中，
CD
是
AB
边上的高，且
CD
2
=AD- BD.
求证：
△
ABC
是直角三角形
.
图
18
-
2
-
8
9•
如图
18
-
2
-
9
所示，在平面直角坐标系中， 点
A
、
B
的坐标分别为
A
（
3
,
1
）,
B
（
2
,
4
）, △
OAB
是直角三角形吗借助于网格，证明你的结论
.
图
18
-
2
-
9
10.
已知：在厶
ABC
中，
A
、
B
、
C
的对边分别是
a
、
b
、
c
,满足
a
2
+b
2
+c
2
+338=10a+24b+26c.
试
判断
△
ABC
的形状
.
12.
已知：如图
18
-
2
-
10
,四边形
ABCD
,
AD

BC
,
AB=4
,
BC=6
,
CD=5
,
AD=3.
求：四边 形
ABCD
的面积
.
图
18

参考答案
一、基础巩固
1.
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.
三内角之比为
1
:
2
:
3 B.
三边长的平方之比为
1
:
2
:
3
C.
三边长之比为
3
:
4
:
5 D.
三内角之比为
3
:
4
:
5
思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互 余；②两
边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半
由
A
得有一个角是直角；
B
、
C
满足勾股定理的逆定理，所以 应选
D.
答案：
D
2.
如图
18
-
2
-
4
所示
，
有一个形状为直角梯形的零件
ABCD
,
AD

BC
,斜腰
DC
的长为
10 cm
,

D=120
，则该零件另一腰
AB
的长是 ______________
cm
（结果不取近似值）
.
图
18
-
2
-
4
解：过
D
点作
DE

AB
交
BC
于
E,
则
△
DEC
是直角三角形
•
四边形
ABED
是矩形，
•
AB=DE.
vZ D=120
，二
CDE=30 .
又丁在直角三角形中，
30°
所对的直角边等于斜边的一半，
CE=5 cm.
根据勾股定理的逆定理得，
DE=J —5
^
5
cm.
• AB=
.10
2
5
2

5.
3
cm.
3.
如图
18
-
2
-
5
,以
Rt
△
ABC
的三边为边向外作正方形，其面积分别为
S1
、
S
2
、
S
3
,且
S
1< br>=4
,
S
2
=8
,_则
AB
的长为 ___________
.
图
18
-
2
-
5
图
18
-
2
-
6
思路分析：因为△
ABC
是
Rt
△,所以
BC
2
+AC
2
=AB
2
,
即
S
1
+ S
2
=S
3
，所以
S
3
=12
,因为
S
a
=AB
2

所以
AB
=
& ,12 2 3
.

答案：
2 3
4.
如图
18
-
2
-
6,
已知正方形
AB CD
的边长为
4,E
为
AB
中点，
F
为
A D
上的一点，且
AF= AD
,
4
试判断△
EFC
的形状
.
思路分析：分别计算
EF
、
CE
、
CF
的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可
.
解：
T
E
为
AB
中点，
BE=2. -
CE
2
=
BE
2
+BC
2
=22
+4
2
=20.
同理可求得
，EF
2
=A E
2
+AF
2
=2
2
+1
2
=5,CF< br>2
=DF
2
+CD
2
=3
2
+4
2
=25.
•
CE
2
+
EF
2
=
CF
2
,
•••△
EFC
是以
CEF
为直角的直角三角形
.
5.
一个零件的形状如图
18
-
2
-
7
,按规定这个零件中
A
与
BDC
都应为直角，工人师傅量得 零件各边尺
寸：
AD=4
，AB=3,BD=5
，
DC=12 , BC=13
，这个零件符合要求吗
图
18
-
2
-
7
思路分析：要检验这个零件是否符合要求， 只要判断厶
ADB
和厶
DBC
是否为直角三角形即
可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了
.
解：在△
ABD
中，
AB
2
+AD
2
=3
2
+4
2
=9+16=25=BD
2
，所以△
ABD
为直角三角形，
A =90
°
.
在厶
BDC
中
，
BD
2
+DC
2
=5
2
+12
2
=25+144=169=13
2
=BC
2
.
所以△
BDC
是直角三角形，
CDB =90 .
因此这个零件符合要求
.
6.
已知△
ABC
的三边分别为
k
2
-
1
，
2k
，
k
2
+1
(
k
>
1
)，求证：
△
ABC
是直角三角形
.
思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可
证明：
T
k
2
+1>k
2
-
1,k
2
+1
-
2k=(k
-
1)
2
>0,
即
k
2
+1>2k
，二
k
2
+1
是最长边
.
T
(k
2

-
1)
2
+(2k )
2
=k
4

-
2k
2
+1+4k
2
=k
4
+2k
2
+1= (k
2
+1)
2
,
•••△
ABC
是直角三角形
.
二、综合应用
7.
已知
a
、
b
、
c
是
RtA ABC
的三 边长，
△
A
1
B
1
C
1
的三边长分别是
2a
、
2b
、
2c
，那么△
A
1
B
1
C
1
是直
角三角形吗为什么
思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直 角三角形
(例
2
已证)
.
解：略
8.
已知 ：如图
18
-
2
-
8
，在厶
ABC
中，< br>CD
是
AB
边上的高，且
CD
2
=AD- BD.
思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可

求证：
△
ABC
是直角三角形
图
18
-
2
-
8
证明：
T
AC
2
=
AD
2
+
CD
2
，< br>BC
2
=
CD
2
+
BD
2
，
二
AC
2
+BC
2
=AD
2
+2CD
2
+BD
2

=AD
2
+2AD - BD+BD
2

=
(
AD
+
BD
)
2
=
AB
2
.
•••△
ABC
是直角三角形
.
9.
如图
18
-
2
-
9
所示，在平面直角坐标系中，点
A
、
B
的 坐标分别为
A
(
3
,
1 ),B( 2,4
)，△
OAB
是
直角三角形吗借助于网格，证明你的结论
.
图
18
-
2
-
9
思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算
OA
、
AB
、
OB
的长度，再利用勾股定理的
逆定理判断△
OAB
是否是直角三角形即可
.
解：
T
OA
2
=OA
1
2
+A
1
A
2
=3
2
+1
2
=10,
OB
2
=OB
1
2
+B
1
B
2
=2
2
+4
2
=20,
AB
2
=AC
2
+BC
2
=1
2
+3
2
=10,
-
OA
2
+AB
2
=O B
2
.
OAB
是以
OB
为斜边的等腰直角三角形
.
10.
阅读下列解题过程：已知
a
、
b
、
c ABC
的三边，且满足
a
2
c
2
-
b
2
C
2
=a
4
-
b
4
,试判断△
ABC
的形状
.
解：
T
a
2
c
2
-

b
2
c
2
=a
4
-
b
4
,
(A)
c2
(a
2
-

b
2
) =(a
2
+b
2
)(a
2
-

b
2
)
,
(B) c
2
=a
2
+b
2
,
(
C)
-△
ABC
是 直角三角形
.
问：①上述解题「过程是从哪一步开始岀现错误的请写岀该步的代号 ___________
②错误的原因是. _______________ ③本题的正确结论是 _____________
.
思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽
视了
a
有可能等于
b
这一条件，从而得出的结论不全面
.
答 案：①
(B)
②没有考虑
a=b
这种可能，当
a=b
时厶< br>ABC
是等腰三角形：③厶
ABC
是等 腰三角形或
直角三角形
.
11.
已知：在厶
ABC
中，
A
、
B
、
C
的对边分别是
a
、
b
、
c
,满足
a^+b
2
+c
2
+338=10a+24b+26c.
试判断
△
ABC
的形状
.
思路分析：(
1
)移项，配成三个完全平方；(2)
三个非负数的和为
0
，则都为
0
;
(3)
已知
a
、
b
、
c
,
利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形
解：由已知可得
a
2
-
10a+25+b
2
-
24b+144+c
2
—
26
C
+169=0,