傲雪寒梅-精神文明建设的重要性

勾股定理

一、 勾股定理及证明

1.勾股定理基础

2.简单的计算

3.几何图形中的计算

4.勾股定理的几何证明

二、 勾股定理的逆定理

三、 勾股定理的应用


一、 勾股定理及证明


1.勾股定理基础


1.

【易】（初二数学下期末复习）在
Rt△ABC
中，
C90
，
a
、
b
、
c
分别表示
A
、
B
、
C
的对边，则下列各式中，不正确的是（ ）

A．
a
2
b
2
c
2
B．
c
2
a
2
b
2
C．
ac
2
b
2
D．
a
2
b
2
c
2

【答案】D


2.

【易】（2010实验初二上期中）下列说法正确的是（ ）

A．若
a< br>、
b
、
c
是
△ABC
的三边，则
a
2
b
2
c
2

B．若
a
、
b
、
c
是
Rt△ABC
的三边，则
a
2
b
2
c
2

C．若
a
、
b
、c
是
Rt△ABC
的三边，
C90
，则
a
2
b
2
c
2

D．若
a
、
b
、
c
是
Rt△ABC
的三边，
A90
，则
a
2
b
2
c
2

【答案】C


3.

【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（ ）

A．在
Rt△ABC
中，
AB
2
BC
2
AC< br>2

B．在
Rt△ABC
中，若
a3
，
b 4
，则
c5

C．在
Rt△ABC
中，两直角边长都为15，则斜边长为
152

D．在直角三角形中，若斜边长为10，则可求出两直角边的长

【答案】C


4.

【易】(2010年北京西城外期中)将直角三角形的三条边长同时 扩大同一倍数，得到的
三角形是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

5.

【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩 大到原来
4
倍，则其斜
边扩大到原来的（ ）倍，所得的三角形仍为直角三角形

A．
2
B．
4
C．
8
D．
16

【答案】B


6.

【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的
2
倍，其斜边扩大到原来的（ ）

A．
2
倍 B．
3
倍 C．
4
倍 D．
5
倍

【答案】A


7.

【易】（人大附中2013年第二学期期中初二年级数学练习）某校 办工厂要制作一些等腰
三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行 了记
录，其中记录有错误的是（ ）

A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5

【答案】A


8.

【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)在
Rt△ABC
中，
C90
，周长
为60，斜边与一条直角边之比为< br>13:5
，则这个三角形三边长分别是（ ）

A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10

【答案】D


9.

【易】（2013年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知 道学校旗杆的高，他发
现旗杆上的绳子垂到地面还多
1m
，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地
面，则旗杆的高为（ ）

A．8m B．10m C．12m D．14m

【答案】C

【解析】解：由题意得，AB
为旗杆的高，
ACAB1
，
BC5
米．


已知
ABBC
，根据勾股定理得
ABAC
2
BC
2

解得
AB12
米


10.

【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四 边形都是
正方形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm
2
．问：最大的正方 形的边长是
_______．


【答案】14cm

图 中所有正方形的面积之和等于5倍的最大的正方形的面积，980÷5=196cm
2


11.

【易】（2013年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷）

已知
x 2y3
2

AB1

25


2
0
，如果以
x
，
y
的长为直角边作一个直角三角形， 那么这个直
角三角形的斜边长为（ ）

A．
5
B．5 C．
7
D．
15

【答案】C


12.

【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)如图， 在四边形
ABCD
中，
ABBC2
，
CD3
，
AD1
，且
ABC90
，试求
A
的度数．


【答案】连结
AC
，


在
Rt△AB C
中，
B90
，
ABBC2
，

∴BAC45
，
AC
2
AB
2
BC
2
8
，

∴
AC
2
AD
2
C D
2
，∴
CAD90
，

∴
BADBACCAD135


13.

【易】（2013年第二学期八年级数学学科期中统练试卷）如图所示的一块地，已知
AD4 m
，
CD3m
，
AD⊥DC
，
AB13m
，< br>BC12m
，求这块地的面积．


【答案】
24

【解析】连接
AC


在
△ACD
中，
 D90
，
AD4m
，
CD3m
，

∴AC5
，
AB
2
AC
2
BC
2
，

∴
ACB90
，

11
∴
S S
△ABC
S
△ACD
5123424

22

14.

【易】看下列两组勾股数

⑴
a

b

c
⑵
a

b

c

3 4 5 4 3 5

5 12 13 6 8 10

7 24 25 8 15 17

9 40 41 10 24 26

11 60 61 12 35 37

… … … … … …

从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？

11
b，c
）
b(a
2
1)，c(a
2
1)
；

【答 案】所给的勾股数（
a，
，当
a
为奇数时，
bc1，
2 2
11
b(a
2
4)，c(a
2
4)

当
a
为偶数时，
bc2，
44

15.

【中】(江苏省竞赛题)对如下的3个命题:

命题1：边长为连续整数的直角三角形是存在的．

命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的．

命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的．

正确命题的个数为（ ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

3，4，5；4，5，6；2，3，4的三角形显然存 在，且分别为直角、锐角、钝角
三角形．


16.

【中】(3,4,5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题

⑴ 三边长为连续整数的直角三角形有多少个？

⑵ 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？

⑶ 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？

【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数

的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2,3,4；三边长为连续整数的锐角三
角形有无数个.

b3，
那么第三边的变化范围是（ ）17.

【中】在锐角三角形中，已知某两边
a1，
．

A．
2c4
B．
2＜c≤3
C．
2＜c＜10
D．
8＜c＜10

222


x31

1x3
且

22

【答案】D 设第三边长为
x
,则

2
13x，
13x.




b、c
是直角三角形的三条边长， 斜边
c
上的高的长是
h
，18.

【中】(绵阳市中考题) 若
a、
b
2
，c
2
的长为边的三条线段能组成一个三角形； ②以给出下列结论：①以
a
2
，
ch，h
的长为边的
a， b，c
的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以
ab，
111
三条线段 能组成直角三角形；④以
，，
的长为边的三条线段能组成直角三角形.其
abh
中所有正确结论的序号为______.

【答案】②③④
(ab)
2
ab2abc，
即
abc


2.简单的计算


19.

【易】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________

【答案】6，8，10



20.

【易】（2012昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为（ ）
A．3 B．
41
C．
41
或
3
D．不确定

【答案】C


21.

【易】在< br>Rt△ABC
中，
C90
，若
a11
，
c 61
，则
b
（ ）

A．
63
B．
60
C．
48
D．
58

【答案】B

22.

【易】若直角三角 形中，有两边长是
12
和
5
，则第三边长的平方为（ ）

A．
168
B．
169
或
119
C．
13
或
15
D．
15

【答案】B



23.

【易】（2013年黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B．
7
C．
5
D．5或
7

【答案】D


24.

【 易】（2010年北京月坛期中）在
△ABC
中，
C90
，若
AC3
，
BC5
，则
AB
（ ）

A．
34

【答案】A


8，10
，则这个三角形最长边上的高是（ ）

25.

【易】已知，三角形的三边长为
6，
A．
10
B．
8
C．
2.4
D．
4.8

【答案】D


26.

【易】（2010年北京文汇期中 ）在
△ABC
中，
AB15
，
AC20
，
BC
边上的高
AD12
，
则
BC
的长为（ ）

A．
25
B．
7
C．
25
或
7
D．不能确定

【答案】C



27.

【易】在
△ABC
中，
AB 12cm
，
BC16cm
，
AC20cm
， 则
△ABC
的面积是（ ）
2

A．
96cm
B．
120cm
2
C．
160cm
2
D．
200cm
2

【答案】A


28.

【易】（2013年乐亭县一模） 已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程
x
2
5x60
的两根，则此 直角三角形的斜边长为（ ）

A．
3

B．
4
C．
20
D．都不对

B．
3
C．
13
D．
5

【答案】C


BC6，
点
M
为
BC
的中29.

【易 】（安徽省中考题）如图，在△
ABC
中，
ABAC5，
点，
M N
⊥
AC
于点
N
，则
MN
等于（ ）．


A．
6

5

9
B．
5
C．
12

5
D．
16

5
【答案】C


30.

【易】（北京市西城区 2013学年度第二学期期末试卷八年级数学）如图，每个小正方形
的边长为1，
△ABC的三个顶点
A
，
B
，
C
在格点上，那么三边
a
，
b
，
c
的大小关系
是（ ）

A．
acb

B．
abc

C．
cba

D．
cab

【答案】D


31.

【易】（2013山东滨州中考）在
△ABC
中，
∠C90
，< br>AB7
，
BC5
，则边
AC
的
长为______ ________．

【答案】
26


32.

【易】（2010年北京四中期中）如果直角三角形的三边长为
10
、
6、
x
，则最短边上的
高为____________．
【答案】
8
或
10


33.

【易】（北京西城外国语学校2011初二数学期中）三角形三条边长分别为
8
，
15
，
17
，
那么最短边上的高是_______________．

【答案】
15


34.

【易】（初二数学下期 末复习）若正方形的面积为
18cm
2
，则正方形对角线长为
______< br>cm
。

【答案】
6


35.

【易】（2011深圳中学初二上期末）直角三角形的两直角边的长分别是
5
和
12
，则斜边
上的高为__________．

【答案】
60

13

36.

【易】如 图，已知
CD
是
Rt△ABC
的斜边上的高，其中
AD9cm，
BD4cm
，那么
CD
等于______
cm
．< br>

【答案】
6


37.

【易 】在
Rt△ABC
中，
C90°
，
a5
，
b 12
，则
c
______．

【答案】
13



38.

【易】（初二上期中模拟）在
Rt△ABC< br>中，
C90
，其中
a6
，
b8
，则
c
______．
【答案】
10


39.

【易】（2010年北京七中期中）已知直角三角形的两直角边长分别为
3cm
和5cm
，则第
三边长为______
【答案】
34cm

40.

【易】求图中直角三角形中未知的长度：
b
______．


【答案】
12


41.

【易】（巴中市二○一 三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若直角三角形两直角
边长分别为
a、b
，且 满足
a
2
6a9b40
，则该直角三角形的斜边长为
__ ____________

【答案】
5


42.

【中】（初二数学下期末复习）一直角三角形的一直角边长为
6，斜边长比另一直角边
长大
2
，则斜边的长为（ ）

A．
4
B．
8
C．
10
D．
12


【答案】C


2
43.

【中】（初二下期末综合练习（三））已知一直角三角形的木板， 三边的平方和为
1800cm
，
则斜边长为（ ）

A．
80cm
B．
30cm
C．
90cm
D．
120cm

【答案】B


44.

【中】（初二上期中模拟）已知直角三角形
ABC
中，
C90
，
AC6
，
BC8
，现
将
△ABC
绕点
B
旋转
90
，得
△DBE
，其中
A
的对应点为
E
，则
AE
的长为（ ）

A．
20

【答案】B


45.
< br>【中】一直角三角形的两边长是
3
和
5
，则第三边边长的平方是___ ___．

【答案】
34
或
16


46.

【中】（2010年北京文汇期中）三角形的两边长分别为
3
和
5
，要使这个三角形是直角
三角形，则第三条边长是______．

【答案】
34
或
4


47.

【中】（北京市第三十五中学2011学年度第二学期期中初二）若直角三角形的两边长分
别为
6cm
和
8cm
，则第三边长为____________．

【答案】
10
或
27


48.

【中】（2010年北京五中期中）有一个直角三角形的两边为
4
、
5
，要 使三角形为直角
三角形，则第三边等于______．

【答案】
3或41

B．
102
C．
202
D．
10

49.

【中】（2010年北京鲁迅期中）若一个直角三角形的两边长分别为
12
和
5
，则此三角形
的第三边长为______．

【答案】
13
或
119


50.
【中】（初二下期末综合复习）已知直角三角形的两边长
x
、
y
满足x
2
4y
2
5y60
，则第三边长为______< br>
【答案】
22
或
13
或
5


51.

【中】在
△ABC
中，
AB15
，AC13
，高
AD12
，则三角形的周长是______．

【答案】
32
或
42


52.

【中】已知直角三角形的三边长为
6
、
8
、
x
，则以x
为边的正方形的面积为______．

【答案】
28
或
100


53.

【中】（2013年清华附中初二第二学期期中试卷数学）

如图，在
△AB C
中，
CE
平分
ACB
，
CF
平分
A CD
，且
EF∥BC
交
AC
于
M
，若
CM 5
，则
CE
2
CF
2

__________ ____．


【答案】100


54.
【中】（初二周测）在
Rt△ABC
中，
C90
，
AB BCAC24cm
，
AB10cm
，
则
S
ABC< br>为（ ）

A．
12cm
2

【答案】D

B．
16cm
2
C．
20cm
2
D．
24cm
2


55.

【中】（2010年北京七中期中）在
Rt△ABC
，
C90

b
的值

⑴已知
a:b3:4
，
c10
，求
a，
c
长度

⑵已知
b6
，
A 45
，求
a，
【答案】⑴∵
Rt△ABC
，
C90 

b4k

设
a3k，
∴
ca
2
b
2
5k10

∴
k2

b8

∴
a6，
⑵
Rt△ABC
，
 C90
，
A45

∴
BA45

∴
ab6，c62

56.
【中】（2012年全国初中数学联赛题）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求
它的斜 边长.


【答案】设直角三角形三边长分别为
a、b、c
(
a
≤
b
<
c
),则
abc30，
c1 0
,

由
a
≤
b
<
c
得
30abc3c，
c15
,

由
a
+
b
>
c
得
30abc2c，
∵
c
为整数， ∴11≤
c
≤14.

∵
a
2
b
2c
2
，把
c30ab
代入并化简得
ab30(ab )4500
.

22
∴

30a

30b

450235
.

2

< br>30a5
b
均为整数，且
a
≤
b
，∴只可能是< br>

∵
a、
2
30b23，


a5
解得

从而
c
=13.

b12，


57.

【中】已知：线段
m
、
n

mn

< br>求作：线段
l
，使得
l
2
m
2
n
2
（保留作图痕迹，不要求写作法和证明，但应在图中标
示各线段的长并写明结论）


【答案】作法，以线段
n
一端点为圆心，以
m
长为半径作 圆，仍过此端点作关于线段
n

的垂线，与圆交于两点，任意连接一点与线段
n
的另一端点即为所求



3.几何图形中的计算


58.

【易】如图，一块直角三角形的纸片，两直角边
AC6cm
，
BC8cm
，现将直角边
AC
沿直线
AD
折叠，使它落在斜边
AB
上， 且与
AE
重合，则
CD
等于（ ）


A．
2cm
B．
3cm
C．
4cm
D．
5cm

【答案】B


59.

【易】(2013年绥化市初中毕业学业考试数学试卷)如图，在
R t△ABC
中，
C90
，
AC3
，
BC1
，
D
在
AC
上，将
△ADB
沿直线
BD
翻折后，点
A
落在点
E
处，如
果
ADED
，那么
△ABE
的面积是（ ）


A．1 B．
3

2
C．
33

3
D．
123

4
【答案】A


60.

【易】如图，
△ABC
中，
B90
，两直角边
AB 7
，
BC24
，三角形内有一点
P
到
各边的距离相等，则 这个距离是（ ）

A．
1
B．
3
C．
4
D．
5

【答案】B


61.

【易】（第18届江苏省竞赛题） 如图，梯子
AB
斜靠在墙面上，
AC
⊥
BC
，
AC BC
，
当梯子的顶端
A
沿
AC
方向下滑
x
米时，梯子
B
沿
CB
方向滑动
y
米，则
x
与
y
的大小
关系是（ ）

A.
xy
B.
xy
C.
xy
D.不确定

< br>【答案】选B，设
ACBCa
米，由勾股定理得
a
2
a
2
(ax)
2
(ay)
2
，

化 简得
2a(xy)x
2
y
2
0，xy
.


62.

【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)如图， 一个机器人从
A
点出发，
拐了几个直角的弯后到达
B
点位置，根据图 中的数据，点
A
和点
B
的直线距离是
______________ __．


【答案】
10


63.
< br>【易】（2013年资阳）如图，点
E
在正方形
ABCD
内，满足AEB90
，
AE6，BE8
，
则阴影部分的面积是（ ）


A．
48
B．
60
C．
76
D．
80

【答案】C


64.

【易】（房山区2012学年度第一学期终结性检测试卷）图1中的字母B
所代表的正方
形的面积是（ ）


A．
12
B．
13
C．
144
D．
194


【答案】C


65.

【易】(2012年泰安市中考题)如图，在△
ABC
中，∠
ABC45< br>°，
CD
⊥
AB
于
D
点，
BE
⊥< br>AC
于
E
点，
F
为
BC
中点，
BE
与
DF、DC
分别交于点
G、H，
ABECBE


⑴ 求证：
BHAC;

⑵ 求证:
BG
2
GE
2
EA
2
．

【答案】⑴ 证明△
DBH
≌△
DCA
．

BGCG，
代换即可．

⑵
ECEA，

66.

【易】（北京三帆中学2012初二数学第二学期期中）直角三角形纸片的两 直角边长分别
为
6
，
8
，现将
△ABC
如图那样折 叠，使点
A
与
B
重合，折痕为
DE
，则
CE:BE
的值
为（ ）

2571
7
B． C． D．

7253
3
【答案】C


67.

【易】如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形
ABCD
的面积是（ ）


A．
25
B．
10
C．
9
D．
8.5

【答案】B

A．

68.

【易】（2013年郑州模拟）如图，在
△ ABC
中，
AB3，AC4，BC5
，
P
为边
BC< br>上
一动点，
PEAB于E
，
PFAC于F
，
M< br>为
EF
中点，则
AM
的最小值为（ ）


A．
1
B．
1.2
C．
1.3
D．
1.5

【答案】B


69.

【 易】（2010年初一下两部联考）如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，
那么半圆的面 积为（ ）


A．
4πcm
2
B．
6πcm
2
C．
12πcm
2
D．
24πcm
2

【答案】B


70.

【易】如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为
S
1
、
S
2
、
S
3
，则
S
1
、
S
2
、
S
3
的关系是（ ）

A．
S
1
S
2
S
3

C．
S
1
S
2
S
3











B ．
S
1
2
S
2
2
S
3
2
D．
S
1
S
2
S
3

【答案】A


71.

【易】（2012年咸丰县二模） 如图，已知在
Rt△ABC
中，
ACB90
，
AB10，分
别以
AC、BC
为直经作半圆，面积分别记为
S
1
、S
2
，则
S
1
S
2
的值等于（ ）


A．
8π
B．
16π
C．
25π
D．
12.5π

【答案】D


72.

【易】（2012年黔东南州）如图，矩形
ABCD中，
AB3，AD1
，
AB
在数轴上，若
以点
A< br>为圆心，对角线
AC
的长为半径作弧交数轴的正半轴于
M
，则点
M
的坐标为
（ ）


A．

2，0

B．

51，0


C．

101，0


D．

5，0



【答案】C


73.

【易】 （深圳中学初二上期中）如图，三个正方形围成一个直角三角形，
81
、
225
分别
为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形的边长是______


【答案】
12


74.

【易】（沈阳）如图是 我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角
三角形围成的．若
AC6，
BC5
，将四个直角三角形中边长为
6
的直角边分别向外
延 长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是____________．


【答案】
76


75.

【易】（2 011深圳中学初二上期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都
是直角三角形，其中最大 的正方形边长为
13
厘米，则图中所有正方形的面积之和为
_____平方厘米．

【答案】
507


76.

【中】（ 2013年六合区一模）如图，直线
l
上有三个正方形
a，b，c
，若
a，c
的面积分
别为3和4，则
b
的面积为________


【答案】7


77.

【中】（2011深圳 中学初二上期末）如图，在平面上依次摆放着七个正方形，已知斜放
置的三个正方形的面积从左到右依次 是
a
，
b
，
c
，则正放置的四个正方形的面积之和
为________（可用
a
，
b
，
c
表示）．


【答案】
ac


ADBC
，
BAC45
，78.

【中】（201 1深圳中学初二上期末）如图，在
△ABC
中，
BD2
，
CD3
，则
△ABC
的面积为____________．


【答案】
15


79.

【中】（2012年第 二学期初二数学期中）如图，已知
△ABC
中，
ABC90，ABBC
，
三角形的顶点在相互平行的三条直线
I
1
，I
2
，I< br>3
上，且
I
1
，I
2
之间的距离为
2
，
I
2
，I
3
之
间的距离为
3
，则AC
的长是（ ）


A．
217

【答案】A


B．
25
C．
42
D．7

80.

【中】 （北京一零一中2012年第二学期期中考试初二）图1中的“箭头”是以
AC
所在
直 线为对称轴的轴对称图形，
BAD90，AB2
．图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中
BC
的长为（ ）


A．1 B．
5
C．
2
D．
25

【答案】D



△ADC
81.

【中 】如图，在四边形
ABCD
中，
ABBC
，
AB3cm
，
BC4cm
，
ACDC
，
的面积为
30cm
2
，求
AD
的长．


【答案】
AD13cm


82.

【中】已知 ：如图，
BD
是
Rt△DAB
和
Rt△DCB
的公共边，< br>A
、
C
是直角，
ADC60
，
BC2c m
，
AD53cm
，求
DB
、
DC
的长．


【答案】
DB14，DC83
（补全三角形）


83.

【中】已知在
△ABC
中，
AD
、
AE
分别是
BC
边上的高和中线，
AB9cm
，
AC 7cm
，
BC8cm
，求
DE
的长．



【答案】
DE2


84.

【中】 （2012年第二学期初二数学期中）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC6cm，BC8 cm
，现将直角边
AC
沿
CAB
的角平分线
AD
折叠，使它落在斜边
AB
上，且与
AE
重合，求出
CD
的长 ．


【答案】
CD3cm


85.

【中】如图，
BC
长为
3
，
AB
长为
4< br>，
AF
长为
12
，求正方形的面积．（其中
FAC
和
ABC
都为直角）


【答案】
S
正方形FCDE
169


86.

【中】已知两个全等的直角三角形纸片
ABC
、
D EF
，如图⑴放置，点
B
、
D
重合，
点
F
在
BC
上，
AB
与
EF
交于点
G
.
CEFB90
，
EABC30
，
ABDE4．

⑴求证：
△EGB
是等腰三角形；

⑵若纸片< br>DEF
不动，问
△ABC
绕点
F
逆时针旋转最小____度时 ，四边形
ACDE
成为
以
ED
为底的梯形（如图⑵）．求此梯形的高 ．

【答案】⑴略

⑵
30
；
332


87.

【中】如图所示，螺旋形是由一系列直角三角形组成，其中
OA
0
A
0< br>A
1
1
，
S
n
表示第
n
个三角形 的面积。

⑴ 请你用
n
的代数式表示
S
n

⑵ 求
S
1
2
S
2
2
S
3< br>2
......S
10
2
的值。


【答案】⑴
S
n

n

2
55

4
⑵
S
1
2
S
2
2
S
3
2
......S
10
2


88.

【中】(市外2010期中)如图，设四边形
ABCD
是边 长为1的正方形，以正方形
ABCD
的
对角线
AC
为边作第二个正方 形
ACEF
，再以第二个正方形的对角线
AE
为边作第三个
正方形< br>AEGH
，如此下去…．

⑴记正方形
ABCD
的边长为a
1
1
，依上述方法所作的正方形的边长依次为
a
2
，
a
3
，
a
4
，…，
a
n
，求出
a
2
，
a
3
，
a
4
的值．

⑵根据以上规律写出第个正方形的边长的表达式．


【答案】⑴，且在直角中，，

∴，

同理，

；

⑵由⑴结论可知：

，

，

；

…

故找到规律

．


89.

【中】（2012南充市中考题）如图，四边形
ABCD
中 ，∠
BAD
=∠
BCD
=90°，
ABAD，
若四边形< br>ABCD
的面积为
24cm
2
，则
AC
长为____ ___cm.


【答案】
43

延长
CB
至
E
，使
EBCD，
连接
AE，< br>则△
ABE
≌△
ADC
，△
AEC
为等腰
直 角三角形.


90.

【中】（2010年北京文汇期中）问题背景：

在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道量时， 先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在
网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的 顶点处），如图1所示，这样不需求的高，
而借用网格就能计算出它的面积．

⑴请你将的面积直接填写在横给上．

思维拓展：

⑵我 们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图2的正方
形网格（每个小正方 形的边长为）画出相应的．并求出它的面积．

探索创新：

⑶若三边的长分别为、、（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积．


【答案】⑴

⑵面积为

⑶面积为


PB8，PC10，
若91.

【中】(青岛市中考题)如图，
P
是正△
ABC
内的一点，且
PA6，
将△
PAC
绕点
A
旋转后，得到
P

AB，
则点
P
与点
P
之间的距离为_______，∠
APB
=_______.


【答案】6;150°


92.

【中】 如图,在△
ABC
中，
AB5，AC13
，边
BC
上的 中线
AD6
，则
BC
的长为
_______．


【答案】
261


延长
AD
至
E，使
DEAD
，连接
BE
，则
BEAC13，AE12 ，
又
AB5，
则∠
BAE90
° ．


CA3，M
是边93.

【中】(2012年四川省竞赛题)在△
ABC
中，已知
AB39，BC6，
BC
的中点，过点
B
作
AM
延长线的垂线，垂足为
D
，则线段
BD
的是___ ____．

3
【答案】 ∠
ACB90
°，
AM< br>2
3
=
2AC
，∠
DMB
=∠
CMA
=30°．

2

94.

【中】(2013年绥化市初 中毕业学业考试数学试卷)如图，在
△ABC
中，
ADBC
于点
D
，
AB8
，
ABD30
，
CAD45
，求
BC
的长．


【答案】∵
AD⊥BC
于点
D
，


∴
ADBADC90
．

在
Rt△ABD
中，

∵
ABD30
，
AB8
，

∴
AD
11
AB84

22
BD
，

AB
∵
cosABD
∴
BD8
3
43
．

2
∵
CAD45
，
ADC90
，

∴
DCAD4
．

∴
BCBDDC434
．


4.勾股定理的几何证明


95.

【易】2002年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“勾
股圆方图”，它是由四个全等的直 角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如
图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的 面积是1，直角三角形较短直角边为
a
，
较长直角边为
b
，那么(< br>ab
)
2
的值为（ ）


A．13 B．19 C．25 D．169

22


ab13
【答案】C 由题意得

, 解得
ab6，
故
(ab)
2
a
2
b
2
2ab25.

2


(ab)1

96.

【易】（人大附中2013年第二学期期中初二年级数学练习）下图中，图1 是我国古代著
名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个
风车的外围周 长是__________．


图1 图2

【答案】


97.

【易】（2010年南浔区模拟）利 用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个
十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总 统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪
念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称为_______ ____，该定理的结论其数
学表达式是___________．


【答案】勾股定理，


98.

【易】（2008年湖州 ）利用图⑴或图⑵两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学
中一个十分著名的定理，这个定理称为 _____________，该定理的结论其数学表达式是
_____________

【答案】勾股定理，


99.

【易】（2012年宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》
中就有“若 勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角
形构成的，可以用其面积关系 验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，点都
在矩形的边上，则矩形的面积为（ ）


A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：如图，延长交于点，延长交于点，


所以，四边形是正方形，

边长，

所以，，

因此，矩形的面积为．


100.

【易】利用四个全等 的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图，
从图中可以看到：大正方形面积=小正方 形面积+四个直角三角形面积．因而
____+_____．化简后即为_______．


【答案】，


101.

【易】（初 二下期末综合练习（三））2002年8月在北京召开的国际数学家大会会
徽取材于我国古代数学家赵爽 的“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形 与中间
的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所 示，如果大正方形的面积是，小正方形的
面积是，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，那么的值 为____________.


【答案】41


102.

【易】（2011年温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了 一副“弦图”，
后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角
形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是____________< br>

【答案】


103.

【中】（2010年北京丰台区期末）

⑴如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；

⑵如图2，，，且三点共线．

试证明；

a

b

b

a

A

a

B

c

b

C

图2
E

c

a

b


D

图1

⑶伽菲尔德（，18 81年任美国第20届总统）利用⑴中的公式和图2证明了勾股定理（1876
年4月1日，发表在《新 英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

【答案】⑴这个公式为．

A

a

B

c

b

C


⑵∵，

∴．

∴．

由于共线，

∴


⑶梯形的面积为

另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成


所以，

即．


104.

【中】一个 直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证
方法．如图，火柴盒的一个侧面倒 下到的位置，连接，设，请利用四边形的面积验证勾
股定理：．


【答案】证明：四边形为直角梯形，

∴

又∵

∴．

∴；

∴

∴

∴


E

c

a

b


D

105.

【中】在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”，你知道它的意思吗？

它 的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它
的斜边的长一定是5 个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：．

⑴ 请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？

⑵ 请你观察下列图形，直角三角形的 两条直角边的长分别为，请你研究这个直角三角
形的斜边的长的平方是否等于？


【答案】解：⑴边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证．分

别以这个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图：，





，

即，

又∵，
∴．

⑵如图（图见题干中图）



106.

【中】（2009新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分

别是，斜边长为）和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
⑴ 画出拼成的这个图形的示意图．

⑵ 证明勾股定理．


【答案】⑴

⑵证明：由图得，

整理得，，

即，．


107.

【中】（新疆维吾尔自治区及新疆生 产建设兵团初中毕业生学业考试）如图是用硬
纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜 边长为和一个边长为的正方
形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

⑴ 画出拼成的这个图形的示意图．

⑵ 证明勾股定理．

c

b

b

c

a

c

b

b

a

c

c


c

a


【答案】方法一：

a

a

c

c

c

a

b

b

a

b

c

b


a


证明：∵大正方形的面积表示为

大正方形的面积也可表示为

∴


∴

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二：


c

b

a


证明：∵大正方形的面积表示为：，

又可以表示为：

∴


∴

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．