空间想象力-jiaocheng

北师大版勾股定理练习题及答案
一、填空题：
1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，
那么这个直角三角形 斜边上的高为_________________．
2．．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是
直角三角形，则第三条边长是_______．
3．△ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则
AC=_ __________．
4．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高
为12cm的圆柱形水杯中，设筷
子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h的取值范围是
_____________．
5．如图2所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙
AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5 图米，梯1 子
滑动后停在DE上的位置上，如图3，测得DB的长0.5米，
则梯子顶端A下 落了________米．
二、选择题：
6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的
是．
A．a= b=41 c=40B．a=b=5C=52
C．a:b:c=3:4:D．a=11b=12c=1 图
图
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3
7．若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长
是．
A．1B．4C．14或D．以上都不对
8．002年8月在北京召开的国际数学家大会 会标取材
于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等
的直角三角形与中间的小小 正方形拼成的一个大正方形，如
果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角
三角形的短直角边为a，较长直
角边为b，那么2的值为．
A．1B．1 C．25D．16图
4
09． 如图5，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90，则四边形ABCD的面积
是．
51 D．无法确定
10．如图6，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点
C落在C处，B C交AD于E，AD=8，
AB=4，则DE的长为．
A．3B．C．D．6
三、解答题：
011．在Rt?ABC中，∠C=90．
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已知c?25,b?15，求a；A．8B．30C．
已知a?12,?A?600，求b、c．
图图5
12．阅读下列解题 过程：已知a、b、c为△ABC的三边，
且满足a2c2?b2c2?a4?b4，试判定△ABC的 形状．
解：∵a2c2?b2c2?a4?b4， ①
∴ c2?， ②
∴ c2?a2?b2， ③
∴ △ABC为直角三角形．
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出
该步的代号______；
错误的原因是___________________________；
本题正确的结论是
_______________________________．
13．细心观察图7，认真分析各式，然后解答问题：
2?1? S1?
22?1? S2?2?1? S3?
┉┉ ┉┉
用含有n的等式表示上述变化规律；
推算出OA10的长；
求出S1?S2?S3???S10的值．
2222图7
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14．已知直角三角形的周长是2?6，斜边长2，求它的
面积．
15．小东拿着 一根长竹杆进一个宽为3米的城门，他
先横着拿不进去，又竖起来拿，结果杆比城门高1米，当他
把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？
16．小明向西南方向走40 米后，又走了50米，再走
30米回到原地．小明又走了50米后向哪个方向走的？再画
出图形 表示
017．如图8，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且
∠QPN=30， 点A处有一所中学，AP=160米，假
设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的 影响，
那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到
噪声的影响？说明理由．如 果受影响，已知拖拉机的速度为
18千米时，那么学校受影响的时间为多少秒？
图8
北师大版八年级数学自测题
一、选择题
1.下列说法正确的有
①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a+b=c. ②△ABC
中，a+b≠c，则△ABC不是直角三角形. ③若△ABC中，
a-b=c，则△ABC是直角三角形. ④若△ABC是直角三角形，
则=c. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
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2.已知Rt△ABC中，∠C=90°， 若a+b=14cm，c=10cm，
则Rt△ABC的面积是
A.24cmB.36cm C.48cmD.60cm
3.已知，如图，一轮船以20 海里时的速度从港口A
出发向东北方向航行，另一轮船以15海里时的速度同时从
港口A出发向 东南方向航行，则2小时后，两船相距
A.35海里 B.40海里 C.45海里D.50海里2222222222
4.如图，已知矩形ABCD沿着直线 BD折叠，使点C落
在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的
长为
A. B.C. D.6
二、填空题
5.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避
开拐角走
“捷径”，在草坪内走出了一条”路”.他们仅仅少走
了_________
步路，却踩伤了青草.
6.如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为
4 8cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的
圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点 B处有一只苍蝇，则
蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.
7.如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三条
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线段恰好能组成一个直角三角形，那么以x为边长的正方形
的面积为__________.
8.已知△ABC的三边a、b、c满足等式
|a-b-1|+|2a-b-14| =-|c-5|，则△ABC的面积为________.
三、解答题
9.如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，
AD=26m，CD=24m，求这 块地的面积.
10.如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分
别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无
盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
11.如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村
庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， 若DA=10km,CB=15km，现要
在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等 ，
则周转站E应建在距A点多远处？
12.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出 折痕AC，再折
叠使AB边与AC重合，得折痕AE，若AB=3，AD=4，求BE的
长.
北师大版八年级数学勾股定理测试题
一、填空题：
1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，
那么这个直角三角形斜边上的高为
_________________．．．三角形的两边长分别为3和5，要使
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这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______．．△AB C
中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=___________．
4．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高
为12cm的圆柱形水 杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为
hcm ，则h的取值范围是_____________．
5．如图2所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙
AC上，这时梯子下端B与 墙角C距离为1.5米，梯子滑动后
停在DE上的位置上，如图3，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了________米．
二、选择题：
6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的
是． A．a= b=41 c=40B．a=b=5C=52
C．a:b:c=3:4:D．a=11b=12c=15
图2
7．若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的
长是． A．1B．4C．14或D．以上都不对 ．002年8月在北
京召开的国际数学家大会会标取材于我国 古代数学家赵爽
的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的
小小正方形拼成的一 个大正方形，如果大正方形的面积是
13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较
长直角边为b，那么2的值为．
A．1B．1 C．25D．169
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图4
9． 如图5 ，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，
DA=13cm，且∠ABC= 90，则四边形ABCD的面积是．
12．阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC 的三边，
且满足a2c2?b2c2?a4?b4，试判定△ABC的形状．
解：∵a2c2?b2c2?a4?b4， ①
∴ c2?， ② ∴ c2?a2?b2， ③
∴ △ABC为直角三角形．
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出
该步的代号______；
错误的原因是___________________________；
本题正确的结 论是
_______________________________．13．细心观察图7，认< br>真分析各式，然后解答问题： 2?1? S1?
图1
图3
22
2?1? S2?
22?1? S3?
2
┉┉ ┉┉
51
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D．无法确定

10．如图6，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C
落在C处，B C交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为．
A．3B．C．D．三、解答题：
11．在Rt?ABC中，∠C=90．
已知c?25,b?15，求a；
A．8B．30C．
已知a?12,?A?600，求b、c．
图6
用含有n的等式表示上述变化规律；
推算出OA10的长；
求出S
1?S2
?S3???S
10的值．
2
2
2
2
图7
图5
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14．已知直角三角形的周长是2?6，斜边长2，求它的
面积．
15．小东拿着 一根长竹杆进一个宽为3米的城门，他
先横着拿不进去，又竖起来拿，结果杆比城门高1米，当他
把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？
16．小明向西南方向走40米后，又走了 50米，再走30米
回到原地．小明又走了50米后向哪个方向走的？再画出图
形表示
17．如图8，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且
∠QPN=300
，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，
周围100米以内会受到噪音的影响，那么 拖拉机在公路MN
上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理
由．如果受影响， 已知拖拉机的速度为18千米时，那么学
校受影响的时间为多少秒？
图8
北师大版八年级数学自测题
一、选择题1.下列说法正确的有
①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2
+b2
=c2
. ②△ABC中，a2
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+b2
≠c2
，则△ABC不是直角三角形. ③若△ABC中，a2
-b2
=c2
，则△ABC是直角三角形. ④若△ABC是直角三角形，
则=c2
. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知Rt△AB C中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，
则Rt△ABC的面积是A.24cm2
B.36cm2
C.48cm2
D.60cm2
3.已知，如图，一轮船以20海里时的速度从港口A
出发向东北方向航行，另一 轮船以15海里时的速度同时从
港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距A.35
海 里 B.40海里 C.45海里D.50海里
4.如图，已知矩形ABCD沿着直线B D折叠，使点C落
在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，
则DE的长为
A. B.C. D.6
二、填空题.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数
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人为了避开拐角走 “捷径”，在草坪内走出了一条”路”.
他们仅仅少走了_________
步路，却踩伤了青草.
6.如图，圆柱形玻璃容器高
20cm，底面圆 的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A
处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口
1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线
长度为________.
7.如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三
条线段恰好能组成 一个直角三角形，那么以x为边长的正方
形的面积为__________.
8.已知△ABC的三边a、b
、c满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c -5|，则△ABC的
面积为________. 三、解答题
9.如图是一块地，已知
AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地
的面积.
10.如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分
别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中， 求细木棒露在
盒外面的最短长度是多少？
11.如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， 若DA=10km,CB=15km，现要在AB
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上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周
转站E应建在距A点多远处？
12.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕AC，再折
叠使AB边与AC重 合，得折痕AE，若AB=3，AD=4，求BE的
长.
13.如图，A、B两 个小镇在河流CD的同侧，到河流的
距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km， 现在要在河边
建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每km3
万元，请你在河流 CD上选择建水厂的位置M，使铺设水管的
费用最节省，并求出总费用是多少？
14.“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速
度不得超过70千米小时，如图，一辆小
汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶
到车速检测仪所在位置A处正前 方30米的C处，过了2秒
后，测得小汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50米，
这辆小 汽
车超速了吗？
附加题
如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则
PD=_________.
八年级上北师大版第一章勾股定理测试题
一、选择题
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1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 .，12，1
15，32，3 16，30，3，40，41
2. 如图1，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=5：
3，则AC= .
10 12
3. 已知：如图2，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外
作等腰 直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的
面积为 .2
4. 如图3，在△ABC中，AD⊥BC与D，AB=17，BD=15，
DC=6，则AC的长为.

9

9
11 10
5. 若三角形三边长为a、b、c，且满足等式2?c2?2ab，
则此三角形是.
锐角三角形 钝角三角形 等腰直角三角形直角三角形
6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜
边上的高为 .
1313
7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为 .
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46
8. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如
果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再
沿边长爬行一周需 .秒秒 秒秒
9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个
全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个
大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面
积是1，直角三角形的两直角边分
别是a、b，那么 的值为.
4 1 1
10. 如图5所示，在 长方形ABCD中，E、F分别是AB、
BC上的点，且BE=12，BF=16，则由点E到F的最短 距离为 .
08 二、填空题
11. 写出两组直角三角形的三边长 . 12. 如图6、中，
正方形A的面积为 .
2
6.
20

60
斜边x= .
13. 如图7，已知在Rt△ABC中，?ACB?Rt?，AB?4，分
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别以AC，BC为直径作半圆，面积
分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于．
14. 四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，
任选三根组成三角形，其中有 个直角三角形.
15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，
BC=8cm，现直角边沿直线
AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的
长为 ．
三、简答题
16.如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，
求 四边形ABCD的面积.
17.如图10，方格纸上每个小正方形的面积为1个单
位.
在方格纸上，以线段AB为边画正方形并计算所画正方
形的面积，解释你的计算方法. 你能在图上画出面积依次为
5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？
18 .如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该
U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱” 而成，中
间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘
AB=CD=20m，点E在CD 上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E
点，则他滑行的最短距离是多少？
19.如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到
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一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男
孩头 顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？
20.如图13所示为一个无盖的正方体纸盒 ，现将其展
开成平面图，如图13所示.已知展开图中每个正方形的边长
为1.
求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的
线段可画几条. 试比较立体图中∠ABC与平面
?ABC的大小关系.



展开图中
21.如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯
子靠墙的一端距地面24米. 这个梯子底端离墙有多少米？
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也
滑动了4米吗？
22.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为
6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形， 且扩充部分是以
8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周
长．
1. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个
全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一 个大正
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方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积 是1，直
角三角形的两直角边分别是a、b，那么的值为.
1
1 13
图
125
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 .
22
232、4、 1、2、3
3. 如图2，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上
的高 .若AB=5cm，BC=6cm，那么AD=cm.
4. 正方体的棱长为2cm，用经过A、B、C三点平面截
这个正方体，所得截面的周长是cm.. 如图4 ，这是一个供
滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体
去掉一个”半圆柱”而 成，中间可供滑行部分的截面是半径
为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，
点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，
则他滑行的最短距离是多少？
6. 为了打击索马里海盗，保护各国商船顺利通行，我
海军某部奉命前往某海域执行保航任务.某天我 护航舰正在
某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命.位于该岛
正西方向C出的某外 国商船招到海盗袭击，船长发现在其北
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偏东60°方向有我军护航舰，便发出紧急求救信号.我护航
舰接警 后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援.
该船舰需要多少分钟可以达到商船所在位置处？
答案提示：
1. D. A. .
5. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE=?
2
2
?22米.
6. 约38分.提示：过点A作AM⊥BC于D，根据勾股定
理分别在Rt△
Rt△ACD中求出BD和CD的长，即BD+CD为航程.
答案提示： 一、选择题
ABD和
1.C .B .C .B .D .D .C .C .A10.A 二、填空题
11.略 12.36，1313.π 14. 1 15. 三、简答题
16. 在Rt△ABC中，AC=3?4
2
2
154
?5.
2
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又因为52?122?132，即AD 所以∠DAC=90°.所以S
四边形17.略
ABCD
?AC
2
?CD
2
.
?SRt?ACD?SRt?ABC?
12
?3?4?
12
?5?12=6+30=36.
18. 约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：
AE=2?2?22米. 19. 如图12，在Rt△ABC中，根据勾股 定
理可知，BC=5000
2
?4000
2
?3000.
3000÷20=150米秒=540千米小时. 所以飞机每小时
飞行540千米.
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20. ；4条
21.米；不是.设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程， x2?252?，解得x=15，所以梯子向后滑动了8米.
，BC?6由勾股定理有：A B?10，扩充部分为22.在Rt△ABC
中，?ACB?90°，AC?8Rt△ACD，扩充成等 腰△ABD，应分以
下三种情况：①如图1，当AB?AD?10时，可求CD?CB?6,得
△ABD的周长为32m．②如图2，当AB?BD?10时，可求CD?4,
由勾股定
理得：AD?,得△
ABD的周长为20?m．③如图3，当AB为底时，设AD?BD?x ，
则CD?x?6，由勾股定理得：x?
A
253
?,得△ABD的周长为A
803
m．A
D
C 图1
B
D
C 图2
B
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D
C 图
3
B


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