孔子十翼-小学六年级语文试卷

勾股定理及其逆定理

 例题示范
例1：如图，强大的 台风使得一棵树在离地面3m处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m处，这棵
树折断之前有多高？
3m
4m

解：如图，由题意，得
AC=3，BC=4，∠ACB=90°

A
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

由勾股定理，得
AC
2
+BC
2
=AB
2

CB
∴3
2
+4
2
=AB
2

∴AB=5

∴AB+AC=5+3=8

答：这棵树折断之前高8m．

例2：如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．

求证：∠C=90°．

A
CB

证明：如图
在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12

∵5
2
+12
2
=13
2

∴AC
2
+BC
2
=AB
2

∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°．


 巩固练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC的长为________．

B
C
A

2. 已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12k m，乙往南走了5km，这时甲、乙两人之间的
距离为___________．
1

3. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆， 三个半圆的面积从小
到大依次记为S
1
，S
2
，S
3
，则S
1
，S
2
，S
3
之间的关系是（ ）

A．S
l
+S
2
>S
3

C．S
1
+S
2
=S
3









B．S
l
+S
2
3

D．S
1
2
+S
2
2
=S
3
2


S
3
S
2
S
1

4. 如图，所有的四边 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，若其中最大正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C ，D的
面积之和为___________cm
2
．




C
B
A
D
7cm


5. 如 图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图2
是以c为 直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图1中的直 角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾
股定理的图形吗？请画出拼成 的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理．

b
a
c
b
a
图1
c
c
c
图2















2

A

6. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5

B．9，12，15
D．1，1，2 C．7，24，25

7. 已知三条线段的长是：
BDC
111
，，
345
； ③3
2
，4
2
，5
2
；

①5k，12k ，13k（k>0）；②
22
(mn)1，2(mn)，(mn)1
（m， n为正整数）④11，60，61；⑤．

其中能构成直角三角形的有（ ）
A．2个

B．3个 C．4个 D．5个
A
E
D
F
8. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD， CD边上，若
AE=2，DF=1，则图中的直角三角形共有____个．

B

9. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：b=_______，c=________.

AB=4，
C
c
9
b
1524
10



10. 如图，一架长25米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端与墙根之间的距离为7米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？









11. 在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，求AC的长．








3

A
A'
OBB'

12. 在△ABC中，点D是线 段BC上的一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9．求BC的长．










 思考小结
1. 赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的__________三角形拼成的，但是在拼的过 程中有
区别，赵爽弦图的弦在____（填“内”或“外”），毕达哥拉斯弦图的弦在____（填“内 ”或“外”），请
你画出对应的弦图．

赵爽弦图 毕达哥拉斯弦图

2.
我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k （k是正整数）____（填“是”或“不是”）一组勾
股数；一般地，如果a，b，c（
a bc
）是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）是一
组勾股数吗？若是，请证明 ；若不是，请说明理由．


解：ak，bk，ck（k是正整数）______一组勾股数，理由如下：

∵a，b，c是一组勾股数

∴___________________

∵k
≠
0

∴k
2
a
2
+k2
b
2
______k
2
c
2

∴(ak)
2
+(bk)
2
_____(ck)
2

∵k为正整数

∴ak，bk，ck也是________

∴ak，bk，ck（k是正整数）_______一组勾股数




4

B
C
a
c
b
A

【参考答案】
 巩固练习
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
15
13 km
C
49
略
D
B
4
12，26
10. （1）24米（2）8米
11.
AC的长为10

12.
BC的长为14

 思考小结
1. 直角，外，内
图略
222
abc
2.
是，是，，=，=，正整数，是



5

6