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勾股定理评估试卷（1）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).
（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长
（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5. 五根小木棒，其长 度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中
正确的是（ ）
7
25
20
24
25
24
20
24
25
20
7
24
20
25
(D)
15
7
15
(A)
7
(B)
15
15
(C)

6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.
7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
8. 三角形的三边长为
(ab)c2ab
,则这个三角形是( )
A
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
B
22
D
C
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90 °，AC=30米，AB=50米，
如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮
a
元计算，那么共需要资金（ ）.
（A）50
a
元 （B）600
a
元 （C）1200
a
元 （D）1500
a
元
10.如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直 角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC
的长为（ ）.

（A）12 （B）7 （C）5 （D）13
A
E
D
B
C

5米
3米

（第10题） （第11题） （第14题）
二、填空题（每小题3分，24分）
11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米, 计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需
要____________米.
12. 在直角 三角形
ABC
中，斜边
AB
=2，则
ABACBC
=_ _____.
13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .
222
14.
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边A B为直径作半圆，则这个半圆的面
积是____________.

A
E
B
D
C

（第15题） （第16题） （第17题）
15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只 小鸟从一
棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
16. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D
若BC=8，AD=5，则AC等于__ ____________.
17. 如图，四边形
ABCD
是正方形，
A E
垂直于
BE
，且
B
C
D
第
18
7cm
AE
=3，
BE
=4，阴影部分的面积是______.
18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm, 则正方形A，B，
C，D的面积之和为___________cm
2
.
A
题
图

三、解答题（每小题8分，共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相 望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单
位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离 是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一
只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们 立刻飞去抓鱼，并且同时
到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？






20.
如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.




21. 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离 为AC=10千米，BD=30千米，
且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供 水，铺设水管的费用为每千
米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并 求出总费用
是多少？
B
A
C D
L
第21题图

22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m ，BC=36m，求这块地的面积。

C
D
B



23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足 B到墙底端C的距
离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
A
A
A
1
B
1
B
C


四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市 正南方向100km的B处有一台
风中心，沿BC方向以20kmh的速度向D移动，已知城市A到BC 的距离AD=60km，那么
台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形 区域内都将有受
到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危
险？








25.（14分）△ABC中，BC
a
，AC
b
，AB
c< br>，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定

A
D
C
B
第24题图

理，则
abc
，若△ABC不 是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股
定理，试猜想
ab
与
c
的关系，并证明你的结论.
222
222

参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分，24分）
11.7；12.8；13.24；14.
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20. 设BD=x，则AB=8-x
由勾股定理，可以得到AB
2
=BD
2
+AD
2
，也就是( 8-x)
2
=x
2
+4
2
.
所以x=3，所以AB=AC=5，BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′，连结B A′，与CD交于点E，则E点即为所求.总费用150
万元.
22.116m
2
；
23. 0.8米；
四、综合探索
24.4小时，2.5小时.
25. 解：若△ABC是锐角三角形，则有a
2
+b
2
>c
2

若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a
2
+b
2
2

当△ABC是锐角三角形时，
25

； 15. 13；
8

证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x
根据勾股定理得 b
2
－x
2
＝c
2
―(a―x)
2

即 b
2
－x
2
＝c
2
―a
2
＋2ax―x
2

∴a
2
＋b
2
＝c
2
＋2ax

∵a>0，x>0
∴2ax>0
∴a
2
+b
2
>c
2

当△ABC是钝角三角形时，

证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.
设CD为x，则有DB
2
=a
2
－x
2

根据勾股定理得 (b＋x)
2
＋a
2
―x
2
＝c
2

即 b
2
＋2bx＋x
2
＋a
2
―x
2
＝c
2

∴a
2
＋b
2
＋2bx＝c
2

∵b>0，x>0
∴2bx>0
∴a
2
+b
2
2
.

探索勾股定理测试卷
姓名
_________

（满分：100分 时间：45分钟） 成绩_______________
选择题（每题6分）

1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________
A 56 B 48 C 40 D 321

2
2、如果Rt△的两直角边长分别为n－1，2n（n>1），那么它的斜边长是 ____________
22
A 2n B n+1 C n－1 D n+1

E
A
3、已知，如图长方形ABCD中 ，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折
叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积 为________
2222
A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm
B
F



北
4、已知，如图，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向东北方向航
行，另一轮船以12海里时的 速度同时从港口A出发向东南方向航行，离
A
开港口2小时后，则两船相距_________
东
A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里

南


填空题（每题6分）

5、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=1 2，则c=___________；②若a=15，c=25，则
b=___________；③若 c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则S
Rt△ABC
=________

C
6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
D
三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，
B
2
C，D的面积之和为___________cm。
A


2
7cm
7、已知x、y为正数，且│x
2
-4│+（y
2
-3）=0，如果以x、y
的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。
D

8、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20
B
米处的池塘 的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以
直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高
A
____________米。
C






D
C

三、解答题（每题13分）
2
9、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池 ，已知其面积为48m，其对角线长为10m，为建栅栏，
要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算 一算吗？

10、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=1 3cm，CD=12cm，且
A D
∠A=90°，求四边形ABCD的面积。


B

C

11、太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在 草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才
左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走 了2俄里，这时，他发现天色不早了，
而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点 跑去，在日落前赶回了出
发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事 的一部分。
你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？


12、如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边
长为c；如图2是以c为直角变的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明
勾股 定理的图形。
画出拼成的这个图形的示意图，写出它的名称；
用这个图形证明勾股定理；
设图1中的直角三角形由若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另外一种能证明勾
股定 理的图形吗？请画出拼成后的示意图。（无需证明）



b c b c c c


a a

图2
图1


探索勾股定理（二）

1．填空题
（1）某养殖厂有一个长2米、宽1. 5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木
板，则木板的长应取米．
（2）有两艘 渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里时的速度向东南方向航行，
另一艘以12海里时的速度 向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里．
（3）如图1：隔湖有两点A、B，为了测得 A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC
方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________．

2．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长．

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．

4．如图2，要修建一个育苗棚， 棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长为12m，现要在棚顶上
覆盖塑料薄膜，试求需要多少平 方米塑料薄膜？

5．如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边 CD上取一点E，将△ADE折叠使点
D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．



勾股定理练习题：练习一：（基础）

等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿＿.

一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
3.已知
a
，
b
，
c
为△
ABC
三边 ，且满足(
a
2
－
b
2
)(
a
2
+
b
2
－
c
2
)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

4.如图,一圆柱高8cm,底面 半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的
最短路程（

取3）是（）.
A
B

（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定

在 Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB
2
＋BC
2
＋AC
2
=_____．
6．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（ ）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定

7．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
C
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对

8．如果Rt△的两直角边长分别为n
2
－1，2n（n >1），那么它的斜边长是（ ）
22
A、2n B、n+1 C、n－1 D、n+1
9.在△ABC中,
C90,
若
ab7,
△ ABC的面积等于6，则边长c=
10.如图△ABC中，
ACB90 ,AC12,BC5,ANAC,BMBC
则MN=






11.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 10
1 2.若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，到两直
角边的距离相等，则 这个距离等于 六根二


13.如图，一个牧童在小河的南4k m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km
北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回 家.他要完成这件事情所走
的最短路程是多少？


小河

17km
北

牧童
A
东


B
小屋



B
A

1 4、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB
的角平 分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

C


D
3cm


B
E
A
15.校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经
测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则
购买这种草皮至少 需要支出多少？

16、如图，在△ABC中，∠B=
90

， AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D
重合，BD:DC=1:2，折痕为EF，点E在 AB上，点F在AC上，求EC的长。


A


F



E


提高题：
C

B

D


1、※直角三角形的面积 为
S
，斜边上的中线长为
d
，则这个三角形周长为（ ）
（A）
d
2
S2d
（B）
d
2
Sd

（C）
2d
2
S2d
（D）
2d
2
Sd

2．在
ABC
中,ABAC1
,
BC
边上有2006个不同的点
P
1
,P
2
,LP
2006
,
2
记
m
iAP,2,L2006

,则
m
1
m
2
 Lm
2006
=_____.
i
BP
i
PC
i

i1
解:如图,作
ADBC
于
D
,因为< br>ABAC1
,则
BDCD
.
由勾股定理,得
AB2
AD
2
BD
2
,AP
2
AD
2
PD
2
.所以
AB
2
AP
2
B D
2
PD
2


BDPD

BD PD

BPPC
所以
AP
2
BPPCAB
2
1
2
.



因此
m
1
m
2
Lm
2006
1
2
2006200 6
.

3※．如图所示，在
RtABC
中,BAC90,ACAB,DAE45
,且
BD3
,
CE4
,求
DE
的长.

解:如右图：因为
ABC
为等腰直角三角形,所以
ABDC45
.
所以把
AEC
绕点
A
旋转到
AFB< br>,则
AFBAEC
.
所以
BFEC4,AFAE,ABFC45
.连结
DF
.
所以
DBF
为直角三角形.
由勾股定理,得
DF
2
=BF
2
+BD
2
=4
2
+3
2=5
2
.所以
DF=5
.
因为
?DAE45?,
所以
?DAF?DAB?EAC45?
.
所以
DADE@DADFSAS
.
所以
DE=DF=5
. < br>4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC·PA+PA
2
的值。

A





B C
5、※如图在Rt△ABC中,
C90,AC4,BC3
，
在Rt△ABC的外部拼接一个
P

合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：











要求：在两个 备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接
的直角三角形的三边长（请同学们先用 铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色
签字笔画出正确的图形）

解：要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼 成的图形是一个等
腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。








10

答案：
选择题
1、B 2、 D 3、A 4、D
填空题
5、① 13 ② 20 ③ 11 ④ 24 ； 6、49 ； 7、 5 ； 8、 25
解答题
9、28m
10、解：连接BD
A90BDAB
2
AD
2
5
又 5，12，13是一组勾股数，BCD是直角三角形

S
11
四边形 ABCD

2
34
2
51236
11、根据题 意画出图形，已知AE=10,DC=EB=2,AD=17
Rt
AED
ED AD
2
AE
2
15
周长为：101521744（ 俄里）

面积为：
1
2
（210）1590（平方俄里）12、（1）直角梯形


b
c
c

a

a b

（2） 根据面积相等可得：
1
（ab)(ab)
1
ab2
1
c
2
2 22
化简得：
a
2
b
2
c
2

（3）


a
b




1．（1）2.5 （2）30 （3）30米
2．如图：等边△ABC中BC=12cm，AB=AC=10cm

D C
A E B

作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm
22222
在Rt△ABD中，AD=AB－BD=10－6=64
∴AD=8cm
11
2
BC·AD=×12×8=48（cm）
22
3．解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm
∴S
△ABD
=

∴AB=AC+BC=2．1+2.8=12.25
∴AB=3.5cm
22222
11
AC·BC=AB·CD
22
∴AC·BC=AB·CD
ACBC2.12.8
∴CD===1.68（cm）
AB3.5
（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：
222
AD+CD=AC
22222
∴AD=AC－CD=2.1－1.68
=（2.1+1.68）（2.1－1.68）
=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21
2
=2×9×0.21×0.21
∴AD=2×3×0.21=1.26（cm）
∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24（cm）
4．解：在直角三角形中，由勾 股定理可得：直角三角形的斜边长为3m，所以矩形塑料薄膜
2
的面积是：3×12=36（m ）
5．解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE
设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：
222222
AB+BF=AF，即8+BF=10，
∴BF=6 cm
∵S
△ABC
=

∴CF=BC－BF=10－6=4（cm）
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
222222
EF=CE+CF，即（8－x）=x+4
22
∴64－16x+x=x+16
∴x=3（cm），即CE=3cm