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北师大版八年级数学勾股定理测试题(1)
一、填空题（每小题5分，共25分）：
1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm ，那么这个直角三角形斜边
上的高为_________________．
2．．三角形的 两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长
是_______．
3． △ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=___________．
图1
4．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中 （如图1），设筷
子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h的取值范围是_____________．
5．如图2所示，一个梯子AB长2.5米，顶 端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为
1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图3， 测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了
________米．
二、选择题（每小题5分，共25分）：
6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）．
A．a=9 b=41 c=40 B．a=b=5 C=5
2

C．a:b:c=3:4:5 D．a=11 b=12 c=15
图2
图3

7．若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（ ）．
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对

8． 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如
图4所示），如果大 正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形
的短直角边为a，较长直角边为b，那么
(ab)
2
的值为（ ）．
A．13 B．19 C．25 D．169

图4
9． 如图5，四边形ABCD中 ，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90
0
，则 四边形
ABCD的面积是（ ）．
A．84 B．30 C．
51
2
D．无法确定







图5
图6

10．如图6，已知矩形A BCD沿着直线BD折叠，使点C落在
C

处，B
C

交AD于E，AD=8，AB=4，
则DE的长为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
三、解答题（此大题满分50分）：
11．（7分）在
RtABC
中，∠C=90
0
．
（1）已知
c25,b15
，求a；
（2）已知
a12,A60
0
，求b、c．

< br>12．（7分）阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足
a
2c
2
b
2
c
2
a
4
b
4
，
试判定△ABC的形状．
解：∵
a
2
c
2
b
2
c
2
a
4
b
4
， ①
∴
c
2
(a
2
b
2
)(a< br>2
b
2
)(a
2
b
2
)
， ②
∴
c
2
a
2
b
2
， ③
∴ △ABC为直角三角形．

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______；

（2）错误的原因是___________________________；

（3）本题正确的结论是_______________________________．

13．（7分）细心观察图7，认真分析各式，然后解答问题：

(1)
2
12

S
1
1

2

(2)
2
13

S
2
2
2

(3)
2
14

S
3
3

2

┉┉ ┉┉

（1） 用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
图7

1

（2）推算出OA
10
的长；

< br>（3）求出
S
1
S
2
S
3
S10
的值．
2222


0
17．（8分）如图8， 公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30，点A处有一所中学，AP=160
米，假设拖拉 机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方
向行驶时，学校是否 回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米
时，那么学校受影响的时间为多少秒？



14．（7分）已知直角三角形的周长是
26
，斜边长2，求它的面积．










1 5．（7分）小东拿着一根长竹杆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结
果杆比城 门高1米，当他把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？



















16．（7分）小明向西南方向走4 0米后，又走了50米，再走30米回到原地．小明又走了50米
后向哪个方向走的？再画出图形表示











图8
2

北师大版八年级数学（勾股定理）自测题(2)
一、选择题(共4小题，每小题4分，共16分.在四 个选项中，只有一项是符合题目要求的，请
把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.)
1.下列说法正确的有( )
①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a
2
+b
2
=c
2
. ②△ABC中，a
2
+b
2
≠c
2
，则△ABC不是
直角三角形. ③若△ABC中，a
2< br>-b
2
=c
2
，则△ABC是直角三角形. ④若△ABC是直角三角形，
则(a+b)(a-b)=c
2
. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A.24cm
2
B.36cm
2
C.48cm
2
D.60cm
2

3.已知，如图，一轮船 以20海里时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里
时的速度同时从港口A出发向东 南方向航行，则2小时后，两船相距( )
A.35海里 B.40海里 C.45海里 D.50海里

4.如图，已知矩形ABCD沿着 直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，
则DE的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题后的横线上.)
5.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走
“捷径”，在草坪内走出了一条路他们仅仅少走了_________

步路(假设2步为1米)，却踩伤了青草.
6.如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的 周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A
处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点B处有一只苍蝇，
则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.
7.如 果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么
以x 为边长的正方形的面积为__________.
8.已知△ABC的三边a、b、c满足等式|a- b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则△ABC的面积为________.
三、解答题 (共6小题，1、2题各10分，3-6题各12分，共68分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算 步骤.)
9.如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=2 4m，求这块地的面积.

10.如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分 别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒
子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

11.如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距
离相等，则周转站E应建在距A点多远处？

12.如图，折叠矩形纸片ABCD，先 折出折痕(对角线)AC，再折叠使AB边与AC重合，得折痕AE，
若AB=3，AD=4，求BE的 长.
3

13.如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到 河流的距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km，
现在要在河边建一自来水厂， 向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每km3万元，请你在河
流CD上选择建水厂的位置M，使铺设水 管的费用最节省，并求出总费用是多少？

14.“交通管理条例”规定：小汽车在 城街路上行驶速度不得超过70千米小时，如图，一辆小
汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好 行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30
米的C处，过了2秒后，测得小汽车所在位置B处与车速检测 仪间距离为50米，这辆小汽
车超速了吗？

附加题(10分，不计入总分)
如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则
PD=________ _.



一、1.C 2.A 3.D 4.C
二、5.4 6.30cm 7.260cm或388cm 8.30
三、9.解：连接AC.……1分
在△ABC中，∵AB=8m,BC=6m,∠B=90°，
∴由勾股定理，AC
2
=AB
2
+BC
2
=8
2
+6
2
=100,AC=10. ……3分
在△ACD中， AC
2
+CD
2
=10
2
+24
2
=67 6,AD
2
=676，
∴AC
2
+CD
2
=AD
2
. ∴△ACD是直角三角形.……6分
∴……8分
答：求这块地的面积是96m
2
.……10分
10.解：由勾股定理，8
2
+6
2
=10
2
,……3分
10
2
+24
2
=26
2
.……6分
∴30-26=4.……8分
答：细木棒露在盒外面的最短长度是4cm.……10分
11.解：设E点建在距A点xkm处.……1分
如图，则AE长xkm，BE长(25-x)km.……2分
∵DA⊥AB，∴△DAE是直角三角形.
由勾股定理，DE
2
=AD
2
+AE
2
=10
2
+x
2
.……5分
同理，在Rt△CBE中，CB
2
+BE
2
=15
2< br>+(25-x)
2
.……7分
依题意，10
2
+x2
=15
2
+(25-x)
2
，…… 9分
4

解得，x=15. ……11分
答：E应建在距A15km处.……12分
12.解：在AC上截取AF=AB，连接EF.……1分
依题意，AB=AF, BE=EF, ∠B=∠AFE=90
°
.……3分
在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4,
∴AC
2
=3
2
+4
2
=25,AC=5. ∴CF=AC-AF=5-3=2. ……5分
设BE长为x，则EF=x,CE=4-x. ……7分
在Rt△CFE中，CE
2
=EF
2
+CF
2< br>,即(4-x)
2
=x
2
+2
2
.……9分
解得，x=. ……11分
答：BE的长为.……12分
13.解：作点A关于CD的对称点E，连接EB，交CD于M. 则AC=CE=10公里.……2分
过点A作AF⊥BD,垂足为F.
过点B作CD的平行线交EA延长线于G，得矩形CDBG.……4分
则CG=BD=30公里，BG=CD=30公里，EG=CG+CE=30+10=40里.……7分
在Rt△BGE中，由勾股定理，BE
2
=BG
2
+EG
2
=30
2
+40
2
,BE=50km，……9分
∴3×50=150(万元).……11分
答：铺设水管的总费用最少为150万元. ……12分
14.解：依题意，在Rt△ACB中，AC=30米，AB=50米，
由勾股定理，BC
2
=AB
2
-AC
2
=50
2< br>-30
2
,BC=40米.……3分

∴小汽车由C到B的速度为40÷2=20米秒. ……5分
∵20米秒=72千米小时，……8分
72＞70，……10分
因此，这辆小汽车超速了. ……12分
附加题 解：过点P作MN∥AD交AB于点M， 交CD于点N，
则AM=DN，BM=CN.……2分
∵∠PMA=∠PMB=90°，
∴PA
2
-PM
2
=AM
2
，PB
2
-PM
2
=BM
2
.……4分
∴PA
2
-PB
2
=AM
2
-BM
2
.……5分
同理，PD
2
-PC
2
=DN
2
-CN
2
.……7分
∴PA
2
-PB
2< br>=PD
2
-PC
2
.又PA=1，PB=5，PC=7，……8分
∴PD
2
=PA
2
-PB
2
＋PC
2
=1
2
-5
2
＋7
2
，PD=5.……10分













5