到期归还-高原蓝

2020年春季八年级下册第17章《勾股定理》综合测试题
时间80分钟，满分100分
姓名：___________班级：___________座号：___________
题号
得分

一

二

三

总分
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13
2．（3分）如图，两个较大正 方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面
积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．64
3．（3分）如图，在4×5的方格中，A、B为两个 格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，
则满足条件的点C个数为
（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．4 B．16 C． D．4或
5．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯 子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角
的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不 动，将梯子斜靠在右墙时，
顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）

A．2.7米 B．2.5米 C．2米 D．1.8米
6．（3分）如图，一个 梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C
距离为1.5米，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落
了（ ）米．

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．（3分）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）

A．16 B．25 C．144 D．169
8．（3分）已知一轮船以18海 里小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24
海里小时的速度同时从港口A出发向东南方 向航行，离开港口1.5h后，两轮船相距（ ）
A．30海里 B．35海里 C．40海里 D．45海里
9．（3分）如图，△ABC的每个顶点都在边长为1的正方形格点上，则∠ABC的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（3分）如图，以数轴 的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线
长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表 示的数是（ ）

A．1 B．﹣1 C．1﹣ D．
11．（3分）若一个三角形三边a，b，c满足（a+b）
2
＝c
2
+2 ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形
C．等腰直角三角形
B．钝角三角形
D．直角三角形
12．（3分）有一个面积为1的正方形，经过 一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小
正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再 经过一次“生长”后，变成
了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长” 了2019次
后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A．1 B．2018 C．2019 D．2020
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）若8，a，17是一组勾股数，则a＝ ．
14．（4分）如图，某 会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，
已知地毯每平方米18元，请你 帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱．

15．（4分）如图，台风过后某 中学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C点6
米处，已知旗杆总长15米，则旗杆是在距底 部 米处断裂．

16．（4分）如图，在5×5的边长为1的小正方形组成的网格 中，格点上有A、B、C、D四
个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接 ．（写出一

个答案即可）

17．（4分）如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 ．
18．（4分）一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯
里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是 ．

三．解答题（共6小题，满分40分）
19．（5分）数学综合实验课上，同学们 在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用
的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后 ，下端刚好接触地面，如图，根
据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来 的吗？


20．（6分）我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示）， 为了绿化环境，学校计划
在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝1 3m，BC＝12m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

21．（6分）如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两 根拉索AB、AC
长分别为13米、20米．
（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；
（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．


22 ．（7分）如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度
比梯子底端离 墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？


23．（7分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡
献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示
“弦图” ．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列
问题：
（1）试说明a
2
+b
2
＝c
2
；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）
2
的值．

24．（9分）阅读下列材料，并回答问题． 事实上，在任何一 个直角三角形中，两条直角边
的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这 个结论，完
成下面活动：

（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为 ．
（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD＝BD，AC＝BE，AC＝3，DC＝1，求BD的长度．
（3）如图2，点A在数轴上表示的数是 ，请用类似的方法在图2数轴上画出表
示数



















的B点（保留作图痕迹）．

参考答案

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【解 答】解：A、∵1
2
+1
2
≠2
2
，∴不是勾股数，此选项 错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵7
2
+24< br>2
＝25
2
，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵6
2
+12
2
≠13
2
，∴不是勾股数，此选项错误．
故选：C．
2．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ
2
＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR
2
＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR
2
＝PQ
2
+QR
2
，
∴QR2
＝PR
2
﹣PQ
2
＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．

3．【解答】解：如图， 根据勾股定理知AB
2
＝1
2
+3
2
＝10．
∵1
2
+3
2
＝10，+＝10，+＝10，
∴符合条件的点C有6个．
故选：D．

4．【解答】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；

当5是斜边长时，第三边长为：
故选：D．
＝4．
5．【解答】解：由题 意可得：AD
2
＝0.7
2
+2.4
2
＝6.25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC
2
+AB
2
＝AC
2
，
∴AB
2
+1.5
2
＝6.25，
∴AB＝±2，
∵AB＞0，
∴AB＝2米，
∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）．
故选：A．

6．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝
＝2米，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝
＝1.5 米，
故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．
故选：A．
＝
＝< br>7．【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，

，

故选：B．
8．【解答】解：如图，连接BC．
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5＝36（海里），18×1.5＝27（海里），
根据勾股定理得：BC＝
故选：D．
＝＝45（海里）．

9． 【解答】解：由勾股定理得：AB＝AC＝
∴AB
2
+AC
2
＝BC
2
，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
故选：B．
10．【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴BC＝
∴AC＝
＝，
，
＝，BC＝＝，
，即|A﹣1|＝
． 故点A表示1﹣
故选：C．

11．【解答】解：（a+b）
2
＝ c
2
+2ab，即a
2
+b
2
+2ab＝c
2+2ab，所以a
2
+b
2
＝c
2
，所以可得三角形为直角三角形．
故选：D．
12．【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a
2
+b
2
＝c
2
，

即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．【解答】解：①a为最长边，a＝
②17为最长边，a＝
故答案为：15．
14．【解答】解：由勾股定理，AC＝
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18＝612元．
故答案为：612．
＝＝12（m）．
＝，不是正整数，不符合题意；
＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．

15．【解答】解：设旗杆是在距底部x米处断裂，则折断部分的长为（15﹣x）m，
由勾股定理得：x
2
+6
2
＝（15﹣x）
2
，
解得：x＝6.3，
即旗杆是在距底部6.3米处断裂，
故答案为：6.3．
16．【解答】解：由勾股定理得，AD＝
3＜＜＜4，
＝，BD＝＝，
∴连接AD或BD均可，
故答案为：AD（或BD）．

17．【解答】解：作辅助线：连接AB，
因为△ABD是直角三角形，所以AB＝
因为5
2
+12
2
＝13
2
，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即×12×5﹣×3×4＝30﹣6＝24．
＝＝5，

18．【解答】解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6cm≤a≤16.6cm．
故答案为：15.6cm≤a≤16.6cm．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．【解答】解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+2）m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为x
2
+8
2< br>＝（x+2）
2
，解得x＝15m，
∴旗杆的高度为15米．
20．【解答】解：（1）连接BD，
在Rt△ABD中，BD
2
＝AB< br>2
+AD
2
＝3
2
+4
2
＝5
2< br>，
在△CBD中，CD
2
＝13
2
，BC
2
＝12
2
，
而12
2
+5
2
＝13
2
，即BC
2
+BD
2
＝CD
2
，
所以∠DBC＝90°，
则S
四边形
ABCD
＝S
△ABD
+S
△
DBC
＝3×4÷2+5×12÷2＝36m
2< br>；

（2）所需费用为36×200＝7200（元）．

21．【解答】解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB、AC长分别为13米、20米，
∴BC＝＝＝
m；
m，
答：固定点B、C之间的距离为
（2）∵BC＝21，
∴BD＝21﹣CD，
∵AD⊥BC，
∴AB
2
﹣BD
2
＝AC
2﹣CD
2
，
∴13
2
﹣BD
2
＝20
2
﹣（21﹣BD）
2
，
∴BD＝5，
∴AD＝＝＝12．
22．【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA
2
+OB
2
＝AB
2
，可得：15
2
+O B
2
＝（5+OB）
2

解得：OB＝20，
答：这个云梯的底端离墙20米远；
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，
根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC
2
+O D
2
＝CD
2
，可得：
∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
23．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2
，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b
﹣a）
2
，
∴c
2
＝4×ab+（a﹣b）
2
＝2ab+a
2
﹣2ab +b
2
即c
2
＝a
2
+b
2
．；
，

（2）由图可知，（b﹣a）
2
＝2，4×ab＝10﹣2＝8，
∴2ab＝8，
∴（a+b）
2
＝（b﹣a）
2
+4ab＝2+2×8＝18．
24．【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，
则这个直角三角形斜边长＝
故答案为：10；
（2）在Rt△ADC中，AD＝
∴BD＝AD＝2；
＝﹣，
＝2，
＝10，
（3）点A在数轴上表示的数是：﹣
由勾股定理得，OC＝，
以O为圆心、OC为半径作弧交x轴于B，则点B即为所求，
故答案为：﹣．