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2020年春季八年级下册第17章《勾股定理》综合测试卷
时间100分钟，满分120分
班级____________姓名___________ _学号____________成绩____________
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1，2，3
C．6，8，10
B．0.3，0.4，0.5
D．5，11，12

2．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝1，b＝2，c＝
B．∠A﹣∠B＝∠C
D．（b+c）（b﹣c）＝a
2

3． 如图，一个梯形分成一个正方形（阴影部分）和一个三角形（空白部分），已知三角形的
两条边分别是1 2cm和13cm，那么阴影部分的面积是（ ）cm
2
．

A．16 B．25 C．36 D．49
4．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥ AB于点B，且BC＝2，
以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）

A． B．+2 C．﹣2 D．2
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积
为90，则CD的长是（ ）

A．6 B．9 C．12 D．

6．如图，已知由16个边长为 1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、
PE，其中长度是有理数的有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．如图，等腰△ABC中，AB ＝AC＝10cm，BC＝12cm，D为BC上一点，连接AD，E为
AD上一点，连接BE，若∠A BE＝∠BAE═∠BAC，则DE的长为（ ）

A．cm B．cm C．cm D．1cm
8．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km， CB＝6km．DA
⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到 E站的距
离相等，则EB的长是（ ）km．

A．4 B．5 C．6 D．
9．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较
短的 直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）

A．121 B．144 C．169 D．196
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1 2，AB＝5．分别以A，C为圆心，以大于

线段AC长度的一半为半径作弧 ，两弧相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AC于
点D，连结BD，则△ABD的周长为（ ）

A．13 B．17 C．18 D．25
11．某工厂的厂门形状如图（厂 门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽
都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米 ，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是
（ ）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）

A．1 B．2 C．3 D．4
12．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S
1
，以CD为斜边作等腰直角三角形 ，以该等腰
直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S
2
，…按此规律继 续下去，则S
5
的值为（ ）

A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分24分）
13．直角三角形的直角边长分别为8，15，斜边长为x，则x
2
＝ ．

14．如果点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则AB＝ ．
15．已知一个等腰三角形的一边长为4，一边长为6，则这个三角形底边上的高的长
为 ．
16．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈．依木于垣，上于垣齐．引木却行四尺，
其木至地，问木长几何？意即：一道墙髙一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐
平，若木棒下端 向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒
上端恰好落到地上，则木棒长 尺（1丈＝10尺）．

17．如图，分别以直角△ABC的三边为直径作半圆，若两直角边 分别为6，8，则阴影部分
的面积是 ．

18．已知三角形三边长分别为 、、（a＞0，b＞0），请
借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为 （用含a、b的代
数式表示）．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝ 30°，AB＝4cm，动点P从点B出发
沿射线BC方向以2cms的速度运动．设运动的时间为t秒 ，则当t＝ 秒时，△ABP
为直角三角形．

20．如图，在平面直角坐 标系中，OA
1
＝2，∠A
1
Ox＝30°，以OA
1
为直 角边作Rt△OA
1
A
2
，
并使∠A
1
OA
2
＝60°，再以A
1
A
2
为直角边作Rt△A
1
A
2
A
3
，并使∠A
2
A
1
A
3
＝60°，再以A
2
A
3
为直角边作Rt△A
2
A
3
A
4
，并使∠A
3
A
2
A
4
＝60°，…，按此规律进行下去，则A
2020
的坐标
是 ．

三．解答题（共8小题，满分60分）
21．某中学八 （1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连接AC，经测量
AB＝12，BC＝9 ，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．



22．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．



23．如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC ＝90°，AD＝4米，CD＝3
米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．

24．某条道路限速70kmh，如图，一辆小汽车在 这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行
驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s， 小汽车到达B处，此时测得
小汽车与车速测检测仪间的題离为50m，这辆小汽车超速了吗？






25．利用如图4×4方格，每个小正方形的边长都为1．
（1）请求出图1中阴影正方形的面积与边长；
（2）请在图2中画出一个与图1中阴影部分 面积不相等的正方形，要求它的边长为无理
数，并求出它的边长；
（3）把分别表示图1与图2中的正方形的边长的实数在数轴上表示出来．

26．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13m，梯子底端离墙角的距离
BO ＝5m．
（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C ，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD
＝4m吗？为什么？






27．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．
（1）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长；
（2）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，求AM的长．

28．（1）我国著名的数学家赵爽，早在 公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角
形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形 （如图1），这个矩形称为赵爽弦图，
验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边 c满足关系式a
2
+b
2
＝
c
2
．称为勾股定理．
证明：∵大正方形面积表示为S＝c
2
，又可表示为S＝
∴ ＝c
2

∴ ．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也
能验 证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，
（3）如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你 添加适当的辅助线证明结论a
2
+b
2
＝c
2
．

参考答案

一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：A、∵1
2
+2
2< br>≠3
2
，∴这组数不是勾股数；
B、∵0.3
2
+0.4< br>2
＝0.5
2
，但不是整数，∴这组数不是勾股数；
C、∵6
2
+8
2
＝10
2
，∴这组数是勾股数；
D、∵5
2
+11
2
≠12
2
，∴这组数不是勾股 数．
故选：C．
2．【解答】解：A、由题意：∠C＝
题意．
B、∵∠ A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，
本选项不 符合题意．
C、∵a＝1，b＝2，c＝
项不符合题意．
D、∵（b+c）（b﹣ c）＝a
2
，∴b
2
﹣c
2
＝a
2
，∴b
2
＝a
2
+c
2
，∴△ABC是直角三角形，本选
项不符合题意．
故选：A．
3．【解答】解：如图所示：
，∴a
2+b
2
＝c
2
，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选
×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合

Rt△CDE中，DE＝12，CE＝13，
∴CD＝＝5，
∴阴影部分的面积＝5×5＝25cm
2
；
故选：B．
4．【解答】解：由题意可得，
AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝＝＝，

∴AD＝．
﹣2． ∴点D表示数为
故选：C．
5．【解答】解：∵∠C＝90，DA＝15，
∴S
△
DAB
＝DA•BC＝90，
∴BC＝12
在R t△BCD中，CD
2
+BC
2
＝BD
2
，即CD
2
+12
2
＝15
2
，
解得：CD＝9（负值舍去）．
故选：B．
6．【解答】解：观察图形可知PA＝4，
由勾股定理得：
PB＝
PC＝
PD＝
PE＝
＝
＝5，
＝2
＝
，
，
，
故其中长度是有理数的有2条．
故选：B．
7．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE═∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°，BD＝BC＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝8，
∵∠ABE＝∠BAE，
∴AE＝BE，
设DE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，BE
2
＝DE
2
+BD
2
，
∴（8﹣x）
2
＝x
2
+6
2
，

解得：x＝，
即DE＝cm，
故选：C．
8．【解答】解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE
2
＝AD
2
+AE
2< br>＝4
2
+（10﹣x）
2
，
在Rt△BCE中，
CE
2
＝BC
2
+BE
2
＝6
2
+x2
，
由题意可知：DE＝CE，
所以：6
2
+x
2
＝4
2
+（10﹣x）
2
，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
故选：A．
9．【解答】解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，
∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，
∴直角三角形斜边长＝13，
∴大正方形的边长是13，
∴大正方形的面积是13×13＝169．
故选：C．
10．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5，
∴AC＝＝13，
根据题意可得EF是AC的垂直平分线，
∴D是AC的中点，
∴AD＝AC＝6.5，BD＝AC＝6.5，
∴△ABD的周长为6.5+6.5+5＝18．
故选：C．
11．【解答】解：∵车宽2米，

∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝≈1.73（米），
CH＝CD+DH＝1.73+1.6＝3.33，
∴两辆卡车都能通过此门，
故选：B．

12．【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．

∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE
2
+CE
2
＝CD
2
，DE＝CE，
∴S
2
+S
2
＝S
1
．
观察，发现规律 ：S
1
＝1
2
＝1，S
2
＝S
1
＝，S< br>3
＝S
2
＝，S
4
＝S
3
＝，…，
∴S
n
＝（）
n1
．
﹣
当n＝5时，S
5
＝（）
51
＝（）
4
，
﹣
故选：A．
二．填空题（共8小题）
13．【解答】解：∵直角三角形的直角边长分别为8，15， < br>∴由勾股定理得，x
2
＝8
2
+15
2
＝64+22 5＝289，
故答案为：289．
14．【解答】解：由两点间的距离公式可得AB＝＝5．

故答案为：5．
15．【解答】解：①若等腰三角形的腰长为4，底边为6，

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，AD⊥BC，
则AD为BC边上的中线，即D为BC中点，
∴BD＝DC＝3，
在直角△ABD中AD＝
②若等腰三角形的腰长为6，底边为4，
＝．

如图2，AB＝AC＝6，AD⊥BC，BC＝4，
同理可得AD＝
∴AD的长为
故答案为：
或4
或4
．
．
＝4．
16．【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距 离即BC的长有（x﹣1）
尺，
在Rt△ABC中，
∵AC
2
+BC
2
＝AB
2
，
∴10
2
+（x﹣4）
2
＝x
2
，
解得，x＝14.5
故答案为：14.5．

17．【解答】解：S
阴
＝S
半圆
AC
+S
半圆
B C
+S
△
ABC
﹣S
半圆
AB

＝
＝
＝24
故答案为：24．
18．【解答】解：如图所示，

+

AB＝
BC＝
＝
＝
，AC＝
，
＝，
∴ S
△
ABC
＝S
矩形
DEFC
﹣S
△
AB E
﹣S
△
ADC
﹣S
△
BFC

＝20ab﹣
＝．
．
cm，∠B＝30°，
﹣
故答 案为：
19．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4
∴AC＝2cm，BC＝6cm．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝6 cm，
∴t＝6÷2＝3s．
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣6）cm，AC＝2
在Rt△ACP 中，AP
2
＝（2）
2
+（2t﹣6）
2
，
cm，

在Rt△BAP中，AB
2
+AP
2
＝BP
2
，
∴（4
）
2
+[（2）
2
+（2t﹣6）
2
]＝（2t）
2
，
解得t＝4s．
综上，当t＝3s或4s时，△ABP为直角三角形．
故答案为：3或4．
20． 【解答】解：∵∠A
1
Ox＝30°，∠A
1
OA
2
＝60 °，

∴∠A
2
Ox＝90°，
∴A
2
在y轴上，
Rt△A
1
A
2
O中，OA
1
＝2，
∴ OA
2
＝2OA
1
＝4，A
1
A
2
＝2< br>∴A
2
的纵坐标为：4＝
∴A
2
（0，4），
Rt △A
1
A
2
A
3
中，∠A
2
A
1
A
3
＝60°，
∴∠A
1
A
3
A
2
＝30°，
∴A
1
A
3
＝2A
1
A
2
＝4，
，
+1，
∵∠BA
1
O＝∠A
1
Ox＝30°，
∴A
1
B∥x轴，
∴A
1
B⊥A
2
O，
∵∠A
1
A
2
B＝30°，
∴A
1
B＝ A
1
A
2
＝
∴A
3
B＝4﹣
，A
1
B＝3，
＝3，OB＝4﹣3＝1，
＝﹣， ∴A
3
的横坐标为：﹣3
∴A
3
（﹣3，1），

Rt△A
2
BA
3
中，A
2A
3
＝2A
2
B＝6，
Rt△A
2
A
3
A
4
中，A
2
A
4
＝2A
2
A
3
＝12，
∴OA
4
＝12﹣4＝8，
∴A
4
的纵坐标为：﹣[
A
4
（0，﹣8），
由 此发现：点A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，… ，A
n
，每四次一循环，
2020÷4＝505，
∴点A
202 0
在y轴的负半轴上，纵坐标是：﹣[
则A
2020
的坐标是 （0，1﹣3
1010
）；
故答案为：（0，1﹣3
1010
）．
三．解答题（共8小题）
21．【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，
∴AC
2
＝AB
2
+BC
2
＝144+81＝22 5，
∴AC＝15，
又∵AC
2
+CD
2
＝225+6 4＝289，AD
2
＝289，
∴AC
2
+CD
2
＝AD
2
，
∴△ACD是直角三角形．
22．【解答】解：设AD＝x
∵CD⊥AB，
∴∠D＝90°，
∴CD
2
＝BC
2
﹣BD
2< br>＝AC
2
﹣AD
2
，
∴8
2
﹣（5+x）
2
＝5
2
﹣x
2
，
∴x＝，
∴AD＝．
23．【解答】解：连接AC．
由勾股定理可知：AC＝＝＝5，
﹣1]＝1﹣3
1010
．
﹣1]，
又∵AC
2
+BC
2
＝5
2
+12
2
＝13
2
＝A B
2
，
∴△ABC是直角三角形，

∴这块地的 面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（米
2
）．

24．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
据勾股定理可得：
BC＝＝＝40（m）
＝20（ms）＝20×3.6（kmh）＝72（kmh）； ∴小汽车的速度为v＝
∵72（kmh）＞70（kmh）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
25．【解答】解（1）面积为4×4﹣4××1×3＝10，
边长为；
均可．（答案不唯一，合理即可．） （2）如图所示，正方形的边长为

（3）表示或或的点如图所示．（答案不唯一，画出表示的点亦可）

26．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，
∴AO＝
＝
＝12m，
∴梯子顶端距地面12m高；
，
，

（2）滑动不等于4m，
∵AC＝4m，
∴OC＝AO﹣AC＝8m，
∴OD＝
＝
∴BD＝OD﹣OB＝
∴滑动不等于4m．
27．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，
∴AB＝＝20cm，
，
，
，
∵∠PAC＝∠PCA，
∴AP＝PC，
设AP＝BP＝x，
∴PB＝20﹣x，
∴（20﹣x）
2
+15
2
＝x
2
，
解得：x＝
∴AP＝；
，
（2）当CM＝BC＝15时，△MBC为等腰三角形，
∴AM＝AC﹣CM＝10；
当BM＝BC＝15，时，△MBC为等腰三角形，
过B作BH⊥AC于H，
∴BH＝
∴CH＝
＝＝12，
＝9，
∴AM＝AC﹣2CH＝7；
当BM＝CM时，△MBC为等腰三角形，
连接BM，
设AM＝x，则BM＝CM＝25﹣x，

∴ （25﹣x）
2
＝12
2
+（25﹣x﹣9）
2
，
解得：x＝
∴AM＝
，
，
． 综上所述，若△MBC为等腰三角形，AM的长为10，7，

28．【解答】（1）证明：∵ 大正方形面积表示为S＝c
2
，又可表示为S＝4×ab+（b﹣a）
2
，
∴4×ab+（b﹣a）
2
＝c
2
．
∴2ab+b
2
﹣2ab+a
2
＝c
2
，
∴a
2
+b
2
＝c
2
，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：4×ab+（b﹣a）
2
，4×ab+（b﹣a）
2
，a
2
+b
2
＝c< br>2
；
（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4+c
2
＝（a+b）×（a+b），
整理得，2ab+c
2
＝a
2
+b
2
+2ab，
即a
2
+b
2
＝c
2
；
（3）解：如图 3，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边
形ABDF是矩形，

∵△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，

∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，
S
矩形
ABDF
＝b（a+ b）＝2×ab+c
2
+（b﹣a）（a+b），
∴a
2
+b
2
＝c
2
．