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勾股定理（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条
边长求出第三条边 长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
【 勾股定理 知识要点】
要点一、勾股定理
直角三角形 两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b
，斜边长为c
，那么
a
2
b
2
c
2
.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线
段长可以建立方程求解，这样 就将数与形有机地结合起来，达到了解
决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a
2
c
2
b
2
，
b
2
c
2
a
2
，
c
2


ab

2ab
.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
1

要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为
【典型例题】
类型一、勾股定理的应用
的线段.
，所以.

1、如图所示， 在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多
边形ABCD的 面积．

【答案与解析】
解：延长AD、BC相交于点E
∵ ∠B＝90°，∠A＝45°
∴ ∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2
∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DCE＝45°，
∴ CD＝DE＝1
111
222
，
S
△DCE
11
．
222
13
∴
S
四边形ABCD
S
△ABE
S
△DCE
2
．
22
∴
S
△ABE

【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、 正方形、
等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．
举一反三：
【变式】（2015•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，BC =2，S
△ABC
=3，∠ABC=135°，求AC、
AB的长．

2

【答案】
解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
在△ABC中，∵S
△ABC
=3，BC=2，
∴AD===3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB=AD=3，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC===．

2、已知直角三角形斜边长为2，周长为
26
，求此三角形的面积．
【思 路点拨】欲求Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为
6
，
结 合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解．
【答案与解析】
解：设这个直角三角形的两直角边长分别为
a、b
，则


ab226

ab6①
即



22222


ab2

ab4②
将①两边平方，得
a2abb6
③
22
11
ab

22
1
因此这个直角三角形的面积为．
2
③－②，得
2a b2
，所以
【总结升华】此题通过设间接未知数
a、b
，通过变形直接得出
出
a、b
的值．本题运用了方程思想解决问题．
3、（2015春•黔南 州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，
使点B与点D重合 ，折痕为EF，求DE的长．
1
ab
的值，而不需要分别求
2
3

【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直 角三角形ADE中，根
据勾股定理列方程即可求解．
【答案与解析】
解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，
△ADE中，DE=AE+AD，即x=（10﹣x）+16．
∴x=（cm）．
cm.
22222
答：DE的长为
【总结升华】注意此类题中，要能够发现 折叠的对应线段相等．

类型二、利用勾股定理解决实际问题
4、如图所示，在一 棵树的10
m
高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20
m
处的
池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的
距离相等，试 问这棵树有多高？

【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30< br>m
，另一只猴子从B→D→A也共
走了30
m
，并且树垂直于地面，于 是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．
【答案与解析】
解：设树高CD为< br>x
，则BD＝
x
－10，AD＝30－(
x
－10)＝40－
x
，
在Rt△ACD中，
20x(40x)
，
解得：
x
＝15．
答：这棵树高15
m
．
【总 结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系
列方程求解．
举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12
cm
，底面半径 等于3
cm
，在圆柱的底面A
点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食 物，需要爬行的最短路程是多少?(π
取3)
222
4

【答案】
解：如图②所示，由题意可得：

AA< br>
12
，
A

B
1
2
2
39

在Rt△AA′B中，根据勾股定理得：

AB
2
AA

2
A

B
2< br>12
2
9
2
225
则AB＝15
cm
．
所以需要爬行的最短路程是15
cm
．


5