12星座顺序-长征5

人教版八年级下册第17章勾股定理培优专题训练
一．选择题（共11小题）
1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．64
2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm
2
，则斜边长为（ ）
A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm
3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3
2
，4
2
，5
2
B． C．9，41，40 D．2，3，4
4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（ ）

A．a
2
+b
2
＝c
2
B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c
2

5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8， 点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，
PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ）
A．ab＝h
2

C．
B．
D．a
2
+b
2
＝2h
2

7．在△AB C中，若a＝n
2
﹣1，b＝2n，c＝n
2
+1，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
8．有一个面积为1的 正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，
其中，三个正方形围成的三角形是直 角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，

如果继续“生长”下去，它将变得“枝 繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的
图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A．2008 B．2009 C．2010 D．1
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙角的距离
为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将 梯子斜靠在右墙时，顶端
距离地面1.5米，则小巷的宽度为（ ）

A．2.7米 B．2.5米 C．2米 D．1.8米
11．如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为
1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测 得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）
米．

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
二．填空题（共6小题）
12．点P（﹣5，12）到原点的距离是 ．
13．如图，在等边△ABC中，点 D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥
DE，交CB的延长线于点F．若BD＝ 5，则EF
2
＝ ．

14．已知：如图，四边形ABDC，AB ＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四
边形ABDC的面积是 ．

15．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝1 3米，BC＝12
米，这块地的面积为 ．

16．如图，将一根长12厘 米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，
则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米．

17．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给 出的，人们称它为“赵爽
弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正 方形，△ABF、
△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则 AB的长
为 ．

三．解答题（共7小题）
18．如图，是一块 四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，
DA长7米，∠C＝90 °，求绿地ABCD的面积．

19．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界 数学史上具有独特的贡献和地位，
体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图 所示“弦图”．Rt
△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下 列问题：
（1）试说明a
2
+b
2
＝c
2
；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）
2
的值．

20．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE， 连接BE，延长DE、BC
相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．
（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；
（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；
（3）求证：a
2
+b
2
＝c
2
．

21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12 、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇
数，且从3起就没有间断过 ．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n （n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分
别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
22．如图，甲船以16海里时的速度离开港口，向东南航行 ，乙船在同时同地向西南方向航
行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝3 0海里，问乙船每
小时航行多少海里？

23．如图，花果山上有两只猴子在一棵树 CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃
东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的 池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶

D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所 经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 m；
（2）求这棵树高有多少米？

24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S
△
ABC
＝4 0cm
2
，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向
点A运动，同 时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达
终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中 点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若
能，求出t的值；若不能，请说明理由．

参考答案

一．选择题（共11小题）
1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．64
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ
2
＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR
2
＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR
2
＝PQ
2
+QR
2
，
∴QR2
＝PR
2
﹣PQ
2
＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．

2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm
2
，则斜边长为（ ）
A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，
根据勾股定理得：a
2
+b
2
＝c
2
，
∵a
2
+b
2
+c
2
＝1800，
∴2c
2
＝1800，即c
2
＝900，
则c＝30cm．
故选：A．

3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3
2
，4
2
，5
2
B． C．9，41，40 D．2，3，4
【解答】解：A、9
2
+16
2≠25
2
，故不是直角三角形，故不符合题意；
B、（）
2
+ （）
2
≠（）
2
，故不是直角三角形，故不符合题意；
C、92
+40
2
＝41
2
，故是直角三角形，故符合题意；
D、2
2
+3
2
≠4
2
，故不是直角三角形，故不符合题 意．
故选：C．
4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（ ）

A．a
2
+b
2
＝c
2
B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c
2

【解答】解：∵a、b、c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，
∴a＝AC
2
，b＝BC
2
，c＝AB
2
． 又∵在直角△ABC中，AC
2
+BC
2
＝AB
2
．
∴a+b＝c．
故选：C．

5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝ 8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，
PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ）
A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BF＝4，

∴△ABF中，AF＝＝3，
∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，
12＝×5×（PD+PE）
PD+PE＝4.8．
故选：A．

6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ）
A．ab＝h
2

C．
B．
D．a
2
+b
2
＝2h
2

【解答】解：∵ab＝ch
∴h＝
∴＝


∴＝＝＝．故选C．
7．在△ABC中，若a＝n
2
﹣1，b＝2n，c＝ n
2
+1，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【解答】解：∵（n
2
﹣1）
2
+（2n）
2
＝（n
2
+1）
2
，
∴三角形为直角三角形，
故选：D．
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生 长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，
其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次 “生长”后，变成了右图，
如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了200 9次后形成的
图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A．2008 B．2009 C．2010 D．1
【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得
a
2
+b
2
＝c
2
，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2010×1＝2010．
故选：C．

9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
+c
2
+ab＝（a+b）（a+b），

【解答】解：A、∵
∴整理得：a
2
+b
2
＝c
2
，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c
2
＝（a+b）
2
，
∴整理得：a
2
+b
2
＝c
2
，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

C、∵4×+（b﹣a）
2
＝c
2
，
∴整 理得：a
2
+b
2
＝c
2
，即能证明勾股定理，故本选项不 符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
1 0．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离
为0.7米， 顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端
距离地面1.5米，则小 巷的宽度为（ ）

A．2.7米 B．2.5米 C．2米 D．1.8米
【 解答】解：由题意可得：AD
2
＝0.7
2
+2.4
2
＝6 .25，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC
2+AB
2
＝AC
2
，
∴AB
2
+1.5
2
＝6.25，
∴AB＝±2，
∵AB＞0，
∴AB＝2米，
∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）．
故选：A．

11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯 子下端B与墙角C距离为
1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端 A下落了（ ）
米．

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
＝【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝
＝2米， < br>在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝
＝1.5米 ，
故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
12．点P（﹣5，12）到原点的距离是 13 ．
【解答】解：∵点P（﹣5，12），
∴点P到原点的距离＝
故答案为：13．
＝13．
＝
13．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且D E∥AC，过点E作EF⊥
DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF
2
＝ 75 ．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，

∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED＝BD＝5，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝10，
∴EF
2
＝DF
2
﹣DE
2
＝75．
故答案为：75．
14．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12， BD＝13，∠BAC＝90°．则四
边形ABDC的面积是 36 ．

【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC
2
+CD
2
＝BD
2

∴△BCD是直角三角形

∴S
四边形
ABCD
＝S△
BCD
+S
△
ABC
＝×4×3+×5×12＝36，
故答案为：36
15．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90° ，AB＝13米，BC＝12
米，这块地的面积为 24m
2
．

【解答】解：如图，连接AC
由勾股定理可知
AC＝＝＝5，
又AC
2
+BC
2
＝5
2
+12
2
＝13
2
＝AB
2

故三角形ABC是直角三角形
故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m
2
）．
16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，
则筷子 露在杯子外面的长度至少为 2 厘米．

【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得 圆柱形水杯的最大线段的长度，即
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，
故答案为2．
＝10cm，

17．如图1，这个图案是 我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽
弦图”．此图案的示意图如图2，其中 四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、
△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的 直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为
10 ．

【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣BF＝6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝
故答案是：10．
三．解答题（共7小题）
18．如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，B C长15米，CD长为20米，
DA长7米，∠C＝90°，求绿地ABCD的面积．
＝＝10．

【解答】解：连接BD．如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝15米，CD＝20米，
∴BD＝＝＝25（米）；
在△ABD中，∵BD＝25米，AB＝24米，DA＝7米，
24
2
+7
2
＝25
2
，即AB
2
+DA
2
＝BD< br>2
，
∴△ABD是直角三角形．
∴S
四边形
ABCD＝S
△
ABD
+S
△
BCD

＝AB•AD+BC•CD
＝×24×7+×15×20
＝84+150
＝234（平方米）；
即绿地ABCD的面积为234平方米．

19．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位 ，
体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt
△ ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a
2
+b
2
＝c
2
；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）
2
的值．

【解答】解：（1）∵大正方形面积为c
2
，直角三角形面积为ab，小正 方形面积为（b
﹣a）
2
，
∴c
2
＝4×ab+（a﹣b ）
2
＝2ab+a
2
﹣2ab+b
2
即c
2
＝a
2
+b
2
．；
（2）由图可知，（b﹣a）
2
＝2，4×ab＝10﹣2＝8，
∴2ab＝8，
∴（a+b）
2
＝（b﹣a）
2
+4ab＝2+2×8＝18． < br>20．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC< br>相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．

（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；
（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；
（3）求证：a
2
+b
2
＝c
2
．

【解答】（1）△ABE是等腰直角三角形，
证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠CAE+∠DAE＝90°，
又∵AB＝AE，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，
∴四边形ABFE的面积等于：b
2
．

（3）∵S
正方 形
ACFD
＝S
△
BAE
+S
△
BFE

即：b2＝c2+（b+a）（b﹣a），
整理：2b
2
＝c
2
+（b+a）（b﹣a）
∴a
2
+b
2
＝c
2
．
21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12 、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇
数，且从3起就没有间断过 ．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11，60，61 ；
（2）若第一个 数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分
别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【解答】解：（1）11，60，61；

（2）后两个数表示为
∵
∴
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，
和，
，，
．
三个数组成的数是勾股数．
故答案为：11，60，61．
22．如图，甲船以16海里时的速度离开港口，向东南航行 ，乙船在同时同地向西南方向航
行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝3 0海里，问乙船每
小时航行多少海里？

【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲轮船以16海里小时的速度航行了一个半小时，
∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里，
∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝18，
∴乙轮船每小时航行18÷1.5＝12海里． < br>23．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃
东 西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶
D处后再沿缆绳D A线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 15﹣x m；
（2）求这棵树高有多少米？

【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD
2
＝AC
2
+DC
2

∴（15﹣x）
2
＝（x+5）
2
+10
2

∴x＝2.5
∴CD＝5+2.5＝7.5
答：树高7.5米；
24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S
△
ABC
＝4 0cm
2
，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向
点A运动，同 时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达
终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中 点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若
能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
则AB＝5x，

在Rt△ACD中，AC＝
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
＝5x，
（2）解：S
△
ABC＝×5x×4x＝40cm
2
，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10﹣t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，
∴DE＝AC＝5，
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣4，
过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：
∵ED＝EA，
∴DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
∵BM＝t，BF＝7，
∴FM＝t﹣7

则在Rt△EFM中，（ t﹣4）
2
﹣（t﹣7）
2
＝4
2
，
∴t＝．
． 综上所述，符合要求的t值为9或10或