青蛙frog-敖包相会吉他谱

鲁教版2018七年级数学上册第三章勾股定理单元练习题五（附答案详解）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，则点C到AB的距离是（ ）
A． B．12 C．9 D．
2．如图，在△ABC中，∠ABC=9 0°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别
记为S
1
、S
2
、S
3
，若S
2
=4，S
3
=6，则S
1
=（ ）

A．2 B．4 C．6 D．10
3 ．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要
爬行的最短路程 （π取3）是（ ）

A． 20cm B． 10cm C． 14cm D． 无法确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点， M，N是AC，BC上的动
点，且∠MDN=90°，下列结论：

①AM=CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM+BN=MN；④MN平分∠CND．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=
90
，∠A=
4 5
，AB=3，CD=1，则BC的长为（ ）
00
222

A． 3 B．2 C．
12
D．
32

6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=5，c=7
B．a=2，b=2，c=
C．a=
D．a=
，b=
，b=

，c=
，c=
，则AB长为（ ）

7．如图，Rt△ABC中，BC=2，AC=2

A．2 B．2 C．4 D．4
8．如图，一架长为10m的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6m，如果梯 子的顶端下
滑了2m，那么梯子底部在水平方向滑动了（ ）

A．2m B．2.5m C．3m D．3.5m
9．以下列各组数为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．24，10，26 B．5，3，4 C．60，11，61 D．5，6，9
10．下列命题：
①如果
a
，
b
，
c
为一组勾股数，那么
4a
，
4b
，
4c
仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；
222
④一个等腰直角三角形的三边是
a
，
b
，
c
，且
bc
，那么
a:b:c2:1:1
。
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④

11．（如图 ）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到
B点，那么它所行的 最短路线的长是_______cm．

12．如图，正方体的棱长为5，一只蚂蚁如果要沿 着正方体的表面从点A爬到点B，需
要爬行的最短距离是____．


1 3．如图，长方形
ABCD
中，
AB=10
，
BC=3
，< br>E
为
AB
边的中点，
P
为
CD
边
上 的点，且
△AEP
是腰长为
5
的等腰三角形，则
DP
= ．
．．


14．在四边形ABCD中，∠C=90°，DC=3 ，BC=4，AD=12，AB=13，则四边形ABCD的面积是________．
15．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝. 他们登陆
后先 往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一
拐，仅走1k m就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km．


16．如图，在 △ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=3，AD=4，则点D到直线AB的距
离是 ．

17．若直角三角形斜边上的中线等于3，则这个直角三角形的斜边长为
18． 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=3
BC的长 为 ．
，则下底


19．在Rt△ABC中，∠C=90°（，1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17，则S
△
ABC
= ．
20．（20 15秋•永嘉县校级期中）如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，
根据图中的尺寸（单位 ：cm），计算两个圆孔中的A和B的距离为 cm．

21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积；
（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
22．如图所示，△ ABC和△ AEF 为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、
B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB的度数．

23．如图，在一次夏令营活动中，小玲从营地A出发，沿北偏东60°方向走了
5003m
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．（1）求A，C两点之间的距离．（2）确定目的地C在营地A什么方向．




24．如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接
AB ，若AB=20．求：△ABD的面积．





25．如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合．

（1）求证：AE=AF；
（2）若AB=3，BC=9，试求CF的长；
（3）在（2）的条件下，试求EF的长．

26．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减
小传送 带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．

（1）求新传送带AC的长度．
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判 断距离B点5米的货物MNQP
是否需要挪走，并说明理由．
参考数据：


27．如图是由直角边长为a、b，斜边长为c的4个全等的直角三角形拼成的正方形．试
利用 这个图形来验证勾股定理．
．




28．如果三角 形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，
这条中线称为“有趣中线” 。如图，在三角形ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，
且三角形ABC是“有趣三角 形”，求三角形ABC的“有趣中线”的长。

参考答案
1．A
【解析】
试题分析：首先根据勾股定理求出直角边BC 的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则
点C到AB的距离．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC+BC=AB，
∵AC=9，BC=12，
∴AB=解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC+BC=AB，
∵AC=9，AB=15，
∴BC==12，
222
222
∵S
△ABC
=AC•BC=AB•h，
∴h=
故选A．
=．

考点：勾股定理．
2．A
【解析】
试题分析：先根据勾股定理得出△ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出 S
1
的值．
解：∵△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB+BC=AC，
∴BC=AC﹣AB，
∵BC=S
1
、A B=S
2
=4，AC=S
3
=6，
∴S
1
=S
3
﹣S
2
=6﹣4=2．
故选A．
考点：勾股定理．
3．B
【解析】试题分析：先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出

222
222
222

结论．
如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开， ∵底面半径为2cm， ∴BC=
在Rt△ABC中， ∵AC=8cm，BC=6cm， ∴AB==
=2π≈6cm，
=10cm．

考点：平面展开-最短路径问题．
视频
4．A．
【解析】
试题解析：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN．
在△AMD和△CND中，
1
AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．
2

ADCN

，

ADCD

ADMCDN

∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM=CN，DM=DN，S
△AMD
=S
△CND
．
∴CM=BN．
∵四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△AD M=S
△ADC
．故为定值．
∵CM+CN=MN，
∴BN+AM=MN．
当MN∥AB时，MN平分∠CND．
∴正确的有：①②③．
故选A．
222
222

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．
5．D
【解析】
试题分析：延长AB、DC，两延长线相交于点E，根据△ADE 是等腰直角三角形，
可知△EBC是等腰直角三角形，得AE=
即
2
DE，因 此可知
2
（CD+EC）=AB+BE，
2
（1+
2
BC） =3+BC，
2
． 解得：BC=3-
故选D．

考点：等腰三角形，勾股定理
6．B
【解析】
试题分析：三角形三边满 足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三
角形．
解：A、3+5≠7，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、2+2=（ 2
C、（2
D、（
）2
22
222
），能作为直角三角形的 三边长，故本选项符合题意．
）≠（3
）≠（
2
2
2
+（ 3），不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
），不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
2
2
）+（
2
故选B．
考点：勾股定理的逆定理．
7．C
【解析】
试题分析：根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边 长的平方之和一定等于斜
边长的平方列式计算即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=2
∴AB===4．
，

故选C．
考点：勾股定理．
8．A
【解析】
试题分析：首先在Rt△ABO中利用勾股定理计算出AO的长， 在Rt△COD中计算出DO的长，
进而可得BD的长．
解：在Rt△ABO中：AO=
∵梯子的顶端下滑了2m，
∴AC=2米，
∴CO=6米，
在Rt△COD中：DO=
∴BD=DO﹣BO=8﹣6=2（米），
故选：A．
==8（米），
==8（米），

考点：勾股定理的应用．
9．D
【解析】
试题分析：欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时 还需验证两小边的平方和
是否等于最长边的平方．
解：A.24
2
+10< br>2
=26
2
，能构成直角三角形，故此选项正确；
B.4
2
+3
2
=5
2
，能构成直角三角形，故此选项正确；
C. 11
2
+60
2
=61
2
，同时能构成直角三角形，故此选 项正确；
D.5
2
+6
2
≠9
2
，不能构成勾股 数，故此选项错误．
故选：D．
考点：勾股数．

10．C．
【解析】
试题解析：如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，所以①正确；
如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边是13或
119
，所以②错误；
如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形不是直角三角形，所以③错误；
一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a：b：c=2：1：1，所以④正确．
故选C．
考点：命题与定理．
11．
【解析】试题分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
222

解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB =
如图2所示，
∵＜4，
∴蚂蚁所行的最短路线为cm．
故答案为：
【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即
可．
12．
5
．
【解析】
试题解析：如图所示：
=4cm，
=cm；

22
AB=
21=5
．
考点：平面展开-最短路径问题．
13．1或4或9
【解析】
试题分析：分三种情况讨论：（1）如图1，

当AE=EP=5时，过P作PM⊥AB，∴∠PMB=90°，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，
∴四边形BCPM是矩形，∴PM=BC=3，∵PE=5，∴EM=
PE
2
PM
2
=25
2
9
2
=4< br>，
∵E是AB中点，∴BE=5，∴BM=PC=5-4=1，∴DP=10-1=9；
（2）如图2，

当AE=AP=5时，DP=
（3）如图3，
AP
2
AD
2
=25
2
9
2
=4；

当AE=EP=5时，过P作PF⊥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ DAB=90°，∴四边形BCPF
是矩形，
∴PF=AD=3，∵PE=5，∴EF=259=4
，∵E是AB中点，∴AE=5，∴DP=AF=5-4=1．
∴
DP
=1或4或9．

22

考点：矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．
14．36．
【解析】
试题分析：如图所示：

∵∠C=90°，DC=3，BC=4，∴由勾股定理得： BD=
BC
2
DC
2
=5，∵AB=13，AD=12，∴
AD
2
BD
2
AB
2
，∴∠ADB=90°，∴四边 形ABCD的面积S=
S
BCD
S
ABD
=
11
×3×4+×
22
5×12=36．故答案为36．
考点：①勾股定理；②勾股定理的逆定理．
15．10
【解析】
试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离.
考点：勾股定理
16．
【解析】
试题分析：作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出CD的长，根据角平分线的性质解答即可．
解：作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=3，AD=4，
∴CD==，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=
故答案为：
．
．

考点：角平分线的性质．

17．6．
【解析】
试题分析：已知直角三角形斜边上的中线等于3，根据直角三角形斜边上的中线等于 斜边的
一半可得这个直角三角形的斜边长为6．
考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
18．10
【解析】解：如图，过A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAE=90°，
∴AE=BE（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半），
在Rt△ABE中，BE=AB+AE，
即BE=（3
22
2
222
）+（BE），
22
BE=27+BE，
BE=36，
解得BE=6，
∴BC=BE+EC=6+4=10．
故答案为：10．
2

19．13；
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理（直角 三角形的两直角边的平方和等于斜边的
平方）即可求得c的值；
（2）在Rt△ABC中，利 用勾股定理求得直角边a的值，然后根据三角形的面积公式求得△ABC
的面积．
解：（1）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，

∴c
2
=a
2
+b
2
= 5
2
+12
2
=13
2
，
∴c=13．
故答案是：13；60．
（2）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，b=8，c=17，
∴a==15，
∴S
△
ABC
=ab=×15×8=60．
故答案是：60．

考点：勾股定理．
20．10．
【解析】
试题分析：根据图 形标出长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股
定理就可求出A和B的距离．
解：∵AC=10﹣4=6（cm），BC=12﹣4=8（cm），
∴AB=
故答案为：10．
考点：勾股定理的应用．
21．（1）4；（2）P（﹣6，0）或（10，0）．
【解析】
试题分析：（ 1）利用平面坐标系画出图形，然后根据△ABC的面积=S
正方形ECFM
﹣S
△E CA
﹣S
△NAB
﹣S
△BCF
求出即可；
（2）根据题意求得PB，即可求得P的坐标．
解：（1）在平面直角坐标系中画出△ABC如图所示：
==10（cm）．

=8﹣1﹣
3=4；
（2）由题意可知△ABP的面积=×PB×OA=4，
∵OA=1，
∴PB=8，
∴P（﹣6，0）或（10，0）．
考点：坐标与图形性质；三角形的面积．
22．150°
【解析】
试题 分析：连接FC，可证△AEB≌△AFC（SAS），然后根据勾股定理的逆定理可求的∠EFC=90°，< br>然后根据全等的性质可求解.
试题解析：连接FC，

则△AEB≌△AFC（SAS）。
在△EFC中，EF=3，FC=4，EC=5，
所以是直角三角形，则∠EFC=90°，
∠AEB=∠AFC=90°+60°=150°

考点：勾股定理的逆定理
23．北偏东30°的方向
【解析】
试题分析：（1）根据直角三角形的勾股定理性质可求解；
（2）根据30°角的直角三角形的性质可求解.
试题解析：（1）如图，
C

北

北

D
A

（第21题）

B

E

∴∠DAB=∠ABE=60°．
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，∴∠CBA=90°．
在Rt△ABC中，∵BC=500m，AB=
5003
m，
由勾股定理可得：AC=BC+AB，
所以AC=1000（m）；
（2）在Rt△ABC中，∵BC=500m，AC=1000m，
∴∠CAB=30°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=30°．
即点C在点A的北偏东30°的方向
考点：勾股定理
24．42
【解析】试题分 析：由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C=90°，再由勾股定
理求出BC，得出BD ，即可得出结果．
解：在△ADC中，AD=15，AC=12，DC=9，
AC
2
+DC
2
=12
2
+9
2
=15
2=AD
2
，
即AC
2
+DC
2
=AD
2
，
∴△ADC是直角三角形，∠C=90°，

222

在Rt△ABC中，BC===16，
∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7，
∴△ABD的面积=×7×12=42．
25．（1）证明详见解析；（2）5；（3）
10
．
【解析】
试题分析：（1）证明∠AFE=∠CFE；进而证明∠AEF=∠CFE，即可解决问题．
（2）根据勾股定理列出关于CF的方程，解方程，即可解决问题．
（3）证明AC⊥EF，此为解题的关键；求出AC的长度；借助面积公式即可解决问题．
试题解析：（1）证明：由折叠的性质可得∠AFE=∠CFE，
∵ADBC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（2）设
CFx
，则
BF9x
，
AFx
，
根据勾股定理得：
3
2
(9x)
2
x
2，解得：
x5
，即
CF5
；
（3） 如图，连接AC、CE．
由题意知：AC⊥EF，
由勾股定理得：CA=3+9=90，
∴AC=
310
，
根据面积公式：CF•AB=
∴EF=
10
．
222
1
AC•EF，
2

考点：等腰三角形的判定；勾股定理；三角形面积公式．
26．（1）AC的长度约为8米；（2）货物MNQP不应挪走．

【解析】
试题分析：（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个 直角三角形的公共直角边，进而在
Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）通过解直角三角形 ，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值
是否大于2米即可．
解：（1）如图，
在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8．
即新传送带AC的长度约为8米；
（2）结论：货物MNQP不用挪走． （5分）
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos 45°=4
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2
∴CB=CD﹣BD=2﹣4≈0 .9．
．
×=4．
×=4．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2，
∴货物MNQP不应挪走．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
27．a+b=c
【解析】
试题分析：通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理．
解：图中图形的面积=4×ab+（b﹣a），
则c=4×ab+（b﹣a）．
整理得：a+b=c．
考点：勾股定理的证明．
28．
222
22
2
222
23
．
3
【解析】

试题分析：“有趣中线”分三种情 况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三
顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情 况有趣中线为1．但是不符合较短的一条直
角边边长为1，只能为另一条直角边上的中线，利用勾股定理 求出即可．
试题解析：“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题
意；
若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；
若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，

设BD=2x，则CD=x，
在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD=BC+CD，即（2x）=1+x，
解得：x=
222222
3
，
3
23

3
则△ABC的“有趣中线”的长等于