一千零一个愿望简谱-人中深

数学人教八年级下第十八章勾股定理单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )．
A．6,7,8 B．5,6,7 C．4,5,6 D．3,4,5
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为( )．
A．12 B．24 C．28 D．30
3．如图，在正方形网格中，每个小 正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为
有理数的边数为( )．

A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC
沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )．
[来源:]
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论错误的是( )．
A．△ABC是直角三角形，且∠B＝90°
B．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
C．△ABC是直角三角形，且AC是它的斜边
D．△ABC的面积为60
6．下列命题的逆命题是真命题的是( )．
A．若a＝b，则|a|＝|b| B．全等三角形的周长相等
C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
22
7．三角形的三边a，b，c满足(a＋b)－c＝2ab，则此三角形是( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．如图所示， 直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的
面积为( )．

A．4 B．6 C．16 D．55
[来源数理化网]

二、填空题(每小题4分，共20分)
9．如图，一棵树在离地面3米处断裂，树的顶部落在 离底部4米处，树折断之前有

__________米高．

10． 命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是
__________，它是 __________命题．
11．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′ 处，点A落在点A′
处．若AE＝a，AB＝b，BF＝c，请写出a，b，c之间的一个等量关系为_ _________．

12．在同一地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树 相距5米，一只小鸟
从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少飞了________米．
13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B
是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台
阶面爬 到B点的最短路程是__________dm.

三、解答题(共56分)
14 ．(本小题满分10分)如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向
上取一个点C， 测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．

15．(本小题满分1 0分)为了减少交通事故的发生，“中华人民共和国道路交通管理条
例”规定：小汽车在城市街道上行驶 速度不得超过70 kmh.如图，一辆小汽车在一条由东
向西的城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行 驶到路边车速监测仪的正前方30 m处，过了
2 s后，测得小汽车与车速监测仪的距离为50 m，问这辆小汽车超速了吗？

16．(本小题满分12分)如图所示，在正方形ABCD中 ，M为AB的中点，N为AD上的

一点，且AN＝
1
AD，试猜测△C MN是什么三角形，请证明你的结论．
4

17．(本小题满分12分)[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明 方法，我国汉代数学家赵爽根据弦
图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”( 勾股定理)带到其他
星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
图1





图2

[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b 为高的直角梯形(如
图2)，请你利用图2，验证勾股定理．
[知识拓展]
利用图2中的直角梯形，我们可以证明
ab
2
.其证明步骤如下：
c
∵BC＝a＋b，AD＝__________，
又∵在直角梯形ABCD中有B C__________AD(填大小关系)，即__________，
∴
ab
2
.
c
18．(本小题满分12分)如图，正 方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方
形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小 方格顶点上．

(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；
②正方形ABCD的面积．
(2)设MB＝a，BQ＝b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证
[来源:]

已学过的哪一个数学公式或定理吗？

参考答案
1. 答案：D
2. 答案：B 设a＝3x(x＞0)，则b＝4x.根据勾股定理，得( 3x)
2
＋(4x)
2
＝10
2
.求得△ABC
的 两直角边的长分别为6和8，其面积为24.
3. 答案：B 由勾股定理，得AB＝
52
1
2
26
，BC＝
3
2
2
2
13
，AC＝
3
2
4
2
＝5.由此可以看出， 只有AC的长度是有理数．
4. 答案：B 由勾股定理得，AB＝
在Rt△DEB中，DE
2
＋BE
2
＝DB
2
，
即x
2
＋4
2
＝(8－x)
2
，解得x＝3.故CD＝3 cm.
5. 答案：B 因为AB
2
＋BC
2
＝8
2
＋15
2< br>＝17
2
＝AC
2
，所以△ABC是直角三角形，且AC
为斜 边，AC所对的角∠B＝90°，△ABC的面积＝
AC
2
BC
2
＝10 cm，由折叠知AC＝AE＝6
cm，设CD＝DE＝x cm，则BE＝AB－AE＝4 cm，DB＝(8－x) cm.
1
AB·BC＝60，无法推出∠A＝60°.
2
6. 答案：D A的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b.假命题；B的逆命题是周长相 等的三角
形是全等三角形．假命题；C的逆命题是若ab＝0，则a＝0.假命题；D的逆命题是等腰三
角形的其中两边相等．真命题．
7. 答案：B (a＋b)
2
－c
2
＝2ab，则a
2
＋b
2
＋2ab－c
2
＝2 ab，
即a
2
＋b
2
＝c
2
，此三角形是直角三 角形．
[来源:]

8. 答案：C 由题意易得图形中的两个直角三角形是全等的．
所以由勾股定理可得S
b
＝S
a
＋S
c
＝5＋11 ＝16.
9. 答案：8
10. 答案：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半 ，那么这条直角边所对
[来源数理化网]
的角等于30° 真 把题中的结论作为条件，把条件作为结论，可知此命题为真命题．
11. 答案：c
2
＝a
2
＋b
2
在Rt△A′B′E中，A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b，
BF＝B′F＝B′E＝c，∴c
2
＝a
2
＋b
2
.
12. 答案：
41

13. 答案：25 如图，由题意知AC＝20，BC＝15，则AB ＝
AC
2
BC
2
＝25.

所以最短路程是25 dm.
14. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝
答：A，B两点间的距离是30 m.
15. 解：小汽车超速了．
理由：由勾股定理，得BC＝
AC
2
BC
2
50
2
40
2
＝30(m)．
AB
2
AC
2
50
2
30
2
＝40，

所以小汽车的速度是40÷2＝20(ms)．
因为20 ms＝72 kmh＞70 kmh，
所以小汽车超速了．
16. 解：猜想△CMN是直角三角形．
设正方形ABCD的边长为4a，
则AM＝2a，AN＝a，DN＝3a.
在Rt△AMN中
由勾股定理得，MN
2
＝5a
2
.同理 可得CN
2
＝25a
2
，
CM
2
＝20a
2
.
所以MN
2
＋CM
2
＝CN
2
.
所以△CMN是直角三角形．
17. 解：[定理表述]
如果直角三角形的两直角 边长分别为a，b，斜边长为c，那么a
2
＋b
2
＝c
2
.
[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∠EDC＋∠DEC＝90° ，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°.
∴∠AED＝90°.
∵S
梯形< br>ABCD
＝S
Rt
△
ABE
＋S
Rt
△DEC
＋S
Rt
△
AED
，
∴
1111
(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c
2
.
2222
整理，得a
2
＋b
2
＝c
2
.
[知识拓展]
2c
＜ a＋b＜
2c

11
18. 解：(1)①S
△
ABQ
＝AQ·BQ＝×3×4＝6，
22
11
S
△
BCM
＝BM·CM＝×3×4＝6，
22
11
S
△
CDN
＝CN·DN＝×3×4＝6，
22
11
S
△
ADP
＝DP·AP＝×3×4＝6. 22
②S
正方形
ABCD
＝S
正方形
MNPQ
－S
△
ABQ
－S
△
BCM
－S
△
CDN
－S
△
ADP
＝7
2
－6－6－6－6＝25.
(2)验证了勾股定理，证明过程如下：
设AB＝c，
S
－
正方 形
ABCD
＝S
正方形
MNPQ
－S
△
ABQ－S
△
BCM
－S
△
CDN
－S
△
A DP
，即c
2
＝(a＋b)
2
－
11
ab－ab< br>22
11
ab－ab，
22
∴c
2
＝a
2
＋b
2
，
即直角三角形中两直角边长的平方和等于斜边长的平方．

期末检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2016·临夏州)下列根式中是最简二次根式的是( B )
2
A. B.3 C.9 D.12
3
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是( B )
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，23
x＋4
3．(2016·黄冈)在函数y＝中，自变量x的取值范围是( C )
x
A．
x
＞0 B．
x
≥－4 C．
x
≥－4且
x
≠0 D．
x
＞0且
x
≠－1
4．(2016·来宾)下列计算正确的是( B )
3
2
A.5－3＝2 B．35×23＝615 C．(22)＝16 D.＝1
3
5．(2016·眉山)随 着智能手机的普及，抢微信红包成为了春节期间人们最喜欢的活动
之一．某中学九年级(5)班班长对全 班50名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并
绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额 的众数和中位数分别是( C )
A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，30
,
第5题图)
,
第7题图)
6．一次函数y＝mx＋n与y＝mnx(mn≠0)，在同一平面直角坐标系的图象是( C )
7．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5
m
的墙上，任何东西
只要移至该灯5
m
及5
m
以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5
m
的学生要走到离墙
多远的地方灯刚好发光？( A )
A．4米 B．3米 C．5米 D．7米
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O ，DH⊥AB于H，连接OH，∠
DHO＝20°，则∠CAD的度数是( A )
A．20° B．25° C．30° D．40°

,
第8题图)
图)
,
第9题

9．如图，平行四边形ABCD的周长是26
cm
，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是
BC中点，△AOD的周长比△ AOB的周长多3
cm
，则AE的长度为( B )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
10．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一 次停产更换设备，之后乙
组的工作效率是原来的1.2倍，甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每2 00件装一箱，
零件装箱的时间忽略不计，两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(小时)的函数图 象如
图，以下说法错误的是( D )
A．甲组加工零件数量
y
与时间x
的关系式为
y
甲
＝40
x

B．乙组加工零件总量
m
＝280
1
C．经过2小时恰好装满第1箱
2
3
D．经过4小时恰好装满第2箱
4
二、填空题(每小题3分，共24分)
2
11．在数轴上表示实数a的点 如图所示，化简（a－5）＋|a－2|的结果为__3__．

12．(2016·烟台) 如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰
△ABC，连接OC，以O为圆 心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__7
__．

,
第12题图)
,
第17题
图)
,
第18题图)
13．把直线y＝x－1向下平移后过点(3，－2)，则平移后所 得直线的解析式为__y＝x
－5__．
14．某校八(3)班的四个小组中，每个小组同学 的平均身高大致相同，若第一小组同学
身高的方差为1.7，第二小组同学身高的方差为1.9，第三小 组同学身高的方差为2.3，第
四小组同学身高的方差为2.0，则在这四个小组中身高最整齐的是第_ _一__小组．
15．(2016·荆州)若点M(k－1，k＋1)关于y轴的对称点在第四象限内 ，则一次函数y
＝(k－1)x＋k的图象不经过第__一__象限．

16．如图，在矩形ABCD中，BC＝20
cm
，点P和点Q分别从点 B和点D出发，按逆时针
方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3
cm

s
和2
cm

s
，则最快__4__ s后，
四边形
ABPQ
成为矩形．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，
1
使CD＝BD，连接DM，DN ，MN.若AB＝6，则DN＝__3__．
3
18．(2016·玉林)如图，已知正方形 ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列
结论：①∠1＝∠2＝22.5°；②点 C到EF的距离是2－1；③△ECF的周长为2；④BE＋DF
＞EF.其中正确的结论是__①②③ __．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题(共66分)
x111
19．(6 分)(2016·锦州)先化简，再求值：
2
÷(1＋)，其中x＝32－3
x－1x －122
0
－(π－3).
12
解：原式＝，x＝－1，代入得原式＝2
x＋12






20．(6分)如 图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格
点，以格点为顶点分别按下列要求 画三角形．
(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图③中，画一个正方形，使它的面积是10.

解：如图：

21．(6分)如图将一根15
cm
长的细木棒放入长宽高分别为4
cm
，3
cm
和12
cm
的长
方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？

22
解：由题意知盒子底面对角线长为3＋4＝5(cm)，盒子的 对角线长为5＋12＝
13(cm)，细木棒长15 cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是15－13＝2(cm)




22．(8分)某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10
个 班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25.
(1)这组数据的众数为__23__，中位数为__24__；
(2)计算这10个班次乘车人数的平均数；
(3)如果16路车在高峰时段从总站共出车6 0个班次，根据上面的计算结果，估计在高
峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少？
解：(2)平均数是23 (3)60×23＝1380(人)，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的
乘客共有1380人


23．(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点为 A(－
4
3，0)，与y轴交点为B，且与正比例函数y＝x的图象交于点 C(m，4)．
3
(1)求m的值及一次函数 y＝kx＋b的解析式；
(2)若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标．
22

2
解：(1)m＝3，y＝x＋2 (2)点P 的坐标为(0，6)或(0，－2)
3









24．(9分)(2016·梅州)如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F 分别是
AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ ODF.又∵∠BOE＝∠
DOF，BE＝DF，∴△OBE≌△ODF(AAS)，∴BO＝DO ( 2)∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠
GFD＝90°.∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝4 5°，∴AE＝GE，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝
90°，∴∠GOD＝∠G＝45°，∴ DG＝DO，∴OF＝FG＝1，由(1)可知，OE＝OF＝1，∴GE＝
OE＋OF＋FG＝3，∴ AE＝3




25．(10分)(2016·十堰)如图，将 矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段
AD上，且折痕分别与边BC，AD相交， 设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别
与边BC，AD相交于点E，F.
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．
解：(1)四边形CEGF为菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠
FEC，∵图形翻折后点G与点C重合 ，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠FEG，∴GF
＝GE，∵图形翻折后EC与G E，FC与FG完全重合，∴GE＝EC，GF＝FC，∴GF＝GE＝EC＝
FC，∴四边形CEGF 为菱形 (2)当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD＝DG，
∠CDE＝∠GDE＝4 5°，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到CE＝CD＝AB＝
22
3；当G 与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE，∵∠B＝90°，∴AE＝AB＋
2222< br>BE，即CE＝3＋(9－CE)，∴CE＝5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5




26．(12分)(2016·齐齐哈尔)有一科技小组进行了机器人 行走性能试验，在试验场地
有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两 点同时同向出
发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米分的速度行走，如图是甲、乙两机器
人之间的距离y(米)与他们的行走时间x(分钟)之间的函数图象，请结合图象，回答下列问
题：
(1)A，B两点之间的距离是__70__米，甲机器人前2分钟的速度为__95__米分；
(2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段
EF
所在直线的函数解析式；
(3)若线段
FG
∥
x
轴，则此段时间，甲机器人的速度为__60__米 分；
(4)求
A
，
C
两点之间的距离；
(5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米．

解：(2)y＝35x－70 (4)A，C两点之间的距离为70＋60×7＝490(米) (5) 设两机器
人出发x分钟相距28米，前2分钟，由题意得60x＋70－95x＝28，解得x＝1.2 ；2分钟～
3分钟，由题意得35x－70＝28，解得x＝2.8；4分钟～7分钟，直线GH经过点 (4，35)和
点(7，0)，可求当y＝28时，x＝4.6.综上可知，两机器人出发1.2分或2 .8分或4.6分时
相距28米