勾股定理的逆定理_习题训练(含答案)
赵本山小品剧本-篮球世界杯2019赛程
启 智 教 育
Education intelligently
快 乐 学 习
健 康 成 长
勾股定理的逆定理
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10
cm，∠D=120°，
则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.
图18－2－4 图18－2－5
图18－2－6
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S<
br>1
、S
2
、S
3
，且S
1
=4，S
2
=8，则
AB的长为_________.
4.如图18－2－6，已知正方形A
BCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=
判断△EFC的形状.
5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为
直角，工人师傅量得零件各边
尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 ,
BC=13，这个零件符合要求吗？
1
AD，试
4
图18－2－7
6.已知△ABC的三边分别为k
2
－1，2
k，k
2
+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.
细
节
决
定
未
来
- 1 -
启 智 教 育
Education intelligently
快 乐 学 习
健 康 成 长
二、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A
1
B
1
C
1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A
1
B
1
C
1
是直角三角
形吗？为什么？
8.已知：如图1
8－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD
2
=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.
图18－2－8
9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1
），B（2，4），△OAB是
直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.
图18－2－9
10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a
2<
br>c
2
－b
2
c
2
=a
4
－b
4
，试判断△ABC的形状.
解：∵a
2
c
2
－b2
c
2
=a
4
－b
4
，(A)∴c
2
(a
2
－b
2
)=(a
2
+b
2
)(a
2
－b
2
)，(B)∴c
2
=a
2
+b
2
，（C)∴△ABC是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；
②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a
2
+b2
+c
2
+338=10a+24b+26c.试判断
△ABC的形状.
细
节
决
定
未
来
- 2 -
启 智 教 育
Education intelligently
快 乐 学 习
健 康 成 长
12.已知：如图18－2
－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.
图18－2－10
细
节
决
定
未
来
- 3 -
启 智 教 育
Education intelligently
快 乐 学 习
健 康 成 长
参考答案
一、基础·巩固
1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是
直角或两锐角互余；②两边的
平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.
由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.
答案：D
2.解：过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，
∴AB=DE.
∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.
根据勾股定
理的逆定理得，DE=
10
2
5
2
53
cm.
∴AB=
10
2
5
2
53
cm.
3.思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC
2
+AC
2
=AB
2
,即S
1
+S
2
=S
3
，所以S
3=12，因为S
3
=AB
2
,所以
AB=
S
3
1223
.
答案：
23
4.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
解：∵E为AB中点，∴BE=2.
∴CE
2
=BE
2
+
BC
2
=2
2
+4
2
=20.
同理可求得,EF
2
=AE
2
+AF
2
=2
2
+1
2
=5,CF
2
=DF
2
+CD
2
=3
2
+4
2
=25.
∵CE
2
+EF
2
=CF
2
,
∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.
5.分析：要检验这个零件是否符合要求，只
要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定
理的逆定理就可派上用场了.
解：在△ABD中，AB
2
+AD
2
=3
2
+4
2
=9+16=25=BD
2
，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.
在△BDC中,
BD
2
+DC
2
=5
2
+12
2
=25+144=169=13
2
=BC
2
.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.
细
节
决
定
未
来
- 4 -
启 智 教 育
Education intelligently
快 乐 学 习
健 康 成 长
因此这个零件符合要求.
6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.
证明：∵k
2
+1>k
2
－1,k
2
+1－2k=(k－1)
2
>0,即k
2
+1>2k，∴k
2
+1是最长边.
∵(
k
2
－1)
2
+(2k)
2
=k
4
－2k
2
+1+4k
2
=k
4
+2k
2
+1=(
k
2
+1)
2
,
∴△ABC是直角三角形.
二、综合·应用
7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到
的三角形还是直角三角形（例
2已证）.
8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.
证明：∵AC
2
=AD
2
+CD
2
，BC
2
=CD
2<
br>+BD
2
，
∴AC
2
+BC
2
=AD2
+2CD
2
+BD
2
=AD
2
+2AD·BD+BD
2
=（AD+BD）
2
=AB
2
.
∴△ABC是直角三角形.
9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、
OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断
△OAB是否是直角三角形即可.
解：∵ OA<
br>2
=OA
1
2
+A
1
A
2
=32
+1
2
=10,
OB
2
=OB
1
2
+B
1
B
2
=2
2
+4
2
=2
0,
AB
2
=AC
2
+BC
2
=1
2<
br>+3
2
=10,
∴OA
2
+AB
2
=OB
2
.
∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.
10.思路分析：做这种类型的题目，首先要
认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可
能等于b这一条件，从而得出的结论不全面
.
答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是
等腰三角形或
直角三角形.
11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非
负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用
勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角
形.
解：由已知可得a
2
－10a+25+b
2
－24b+144
+c
2
－26c+169=0,
配方并化简得,(a－5)
2
+(
b－12)
2
+(c－13)
2
=0.
∵(a－5)
2<
br>≥0,(b－12)
2
≥0,(c－13)
2
≥0.
细
节
决
定
未
来
- 5 -
启 智 教 育
Education intelligently
快 乐 学 习
健 康 成 长
∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.
解得a=5,b=12,c=13.
又∵a
2
+b
2
=169=c
2
,
∴△ABC是直角三角形.
12.思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； (2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△
DEC为直角三角形，
DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.
解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,
∴DE=AB=4，BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE<
br>2
+CE
2
=3
2
+4
2
=25=CD2
,
∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.
在△BDA中AD
2
+AB
2
=3
2
+4
2
=25=BD
2
,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为S
△BDA
=
11<
br>×3×4=6;S
△DBC
=×6×4=12.
22
∴S
四
边形
ABCD
=S
△BDA
+S
△DBC
=6+12=18
.
细
节
决
定
未
来
- 6 -