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勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能
一、本章知识容归纳
1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：
①直角三角形直角边上的两个形的面积之和等于斜边上的形的面积.
②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.
从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：
①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③ 作长为
n
的线段。（利用勾股定理探究长度为
2,3,
……的无理数线段的几 何
作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深
对无理数概 念的认识。）
2、勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三 角形与直角三角形全等，达
到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转 化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注
意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：
①首先确定最大的边（如
c
）
专业资料

.
②验证
ab
与
c
是否具有相等关系：
若
a bc
，则△
ABC
是以∠
C
为90°的直角三角形。
若
abc
，则△
ABC
不是直角三角形。
222
222
22
2
补充知识：
222222
当
abc
时，则是锐角三角形；当
abc
时，则是钝角三角形。 （4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，
10； 8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律：
①
②
③
丢番图发现的：式子
mn,2mn,mn(mn
的正整数）
毕达哥 拉斯发现的：
2n1,2n2n,2n2n1
（
n1
的整数）
柏拉图发现的：
2n,n1,n1
（
n1
的整数）
22
22
2222
3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系
（1）注意分清应用条件：
勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的 关系来判断一个
角是否为直角。
（2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只 要求根据例子了解即
可，不必专门训练.
二、本章解题技能归纳
1、直角三角形的性质与判定小结
（1）直角三角形的性质：
专业资料

.
角的关系：直角三角形两锐角互余。
边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直 角边的平方和等于斜边
的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
双垂图：双垂图中的线段关系。
（2）直角三角形的判定：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长
设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ，由勾股定理知道：
a
2
b
2
c
2
。变形得：
a
因此已知直角三角形的任意两边，
c
2
b
2
,bc
2
a
2
,ca
2
b
2，
利用勾股定理可求出第三条边。
3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边
（1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：
3:2
。
（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：
1:1:2
。
（3）等边三 角形的边长为
a
，则高为
3a3
2
a
。
，面积为
24
三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”
（1）
C
如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆
S2
S1
专业资料
AS3B

.
C
的面积S1,S2,S3有什么关系？
答：
AB



（2 ）如图：∠C=90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直
径作三个 半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为
勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型
一、基础练习（要求熟练掌握
） 1、在Δ
ABC
中，
a
,
b
,
c
为三 边长.
(1)当∠
A
=90°时，三边关系 .
(2)当∠
C
=90°时，三边关系 .
(3)当
acb
时， =90°.
2、如图，在Rt △
ABC
中，∠
C
=90°，
BC=a,AC=b,AB=c
.
（1） 已知
a
=5,
b
=12,则
c
= ;
（2） 已知
b
=6,
c
=10, 则
a
=
（3） 已知
a
=2,
c
=
5
,则
b
= ；
（4） 已知
a
=15,b=20, 则△
ABC
的周长= ；
（5） 已知
a
=2,
c
=2.5, 则△
ABC
的面积= ；
（6） 已知
a
:
c
=3:5,
a
+
c
=32, 则
b
=
专业资料
222
B
a
c
C
b
A

.
（7） 已知
c
=10,
a
:
b
=3:4, 则
a
= ,
b
= ，斜边上的高= 。
3、已知△
ABC
是直角三角形，
AC< br>=3，
BC
=5， 求
AB
的长。






4、在△
ABC
中，∠
C
=90°，
AB
=20。
（1）若∠
B=
45°，求
BC、AC
。（2）若∠
A=60°，求
BC、AC
。







5、求下列图中未知数
x、y、z
的值：
x=
144
81
x
1 44
y
z
625
576
y=
169
专业资料

.
z=



二、与其它章节知识的联系

6、在△
ABC
的三边 < br>a,b,c
，且
acbcab
，判断△
ABC
的形状。
222244






7、若△ABC
的三边
a,b,c
满足条件
a

b
< br>c

338

10a

24b

2 6c
，判断
222
△
ABC
的形状。






专业资料

.
8、△
ABC
的三边
a,b,c
，满足
a
< br>b

100

12b

16a,c
边的长是
22
2x5
的解，求△
ABC
中最大角的度数。
3
x5x5









9、用本章学过的知识判断直线
y3x3
与
y







10、在
B
港有甲、乙两艘渔 船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前
专业资料
1

x
3
的位置关系，说明理由。
3

.
进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到
M
岛 ，乙船到
P
岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？






11、为美化环境，计划在某小区用30平方米的草皮铺设 一边长为10米的等腰三角
形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。









12、如图，铁路上
A、B
两站（视为直线上两点）相距25
专业资料

.
千米，
C、 D
为两个村庄（视为两个点），
DA
⊥
AB
于
A，CB⊥
AB
于
B，DA
=15
千米，
CB
=10 千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得
C、D
两村到
E
的的距离 相等，则
E
应建在距
A
多少千米处？









13、在河
L
的同 侧有两个仓库
A、B
相距1640米，其中
A
距河210米，
B距河570
米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最
短路程是多少？码头应建在何处？




三、典型数学思想、方法的训练
专业资料

.
(一)方程思想进行计算
14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形 ，他用尺子量了一下，
其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短1厘米，请你帮助小明判
断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？





15、已知△
ABC
中，∠
C
=90°，
D、E
分 别为
BC、AC
的中点，
AD
=5，
BE
=
21 0
，
求
AB
的长.






16、有一个水池，水面是一个边长为10尺的形，在水池正中央有一根芦苇，它高
出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。
这个水池的深度与这 根芦苇的长度分别为多少？
专业资料

.








17、如 图所示．已知：在形
ABCD
中，∠
BAC
的平分线交
BC
于
E
，
D
C
F
E
FG
2
作EF
⊥
AC
于
F
，作
FG
⊥
AB于
G
．求的值．
2
AB






(二)构造直角三角形
18、已知△
ABC
中，< br>AB
=8，
AC
=7，
BC
=6，求△
ABC
的面积。

A
G
B
专业资料

.



19、已知△
ABC
中，∠
B
=30°，∠
C
=45°，
AB－AC
=2-
2
，求
BC
的长。






20、已知：如图，
AB＝AC
＝20，
BC
＝32，
D
为
BC
边上一点，∠
DAC
＝90°．求
BD
的长 ．






21、（1）写出三种用“构造 斜边长为
7
的直角三角形的方法”作长为
7
的线段
的方案。
专业资料

.






（2）能否通过“构造直角边长为
7
的直角三角形的方法” 来作长为
7
的线
段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。





（3）在（1）中，作长为
7
的线段，往 往需要先作出其它长为无理数的线段才能
求出长为
7
的线段，对于正整数
k< br>，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形
求出作长为
k
的线段？若能，请写 出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说
明理由。



专业资料

.



(三)勾股定理与变换
22、已知矩形
ABCD
沿 直线
BD
折叠，使点
C
落在同一平面
C
'
处，BC
'
与
AD
交
于点
E，AD=
8，
AB
=4，求
DE
的长。









23、（2004年荆州中考）一个直立的火柴盒在桌面上 倒下，启迪人们发现了勾股
定理的一种证明方法。如图，火柴盒的一个侧面
ABCD
倒 下到
ABCD
的位置，连
'''
C'
A
E
D
B
C
结
CC
，设
ABa,BCb,ACc
，请利用 四边形
BCCD
的面积证明勾股定理。

'
''
C'

专业资料
D
B'
C
D'
A
B

.







24、△
A BC
中
,CD
是
AB
边上的中线，
AC
=8，BC
=6，
CD
=5，判断△
ABC
的形状。









(四)面积法:
25、设
h
1
,h
2
,h
3
(

)


表示三角形的三条高，如果
(

)



1
，那么这个三角形
h1
h
2
2
h
1
h
3
2
是什么 三角形？
专业资料

.






26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。






0
），
C
(0,－3)，
0），
B
（
3，
27、已知：平面直角坐标系
xOy
，点
A
（
33，
（1）判断
ABC
的形状并说明理由； < br>（2）若点
D
的坐标为
(3,4)
，求
BCD
中
CD
边上的高
h
的值.




专业资料

.


28.如图，已知直线
y
3
x
1
与
x
轴、
y
轴分别
3
交于点
A、B
,以线段
AB
为直角边在第一象限
作等腰RtΔ
ABC
, ∠
BAC
=90
O
,且< br>P
(1,
a
)为坐标系中
的一个动点.
(1)求Δ
ABC
的面积
S
ABC
；
(2)证明不论
a
取任何实数，Δ
BOP
的面积是一个常数； (3)要使得Δ
ABC
和Δ
ABP
的面积相等，数
a
的 值.










专业资料

.



(五)代数计算证明几何问题:
29、求证：直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．








30、如图△
A BC
中，∠
C
=90°，
M
是
CB
的中点，
MD
⊥
AB
于
D
，
A
请说明三条线段
AD、BD、AC
总能构成一个直角三角形。
D





专业资料
CMB

.
31 、形
ABCD
的边长为4，
E
为
AB
中点，
AF< br>=
1
AD
，求证：
CE
⊥
EF
.
4










32、（1）已知：如图，
CD
⊥
AB
，
OA< br>＞
OB
，
求证：①
AC
2
BD
2
AD
2
BC
2
；
②
AC
2
BC
2
AD
2
BD
2
.






专业资料
BE
A
F
CD
C
A
O
B
D

.



（2）运用（1）的结论可以证明下列命题：
已知：如图，设
M
是△
ABC
部任意一点，
MD
⊥
AB
于
G
，
ME
⊥
BC
于
K< br>，
MF
⊥
CA
于
H，
BD=BE，CE=CF
，求证：
AD=AF；











(六)图形的割、补与拼图
33、已知：如图，四边形
ABCD
中，
AB
=3，
BC
=4，

CD
=5，
AD=5
2
，∠
B
=90°，求四边形
ABCD
的面积。
专业资料

.






34、一块四边形的草地
ABCD
,其中∠
A
=60°,
∠
B
=∠
D
=90°,
AB
=20m,
CD
=10m,求这块草地的面积.



第34题图




35、有十字形，它由五个全等的形组成，如图所示，你能把它切成三块，拼成一 个
长是宽的2倍的长方形吗？（先计算，再拼图）
备用图：


专业资料
第33题图

.








36、现 有一长为6.5，宽为2的纸片，请你将它分割成6块，再合并成一个形，要
求先画出分割线，再拼成形 并证明你的方法的正确性。






(七)运动、开放与探究
37、在△
ABC
中，设
BCa,ACb,B Ac,
当∠
C
=90°时，根据勾股定理有
a
2
b< br>2
c
2
；若△
ABC
不是直角三角形，请你类比勾股定理， 试猜想
a
2
b
2

与
c
的关系，并证明你的结论。
专业资料
2

.









38、如图，
M
是Rt△
ABC
斜边
AB
的中点，
P、Q
分别在
AC、BC
上，
PM
⊥
MQ
，
判断
PQ、AP与BQ
的数量关系并证明你的结论.








专业资料
C
Q
P
B
M
A

.


39、△
ABC
中，
AB=AC
=4，点
P
在
BC
边上运动，猜想
APPBPC
的值是否
2
随点
P
位置的变化而变化，并证明你的猜想.







40、已知：矩形ABCD．（四个角是直角）






① Ｐ为矩形一点（如图a），求证:
PAPCPBPD
;
② 探索P运动到AD边上(如图b）、矩形ABCD外(如图c）时，结论是否仍然成
专业资料
2222

.
立．



















专业资料

.

41、探索勾股数的规律：
观察下列各组数：（3，4，5）（5，12，13） （7，24，25）（9，40，41）……，
3
2
15
2
17
2
1
4,12,24K
222
可发现：，请你写出第k个数
组： .




四、格点问题(中考出现的较热门的新题型)
42．（2007中考）如图，在由24个边长 都为1的小正三角形的网格中，点
P
是
正六边形的一个顶点，以点
P
为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的
直角三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边 的长 ．

P



P


专业资料

.

备用图







P




43．在大小为4×4的形方格中，三个顶点都在单位小形 的顶点上的直角三角形共
有多少个？（全等的三角形只算一个）
P P

P



备用图：
专业资料

.









勾股定理单元测试


一、选择题
1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )
A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7
2.将直角三角形的各边都缩小或扩样的倍数后，得到的三角
形 ( )
A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形
专业资料

.
C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形
3.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高
为 ( )
A. 12cm B.

4、一架长250c m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯足距墙
底端70cm，如果梯子的顶端沿墙下滑40cm,那 么梯子的底端将
滑出( )
A.90cm B.150cm C.50cm D.80cm
二、填空题
5.如图,64、400分别为所在形的面积，则图中字母A所代表的形面
积是 _________ .
C. D.

6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高
为 .
7.已知甲往东走了4km，又往南走了3km，这时甲距出发
点 km.
8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长
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.
为 .
9.以直角三角形的三边为边向形外作形P、Q、K，若S
P
＝4，S
Q
＝9，
则S
k
＝ .


三、解答题
10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他
们在A地登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西
走了3千米，再折向北走了6千 米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝
藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？


11、如图：四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=3，AB=4，BC=12，< br>CD=13，求四边形ABCD的面积。
专业资料

.
D
A
B


12.已知:如图,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高.
C




13、如图折叠矩形ABCD的一边，点D落在BC边上的点F处，若AB=8，
BC=10， 求EC的长。
专业资料

.
A
D
E
B











F
C

14、 已知：如图，ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，∠EAF与BC
交于E、F两点，
222
∠EAF=45°，求证：
BECFEF
。
专业资料

.
A
B







E
F
C

15.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角 三角形，三边长
分别记为a、b、c，如图①.（1）拼图一：分别用4直角三角形纸片，拼
成 如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小形的面积之和
__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小形的面积，
用关系式表示为________ .、
（2）拼图二：用2直角三角形纸片拼成如图④的形状，移动这两直角三
角形纸片，将图 中的五边形
ABCDE
补成一个以
c
为边长的形，画出补后
的图形， .
（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，用
a、b
的关
专业资料

.
系式表图中最大的形与中间空白处的小形及八个直角三角形之间的面积
关系____ _______ .

b
a
b
a
b

a
A
E
a

c
b
b
b
D
C
a

a
a
B
b
①
②
b
③
④








答案：
1、D 2、C 3、C 4、D 5、336 6、
60
13
7、5 8、
34cm 9、13或5
10、10千米 11、24 12、8 13、3 14、略
15、（1）等于，
a
2
b
2
c
2
；
（2）
A
E
专业资料
D
C
B
a
b
⑤
b

.






（3）
(ab)
2
(ba)
2
2ab


专业资料