乍得首都-种植种什么赚钱

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勾股定理


第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得 分





一．选择题（共15小题）

1．在直角三角形中，有两边分别为3和4，则第三边是（ ）

A．1 B．5 C． D．5或

2．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长
为（ ）

A．20 B．22 C．24 D．26

3．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方
形的面积为（ ）


A．4 B．8 C．16 D．64

4．Rt△ABC中 ，斜边BC=2，则AB
2
+AC
2
+BC
2
的值为（ ）

A．8 B．4 C．6 D．无法计算

5．如图，在△ABC中，A D⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为
（ ）


A．11 B．10 C．9 D．8

6．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

7．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的
长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

试卷第1页，总9页

8．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上 铺
地毯，那么至少需要地毯（ ）


A．5m B．6m C．7m D．8m

9．如图，已知，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB=90°，AC=4m ，BC=3m，
则线段CD的长为（ ）


A．5m B． C． D．

10．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）

A．cm
2
B．2cm
2
C．3cm
2
D．4cm
2

11．直角三角形的一直角边长是12，斜边长是15，则另一直角边是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

12．如图，2×2的方格中，小正方形的边 长是1，点A、B、C都在格点上，
则AB边上的高长为（ ）


A． B． C． D．

13．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ）

A．1cm，2cm，3cm B．cm，cm，cm C．1cm，2cm，cm
D．2cm，3cm，4cm

14．将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

15．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）

A．a=1.5，b=2，c=2.5 B．a：b：c=3：4：5

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C．∠A+∠B=∠C

D．∠A：∠B：∠C=3：4：5

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第Ⅱ卷（非选择题）

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

评卷人

得 分





二．填空题（共13小题）

16．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角
三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm
2
，则其中 最大的正方形S
的边长为 cm．


17．如图，矩形ABCD中 ，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′
处，则重叠部分△AFC的面积为 ．


18．如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1
米，A点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离 （大于，小于或等于）
1米．


19．如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′= ．

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20．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，
若大正方形面积是9， 小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短
直角边为b，则ab的值是 ．


21．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽
的 《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的
一个大正方形（如图），如果大 正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（ a+b）
2
的值
为 ．


22．把两个全等的直 角三角形拼成如图图形，那么图中三角形面积之和与梯
形面积之间的关系用式子可表示为 ，整理后即为 ．


23．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：
三角形．

试卷第5页，总9页

24．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4cm，BC=3cm，AD=13 cm，CD=12cm，
则四边形ABCD的面积 cm
2
．


25．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 ．


26．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A 、B
两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cms，当点P
到达点B时 ，P、Q两点停止当t= 时，△PBQ是直角三角形．


27．如图，圆 柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm
的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂 蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相
对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm．


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28．一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处
爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） ．




评卷人

得 分





三．解答题（共5小题）

29．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯 AB=13m，梯子底端
离墙角的距离BO=5m．

（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；

（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C， 那么梯子的底部B在水平方向上滑
动的距离BD=4m吗？为什么？


30 ．如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子
露出杯子外1cm，当筷子倒 向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯
口，求筷子长度和杯子的高度．


31．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知
点C与公路上的停 靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离
为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了 安全起见，爆破点C周围半径250
米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要 暂时封
试卷第7页，总9页

锁？请通过计算进行说明．


32．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长
方体的 对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的
路线爬行，才能最 快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？


33．有两棵树，一棵高10米， 另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从
一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米 ？




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本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2018年01月08日you****irao的初中数学组卷

参考答案与试题解析



一．选择题（共15小题）

1．在直角三角形中，有两边分别为3和4，则第三边是（ ）

A．1 B．5 C． D．5或

【分析】因为题中没有指明两边都是直角边还是有一边是斜边，故应该分两< br>种情况进行分析，再利用勾股定理求解即可．

【解答】解：①当3，4分别是直角边时 ，则第三边=
②当3为直角边，4为斜边时，则第三边=
故选D．

【点评】此题主要考查勾股定理公式的变形：a=
c=


2．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长
为（ ）

A．20 B．22 C．24 D．26

【分析】先根据题意设出另外两直角边的长，再根据勾股定理列方程解答即
可．

【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），

根据勾股定理得：（x+2）
2
﹣x
2
=6
2
，

解得x=8，∴x+2=10，

∴周长为：6+8+10=24．

故选C．

【点评】本题需注意连续偶数应相隔2个数，主要利用了勾股定理进行解答．



3．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方
形的面积为（ ）

．

，b=及
=．

=5；

1

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

A．4 B．8 C．16 D．64

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方， 由正方形PQED的面积和正方
形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR 为直角三
角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．

【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，

∴即PQ
2
=225，

∵正方形PRGF的面积为289，

∴PR
2
=289，

又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR
2
=PQ
2
+QR
2
，

∴ QR
2
=PR
2
﹣PQ
2
=289﹣225=64，

则正方形QMNR的面积为64．

故选D．


【点 评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡
献就是沟通“数”与“形”的关系 ，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，
即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由 实际的问题，联
想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．



4．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB
2
+AC
2
+BC
2< br>的值为（ ）

A．8 B．4 C．6 D．无法计算

【分析】 利用勾股定理将AB
2
+AC
2
转化为BC
2
，再求值．< br>
【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，

∴AB
2
+AC
2
=BC
2
，

∴AB
2
+AC
2
+BC
2
=2BC
2
= 2×2
2
=8．

2

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
故选A．

【点评】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用
勾股定理得出等式是 解题的关键．



5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17 ，BD=15，DC=6，则AC的长为
（ ）


A．11 B．10 C．9 D．8

【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的长度；然后在直角△A CD
中，根据勾股定理来求线段AC的长度即可．

【解答】解：如图，∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

又∵AB=17，BD=15，DC=6，

∴在直角△ABD中，由勾股定理得到： AD
2
=AB
2
﹣BD
2
=64．

在直角△ACD中，由勾股定理得到：AC=
故选：B．

【点评】本题考查 了勾股定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条
直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．< br>


6．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

==10，即AC=10．

【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的
长度．
< br>【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，则根据勾股定理得：
6
2
+x
2
=10
2
；

解得：x=8，

故选C．

【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底
边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的
3

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
长度．



7．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的
长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】设另一条直角边为a，则 斜边为（a+2），再根据勾股定理求出a的
值即可．

【解答】解：另一条直角边为a，则斜边为（a+2）．

∵另一直角边长为6，

∴（a+2）
2
=a
2
+ 6
2
，解得a=8，

∴a+2=8+2=10．

故选：D．

【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意设出直角三角形的斜边及直角 边
的长是解答此题的关键．



8．如图所示：是一段楼梯，高B C是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺
地毯，那么至少需要地毯（ ）


A．5m B．6m C．7m D．8m

【分析】先根据直角三角形的性质求出A B的长，再根据楼梯高为BC的高
=3m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m

∴AB===4m，

∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7米．

故选C．

【点评】本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直
角三角形两直角边的 等量关系．



4

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
9．如图，已知， CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB=90°，AC=4m，BC=3m，
则线段CD的长为（ ）


A．5m B． C． D．

【分析】在Rt△ABC中， 由勾股定理可求得AB的长，进而可根据三角形面
积的不同表示方法求出CD的长．

【解答】解：Rt△ABC中，AC=4m，BC=3m；

由勾股定理，得：AB=
∵S
△
ABC
=AC•BC=AB•CD，

∴CD=
故选B．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形面积的不同表示方法．



10．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）

A．cm
2
B．2cm
2
C．3cm
2
D．4cm
2

=m；

=5m；

【分析】注意 三角形的面积的计算方法，首先要作出三角形的高，根据勾股
定理就可求出高的长，三角形的面积就很容 易求出．

【解答】解：作出三角形的高，则高是
×2×=cm
2
；故选A．

=，所以三角形的面积是
【点评】求高是关键，把三角形转化为解直角三角形问题就很易求出．



11．直角三角形的一直角边长是12，斜边长是15，则另一直角边是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【分析】根据勾股定理，直接代入即可求得结果．

【解答】解：∵直角三角形斜边的长是15，一条直角边长为12，

∴另一条直角边的长是
故选B．

=9．

5

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【点评】考查了勾股定理的运用，比较简单．



12．如图，2 ×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，
则AB边上的高长为（ ）


A． B． C． D．

【分析】根据小正方形的边长为1，利用勾股定 理求出AB，由正方形面积减
去三个直角三角形面积求出三角形ABC面积，利用面积法求出AB边上的 高
即可．

【解答】解：S
△
ABC
=2
2
﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2=，且S
△
ABC
=AB•CD，

∵AB==，

∴AB•CD=，

则CD==．

故选：A．


【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握 勾股定理是解
本题的关键．



13．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ）

A．1cm，2cm，3cm

B．cm，cm，cm C．1cm，2cm，cm
D．2cm，3cm，4cm

【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．

【解答】解：A、∵ 1
2
+2
2
≠3
2
，∴不能构成直角三角形；
< br>B、∵
2
+
2
≠
2
，∴不能构成直角三角形；

6

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C、∵1
2
+
2
=2
2
，∴能构成直角三角形；

D、∵2
2
+3
2
=≠4
2
，∴不能构成直角三角 形．

故选C．

【点评】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形 状，即只要三角
形的三边满足a
2
+b
2
=c
2
， 则此三角形是直角三角形．



14．将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就
可以求解．

【解答】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与
原三角形相似，因而 得到的三角形是直角三角形

故选A．

【点评】本题主要考查相似三角形的 判定以及性质，得出两三角形相似是解
题的关键，是基础题，难度不大．



15．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）

A．a=1.5，b=2，c=2.5 B．a：b：c=3：4：5

C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5

【分析】A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；

B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；

C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；

D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．

【解答】解：A、正 确，1.5
2
+2
2
=2.5
2
符合勾股定理的逆定理，故 成立；

B、正确，因为a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则 （3x）
2
+（4x）
2
=（5x）
2
，故为直角三角形；

C、正确，因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直 角三
角形；

D、错误，因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则 ∠B=4x，∠C=5x，
故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45° ，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，
故此三角形是锐角三角形．

故选D．

7

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【点评】此题考查 了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三
角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．< br>


二．填空题（共13小题）

16．如图所示的图形中 ，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49c m
2
，则其中最大的正方形S
的边长为 7 cm．


【 分析】根据题意可得，最大的正方形的面积为S=S
A
+S
B
+S
C
+S
D

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为S=S
A
+S
B
+S
C
+S
D
=64 cm
2
，则最大的正方形的边长为
故答案为：7．

【点评】勾股定 理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的
斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的 平方的几何意义就是以该边为
边的正方形的面积．



17．如图 ，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′
处，则重叠部分△AFC 的面积为 10 ．

=7cm．


【分析】因为BC为AF边上 的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△
AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F= x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，
∴AF=AB﹣BF．

【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，

∴D′F=BF，

设D′F=x，则AF=8﹣x，

在Rt△AFD′中，（8﹣x）
2=x
2
+4
2
，

8

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解之得：x=3，

∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，

∴S
△
AFC
=•AF•BC=10．

故答案为：10．

【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x， 根据直角三角形
AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．



18．如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1
米，A点也随着向下滑一 段距离，则下滑的距离 等于 （大于，小于或等
于）1米．


【分析】求 出AA′的长，即求出了A点下滑的距离．分别在Rt△OAB和Rt△
OA′B′由勾股定理求出OA 、OA′，AA′=OA﹣OA′，求出AA′后与1m比较大小即
可．

【解答】解：如上图所示：

在Rt△OAB中，OB=3，AB=5，由勾股定理得：

OA===4，

当向后移动1米，△OAB变为△OA′B′，此时OB′=3+1=4，A′B′=5，

在Rt△OA′B′中，由勾股定理得：

OA′===3，

AA′=OA﹣OA′=4﹣3=1，

所以，下滑的距离等于1m．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，勾股定理：两直角边的平方和等于
斜边的平方．



19．如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′= 13cm ．

9

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【分析】在本题中，连接BD，两次运用勾股定理即可解答即可．

【解答】解：连接BD，

则BD=
BD′=
=5cm，

=13cm．

故答案为：13cm．


【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是把立体图形转化为平面
图形解决．



20．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短
直角边为b，则ab的 值是 4 ．


【分析】大正方形面积减去小正方形面积，即为四个直角三角形面积 ，根据
题意求出ab的值即可．

【解答】解：根据题意得：1+2ab=9，

解得：ab=4，

故答案为：4

10

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【点评】此题考查了勾股定理的证明，弄清题中阴影部分面积求法是解本题
的关键．



21．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽
的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的
一个大正方形（如图 ），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
2
直角三角形较短的直角边为a，较长 的直角边为b，那么（a+b）的值为 49 ．


【分析】根据大正方形的面积即 可求得c
2
，利用勾股定理可以得到a
2
+b
2
=c
2
，
22
然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）=a+b< br>2
+2ab=c
2
+2ab
即可求解．

【解答】解：∵大正方形的面积是25，

∴c
2
=25，

∴a
2
+b
2
=c
2
=25，

∵直角三角形的面积是=6，

又∵直角三角形的面积是ab=6，

∴ab=12，

∴（a+b）
2
=a
2
+b2
+2ab=c
2
+2ab=25+2×12=49．

故答案是：49．

【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角 三角形的
面积是解题的关键．



22．把两个全等的直角三角形 拼成如图图形，那么图中三角形面积之和与梯
形面积之间的关系用式子可表示为
后即为 a
2
+b
2
=c
2
．

（a+b）（a+b）=ab×2+c
2
，整理

11

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【分析】梯形的面 积可用：（上底+下底）×高÷2表示，或用三个直角三角
形的面积和表示，整理可得a
2+b
2
=c
2
．

【解答】解：梯形面积：（a+b）（a+b）=ab×2+c
2
，

整理得：（a+b）
2
=2ab+c
2
，

a
2
+2ab+b
2
=2ab+c
2
，

a
2
+b
2
=c
2
，

故答案为 ：（a+b）（a+b）=ab×2+c
2
；a
2
+b
2
= c
2
．

【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，关键是掌握梯形的面积表示方法．



23．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是： 直
角 三角形．


【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长， 只要验证两小边的
平方和等于最长边的平方即可．

【解答】解：∵AC
2< br>=2
2
+3
2
=13，AB
2
=6
2
+4
2
=52，BC
2
=8
2
+1
2
= 65，

∴AC
2
+AB
2
=BC
2
，∴ △ABC是直角三角形．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角 三角形，
已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断．



24．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm，CD =12cm，
则四边形ABCD的面积 36 cm
2
．


【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理
求出AC的长，再由A D及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD
12

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为直角三角形，根 据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角
形ACD的面积，即可求出四边形的面积 ．

【解答】解：连接AC，如图所示：

∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，

又AB=4cm，BC=3cm，

∴根据勾股定理得：AC=
又AD=13cm，CD=12cm，

∴AD< br>2
=13
2
=169，CD
2
+AC
2
=1 2
2
+5
2
=144+25=169，

∴CD
2
+AC
2
=AD
2
，

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，

则S
四边形
ABC D
=S
△
ABC
+S
△
ACD
=AB•BC+AC •CD=×3×4+×12×5=36（cm
2
）．

故答案为：36．

=5（cm），


【点评】此题考查 了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆
定理是解本题的关键．



25．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 96 ．


【分析】先连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，可求出 AC；在△ABC中，
由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．

【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，

∴AC=
在△ABC中，

13
==10，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
∵AC
2
+BC
2
=10
2
+24
2
=26
2=AB
2
，

∴△ABC为直角三角形；

∴图形面积为：

S
△
ABC
﹣S
△
AC D
=×10×24﹣×6×8=96．

故答案为：96．

【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关
键是做出辅助线，构造 直角三角形，掌握勾股定理与逆定理．



26．已知：如图，△ABC是 边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B
两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的 速度都是1cms，当点P
到达点B时，P、Q两点停止当t= 1或2 时，△PBQ是直角三角形．


【分析】本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和 勾股定理来解答的数形
结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就
可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠
BQP=90° ．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行
求解即可．

【解答】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（3﹣t）cm，

△PBQ中，BP=3﹣t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则

∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

当∠BQP=90°时，BQ=BP，

14

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
即t=（3﹣t），t=1（秒），

当∠BPQ=90°时，BP=BQ，

3﹣t=t，t=2（秒）．

答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

故答案为：1或2．

【点评】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点 ．考查学生
数形结合的数学思想方法．



27．如图，圆柱形容 器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm
的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好 在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相
对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm．


【分析】将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段 最
短可知A′B的长度即为所求．

【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

在直角△A′DB中，由勾股定理得

A′B=
故答案为：20．

==20（cm）．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算 是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维
15

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
能力．



28．一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A 处
爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） 30cm ．


【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，
高就是圆柱的高，再根据勾股 定理就可以求出其值．

【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知 AB
最短．由题意，得

AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AB=
=
=30cm．

故答案为：30cm．




【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾
股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开式关键．



三．解答题（共5小题）

29．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯 AB=13m，梯子底端
离墙角的距离BO=5m．

（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；

（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C， 那么梯子的底部B在水平方向上滑
动的距离BD=4m吗？为什么？

16

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【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可；

（2）在梯子长 度不变的情况下，求出DO的长后减去BO的长求得BD即可
作出判断．

【解答】解：（1）∵AO⊥DO，

∴AO=
=
=12m，

∴梯子顶端距地面12m高；


，

，

（2）滑动不等于4m，

∵AC=4m，

∴OC=AO﹣AC=8m，

∴OD=
=
∴BD=OD﹣OB=
∴滑动不等于4m．

【 点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是在直角三角形中弄清直
角边和斜边．



30．如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子< br>露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯
口，求筷子长度和 杯子的高度．

，

，

，

17

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【分析 】设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为直径为
10cm的杯子，可根据勾股 定理列方程求解．

【解答】解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，

x
2
+5
2
=（x+1）
2
，

x
2
+25=x
2
+2x+1

x=12，

12+1=13cm．

答：杯高12cm，筷子长13cm．

【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的 关键是看到构成的直角三角形，
以及各边的长．



31．在甲村 至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知
点C与公路上的停靠站A的距离为300 米，与公路上的另一停靠站B的距离
为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周 围半径250
米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封
锁？请 通过计算进行说明．


【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC=400米，AC =300米，∠ACB=90°，利
用根据勾股定理有AB=500米．利用S
△
AB C
=AB•CD=BC•AC得到CD=240
米．再根据240米＜250米可以判断有危险 ．

【解答】解：公路AB需要暂时封锁．

理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．


18

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，

所以根据勾股定理有AB=500米．

因为S
△
ABC
=AB•CD=BC•AC

所以CD===240米．

由于240米＜250米，故有危险，

因此AB段公路需要暂时封锁．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是 构造直角三角形，以便
利用勾股定理．



32．如图，一只蜘蛛 在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长
方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5 cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的
路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘 米？


【分析】本题先把长方体展开，根据两点之间线段最短的性质，得出最短的< br>路线是AG，然后求出展开后的线段AC、CG的长，再根据勾股定理求出AG
即可．

【解答】解：（1）如图（2）当蚂蚁从A出发先到BF上再到点G时

∵AB=3cm，BC=5cm

∴AC=AB+BC=3+5=8cm

∵BF=6cm，

∴CG=BF=6cm

在Rt△ABG中

AG=

==10cm

（2）如图（1）当蚂蚁从A出发先到EF上再到点G时

∵BC=5cm，

∴FG=BC=5cm，

19

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∴BG=5+6=11cm

在Rt△ABG中

AG=

==，∵

∴第一种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm．


【点评】本题考查了两点之间线段最短的性质，以及对勾股定理的应用．



33．有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从
一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？


【分析】根据“两点之间线段最短” 可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞
行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．

【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，

小树高为CD=4m，

过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，

∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，

在Rt△AEC中，AC=
故小鸟至少飞行10m．

==10m，

20

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好
数学的关键．



21