八年级数学上册勾股定理单元综合测试题(含答案解析)
测量学-出自幽谷
第1章 勾股定理
一、填空：（每空4分，共计28分）
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为__________．
2．求如图中直角三角形中未知的长度：b=__________，c=__________．
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的边长为7cm，
则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm．
2
4．小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm
、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？
答：__________（填“能”、或“不能”）
5．已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为__________．
6．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=1
7．则四边形ABCD的面积为__________．
7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和
B是这个台阶上两个
相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬
行到点B的最短
路程为__________dm．
二、选择题（每题4分，共28分）
8．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为(
)
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
9．观察下列几组数据
：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能<
br>作为直角三角形三边长的有( )组．
A．1
10．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为( )
B．2
C．3 D．4
A．2
11．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( )
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
B．3 C．4 D．5
12．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(
)
A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a：b：c=1：2：3 D．a：b：c=3：4：5
13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为(
)
A．12 cm
14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
B．10 cm C．8 cm D．6 cm
222222
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
三、解答题：（每题11分，共计44分）
15．一棵树在离地面9米处断裂，树
的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画
图并解答）
16
．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km时的速
度
向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
17．如图所示，四边形ABCD中，AB
=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
18．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠
，使点
C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？
四、附加题
19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB
=39m，BC=36m，求这块地的面积．
20．如图，△ABC是直角三角
形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且
DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE+CF=EF；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
222
北师大新版八年级上册《第1章
勾股定理》2015年单元测试卷（广东省深圳市观澜二中）
一、填空：（每空4分，共计28分）
1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为7或25．
【考点】勾股定理．
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边
，从而分两种情况进行讨论解
答．
【解答】解：分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方=3+4=25；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=4﹣3=7．
故答案为：7或25．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于
斜
边长的平方是解答此题的关键．
2．求如图中直角三角形中未知的长度：b=12，c=10．
22
22
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：b=
c==10，
=12；
故答案为：12；10．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中
，两条直角边长的平方之和一定等
于斜边长的平方．
3．如图，所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，
则正方形A，B，C，D的
面积之和为49cm．
2
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的
面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形
的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm．
故答案为：49cm．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．
4．小明把一根70cm长的木棒放
到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？
答：能（填“能”、
或“不能”）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与
斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，
高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即
可．
【解答】解：能，理由如下：
可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x=50+40+30=5000，
70=4900，
2
2222
2
2
因为4900＜5000，
所以能放进去．
故答案为能．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．
5．已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为2.4cm．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为3cm，4cm，
∴斜边为=5cm，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为 ×3×4=×5h，h=2.4cm，
这个直角三角形斜边上的高为2.4cm．
故答案为：2.4cm．
【点评】本题
考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们
认真掌握．
6．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥DC，DC=5，CB=15，AB=1
7．则四边形ABCD的面积为99．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】作CE⊥AB于E，则四边形AECD是矩形，∠BEC=90°，得出AE=CD=5，BE=AB
﹣AE=12，由勾股
定理求出CE，即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：作CE⊥AB于E，如图所示：
则四边形AECD是矩形，∠BEC=90°，
∴AE=CD=5，
∴BE=AB﹣AE=17﹣5=12，
由勾股定理得：CE=
∵CD∥AB，
==9，
∴四边形ABCD的面积=（AB+CD）×CE=（17+5）×9=99；
故答案为：99．
【点评】本题考查了梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质
，熟练掌握梯形的性质，由勾股定理
求出梯形的高是解决问题的关键．
7．如图是
一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个
相
对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短
路程为
25dm．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x=20+[（2+3）×3]=25，
解得x=25．
故答案为25．
2222
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，
用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形
的长和宽即可解答．
二、选择题（每题4分，共28分）
8．Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为(
)
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角
形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解
答．
【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边==10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为×10=5cm．
故选D．
【点评】本题考查
了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解
题的关键．
9．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（
4）7，24，25．其中能
作为直角三角形三边长的有(
)组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析
】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三
角形判定则
可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：①8+15=17，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；
②7+12≠15，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
③12+15≠20，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
④7+24=25，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确．
故选B．
【点
评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关
系，确定
最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
10．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为( )
222
222
222
222
A．2 B．3 C．4
D．5
【考点】算术平方根．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得AC=
乘方，得（
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．
）=2，
2
，
11．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( )
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC=
故选A．
==12米．
【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．
12．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a：b：c=1：2：3 D．a：b：c=3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C
是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出
B是直角三角形；即可得出结果．
【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，3+4=5，
∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠C=90°，B是直角三角形；
∵a：b：c=1：2：3，
∴a+b=c，
∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；
222
222
222
222222
∵a：b：c=3：4：5，
∴a+b≠c，
∴三角形不是直角三角形；
故选：D
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角
形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内
角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．
13．若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为(
)
A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm
222
222
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．
【解答】解：如图：
由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，
作AD⊥BC于点D，则有DB=BC=8cm，
在Rt△ABD中，AD=
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定
理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底
边，及利用勾股定理直角三角形的边长．
14．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
=6cm．
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】根据勾股定
理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC=
AC=
AB=
=
=
=2，
，
，
在△ABC中，
∵BC+AC=52+13=65，AB=65，
∴BC+AC=AB，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点评】
考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足
a+b=c
，则三角形ABC是直角三角形．
三、解答题：（每题11分，共计44分）
1
5．一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画
图
并解答）
【考点】勾股定理的应用．
222
222
222
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
【解答】解：如图所示：
因为AB=9米，AC=12米，
根据勾股定理得BC==15米，
于是折断前树的高度是15+9=24米．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
<
br>16．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km时的速
度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，
∠ACB=90°，
则AB==5km．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．
17．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD
=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；
（2）利用勾股定理的
逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S
四边形ABCD
=S
△ABD
+
S
△BDC
，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠A=90°，
∴△ABD为直角三角形，
则BD=AB+AD=25，
解得：BD=5．
（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BD+CD=BC，
∴BD⊥CD，
222
222
故S
四边形ABCD
=S
△ABD
+S
△BDC
=AB×AD+BD×
DC=6+30=36．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时
，我们可以利用分解法，
将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．
1
8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使
点
C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】应用题；操作型．
【分析】由折叠的
性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由
两直线平行内错角
相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直
角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而
求出三角形BDF面积．
【解答】解：由折叠可得：△BDC≌△BDE，
∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠EBD，
∴FD=FB，
设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：x=（8﹣x）+6，
222
解得：x=，即FD=cm，
则S
△BDF
=FD•AB=cm．
2
【点评】此题考查了翻折变
换（折叠问题），涉及的知识有：折叠的性质，全等三角形的性质，平行线
的性质，等腰三角形的判定，
以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
四、附加题
19．如图所
示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】应用题．
【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，
此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，
AC=CD+AD=12+9=225，
∴AC=15，在△ABC中，AB=1521，
AC+BC=15+36=1521，
∴AB=AC+BC，
∴∠ACB=90°，
222
2222
2
22222
∴S
△ABC
﹣S
△ACD
=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×
9=270﹣54=216．
答：这块地的面积是216平方米．
【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．
20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别
是AB、AC边上的点，且
DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE+CF=EF；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）延长ED
至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，
∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；
222
（2）连
接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S
四
边形AEDF
=S
△ABC
，再
根据△DEF的面积=S
△ABC<
br>﹣S
△AEF
，即可解题．
【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，
∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF=FG，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG+CF=FG，
∴BE+CF=EF；
（2）解：连接AD，
222
222
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S
四边形AEDF
=S
△ABC
，
∴S
△AEF
=×5×12=30，
∴△DEF的面积=S
△ABC
﹣S
△AEF
=．
【点评
】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△
CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．
7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了
。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但
无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林
8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国
9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果
10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯
11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度