沪科版八年级下册第18章 勾股定理单元测试卷及答案
杨靖宇图片-堆的拼音
第18章 勾股定理 单元测试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1.以下列各组数据为边长的三角形中,是直角三角形的是( )
A.,,
B.5,4,8 C.,2,1 D.,3,
2.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的,斜边长为10,则它
的面积为( )
A.10 B.15 C.20 D.30
3.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若∠B=90°,则( )
A.b
2
=a
2
+c
2
B.c
2
+b
2
=a
2
C.a
2
+b
2
=c
2
D.a+b=c
4.如果将长为6 cm,宽为5
cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的
长不可能是( )
A.8 cm
B.5 cm C.5.5 cm D.1 cm
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A. B. C. D.
6.如图,每个小正方形的边长都为1,则△ABC的三边a,b,c的大小关系
是( )
A.a
第三边长为( )
A.3 B. C.3或 D.无法确定
8.三角形三边长分别是6,8,10,则它的最短边上的高为( )
A.6
B.14 C.2 D.8
9.如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分
别向外作等边三角形、
半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足
S
1
+S
2
=S
3
的图形个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,将长方形纸片
ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为
CE,且D点落在对角线上D'处.若AB=3,A
D=4,则ED的长为( )
A. B.3 C.1
D.
二、填空题(每题4分,共16分)
11.如图是八里河公园水上风情园一角的示意图
,A,B,C,D为四个养有
珍稀动物的小岛,连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达),如果黄芳同学想从A岛到C岛,则至少要经过________米.
1
2.三角形一边长为10,另两边长是方程x
2
-14x+48=0的两实根,则这是
一个________三角形,面积为________.
13.如图,四边形ABCD中,∠BA
D=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形
ABCD的面积是24
cm
2
,则AC的长是________.(有一组邻边相等的长
方形是正方形)
14.如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点
B(4,3),则这束光从
点A到点B所经过路径的长为__________.
三、解答题(15~22题每题8分,23题10分,共74分)
15.如图,在△ABC中
,AC=6,AB=8,BC=7,求△ABC的面积.(结果保留整
数)
16.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线
上,AB∥CF,∠F=∠
ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
17.如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如
下数
据:小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得
∠CAD=30°;小丽沿河岸向前
走30 m选取点B,并测得∠CBD=60°.请根
据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小
河的宽度.
18.龙梅和玉荣是好朋友,可是有一次经过一场争吵之后,两人不
欢而散.
龙梅的速度是0.5米秒,4分钟后她停了下来,觉得有点后悔了,玉荣走
的方向好像
是和龙梅成直角,她的速度是米秒,如果她和龙梅同时停
下来,而这时候她俩正好相距200米,那么她
们行走的方向是否成直角?
如果她们现在想讲和,那么以原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?
19.如图,将竖直放置的长方形砖块ABCD推倒至长方形A'B'C'D'的位
置,长方形ABCD的长和宽分别为a,b,AC的长为c.
(1)你能用只含a,b的代数式表示S
△
ABC
,S
△
C'A'D'
和S
直角梯形
A'D'BA
吗?能用只
含c的代数式表示S
△
ACA'
吗?
(2)利用(1)的结论,你能验证勾股定理吗?
20.如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知
点C周围200
m范围内为原始森林保护区,在MN上的点A处测得C
在A的北偏东45°方向上,从A向东走600
m到达B处,测得C在点B
的北偏西60°方向上.
(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据:≈1.732)
(2)若修路工
程顺利进行,要使修路工程比原计划提前5天完成,需将原
定的工作效率提高25%,则原计划完成这项
工程需要多少天?
21.如图,两个村子A,B在河的同侧,A,B两村到河边的距离分别为AC=1
km,BD=3 km,CD=3
km.现需在河边CD上建造一水厂向A,B两村送水,
铺设水管的工程费用约为每千米20
000元,请在河边CD上选择水厂的
位置O,使铺设水管的费用最少,并求铺设水管的费用.
22.如图,将长方形OABC置于平面直角坐标系中
,点A的坐标为(0,4),
点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将长方形
OABC沿AD
折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.
(1)当m=3时,点B的坐标为_________,点E的坐标为_________;
(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的
值;若不能,请说明理由
.
23.平面直角坐标系中,点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y
的绝对值表示为|y|,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫
做点P(x,
y)的勾股值,记为
加法).
,即=|x|+|y|(其中“+”是四则运算中的
(1)求点A(-1,3),B(
(2)求满足条件
+2,-2)的勾股值,
=3的所有点N围成的图形的面积.
参考答案
一、1.【答案】C
2.【答案】B
解：设较短直角边长为x(x>0),则有 x
2
+(3x)
2
=10
2
,解得x=
角形的面积 S=x·3x=15.
3.【答案】A 4.【答案】A
5.【答案】A
解： 在直角三角形ABC中,由AC及BC的长,利用勾股定理求出AB
的长,然后过C作CD⊥AB于D, 直角三角形的面积可以由两直角边乘
积的一半来求,也可以由斜边AB乘斜边上的高CD除以2来求,两 者相
等,将AC,AB及BC的长代入求出CD的长,即为C到AB的距离.
6.【答案】C
解：利用勾股定理可得a=
7.【答案】C
解：此题要考虑两种情况:当两直角边 长是4和5时,斜边长为;当一
,b=5,而c=4,所以c
直角边长是4,斜边长是5时,另一直角边长是3.故选C.
8.【答案】D
解：因为6
2
+8
2
=10
2
,所以该三角形是直角三角形,所以最短边上的高为
8.
9.【答案】D
解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a
2
+b
2
=c
2
.
第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a
2
+b
2
=c
2
,可得S1
+S
2
=S
3
.第二个图形中,首先根据
半圆形的面
积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a
2
+b
2
=c
2<
br>,可
得S
1
+S
2
=S
3
.第三个图形中,
首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表
示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a
2+b
2
=c
2
,可得S
1
+S
2
=S
3
.第四
个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a
2
+b
2
=c
2
,可得S
1
+S
2
=S
3
.
10.【答案】A
解：在Rt△ABC中,AC===5.设ED=x,则
D'E=x,AD'=AC-CD'=
2,AE=4-x,根据勾股定理可得方程2
2
+x
2
=(4-x)
2
,再
解方程即可.
二、11.【答案】370
12.【答案】直角;24
解：解方程得x
1
=6,x
2
=8.∵+=36+64=100=10
2
,∴这个三角形为直角
三
角形,从而求出面积.
13.【答案】4 cm
解：过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥
CD交CD的延长线于点F.易得
△ABE≌△ADF,所以AE=AF,进一步证明四边形AECF是
正方形,且正
方形AECF与四边形ABCD的面积相等,则AE=
AC=AE=×2
=4(cm).
=2(cm),所以
14.【答案】
解：如图,设这一束光
与x轴交于点C,作点B关于x轴的对称点B',过
B'作B'D⊥y轴于点D,连接B'C.易知A,
C,B'这三点在同一条直线上,再
由轴对称的性质知B'C=BC,则AC+CB=AC+CB'=A
B'.由题意得
AD=5,B'D=4,由勾股定理,得AB'=.所以AC+CB=.
<
br>三、15.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,由勾股定理
得AD
2
=AB
2
-BD
2
.在Rt△ACD中,由勾股定理得AD2
=AC
2
-CD
2
.所以
AB
2
-
BD
2
=AC
2
-CD
2
.设BD=x,则8
2<
br>-x
2
=6
2
-(7-x)
2
,解得x=5.5,即
BD=5.5.
所以AD==≈5.8.
所以S
△
ABC
=·BC·AD≈×7×5.8=20.3≈20.
16.解:如图,过B点作BM⊥FD于点M.在△ACB中,
∵∠A
CB=90°,∠A=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=20,∴BC=
=
=B
C=5
∴CM=
,
==15.
=10.∵AB∥CF,∴∠BCM=∠A
BC=30°,∴BM
在△EFD中,∵∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,
∴MD=BM=5,∴CD=CM-MD=15-5.
17.解:过点C作CE⊥AD于点E,由题意得AB=30
m,∠CAD=30°,∠CBD=60°,
故可得∠ACB=∠CAB=∠BCE=30°,即可得AB=BC=30 m,∴BE=15 m.
在Rt△BCE中,根据勾股定理可得CE=
答:小丽自家门前小河的宽度为1
5 m.
==15(m).
18.解:龙梅行走的路程为0.5×240=120(米),
玉荣行走的路程为
×240=160(米),两人相距200米,因为120
2
+16
0
2
=200
2
,根据勾股定理的
逆定理可知,两人行走的方向成直
角.
因为=(秒)=(分钟),所以分钟后她们能相遇.
19.解:(1)易知△ABC,
△C'A'D'和△ACA'都是直角三角形,所以
S
△
ABC
=ab,S<
br>△
C'A'D'
=ab,S
直角梯形
A'D'BA
=(a+b
)(a+b)=(a+b)
2
,S
△
ACA'
=c
2
.
(2)由题意可知S
△
ACA'
=S
直角梯形
A'D'BA
-S
△
ABC
-S
△
C'A'D'
=(a+b)
2
-ab-ab=(a
2
+b
2
),而S<
br>△
ACA'
=c
2
.所以
a
2
+b
2
=c
2
.
20.解:(1)MN不会穿过原始森林保护区.理由如下:
过点C作CH⊥AB于点H.
设CH=x m.
由题意知∠EAC=45°,∠FBC=60°,则∠CAH=45°,∠CBA=30°.
在Rt△ACH中,AH=CH=x m,
在Rt△HBC中,BC=2x
m.由勾股定理,得HB==x m.
∵AH+HB=AB=600
m,∴x+x=600.解得x=≈220>200.
∴MN不会穿过原始森林保护区.
(2)设原计划完成这项工程需要y天,则实际完成这项工程需要(y-5)天.
根据题意,得
解得y=25.
经检验,y=25是原方程的根.
∴原计划完成这项工程需要25天.
21.解:如图,延长AC到A',使A'C=AC,连
接A'B与CD交于点O,则点O
为CD上到A,B两点的距离之和最小的点.过A'作CD的平行线,
交BD
的延长线于点G,连接AO,则BG=4 km,A'G=3 km.在Rt△A'BG
中,A'B
2
=BG
2
+A'G
2
=4
2
+3
2
=25,解得A'B=5 km.易知OA=OA',则
OA+OB=A'B=5 km,故铺设水管的费用最少为5×20 000=100 000(元).
=(1+25%)×.
22.解:(1)(3,4);(0,1)
(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下:
∵四边形OABC为长方形,
∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90°,
由折叠的性质可得DE=BD=BC-
CD=4-1=3,AE=AB=OC=m.
如图,假设点E恰好落在x轴上.在Rt
△CDE中,由勾股定理可得
EC===2,则有OE=OC-CE=m-2.
. 在Rt△
AOE中,OA
2
+OE
2
=AE
2
,即4
2+(m-2)
2
=m
2
,解得m=3
23.解:(1)
=|
=|-1|+|3|=4.
+2|+|-2|=+2+2-=4.
(2)设N(x,y),∵=3,∴|x|+|y|=
3.①当x≥0,y≥0时,x+y=3,即y=-x+3;
②当x>0,y<0时,x-y=3,即y=x-3;
③当x<0,y>0时,-x+y=3,即y=x+3;
④当x≤0,y≤0时,-x-y=3,即y=-x-3.
如图,满足条件=3的所有点N围成的图形是正方形,面积是18.
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