医院陪护-书法体

北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题A（较难 附答案）
1
．已知如图，圆柱
OO
1
的底面半径为
13c m
，高为
10cm
，一平面平行于圆柱
OO
1
的轴
OO
1

，

且与轴
OO
1
的距离为< br>5cm
，截圆柱得矩形
ABB
1
A
1
，

则截面
ABB
1
A
1
的面积
是（ ）


A
．
240cm
2
B
．
240πcm
2

C
．
260cm
2
D
．
260πcm
2

2
．图甲是第七届国际数学教育大会
(
简称
ICME~7)
的会徽
,
会徽的主体图案是由如图乙
的一连串直角三角形演化而成的
,
其中
OA
1
=A
1
A
2
=A
2
A
3
=…=A
7
A
8
=1,
如果把图乙中的直
角三角形继续作下去
,
那么OA
1
,OA
2
,…,OA
25
这些线段中有
___
条线段的长度为正整数
.

3
．
如图
,Rt△ABC
中
,∠B=90

,AB=9,BC=6,,
将
△ABC
折叠
,
使
A
点与
BC
的中点
D
重合
,
折痕为
MN,
则线段
AN
的长等于
( )

A
．
5 B
．
6 C
．
4 D
．
3
4
．如图，将三边长分别为
3
，
4
，
5
的
△ABC
沿最长边翻转
180°
成
△ABC
1
，则
CC1
的
长等于（ ）

A． B． C． D．
5
．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（

）

A
．
4
，
5
，
6 B
．
6
，
8
，
10 C
．
2
，
3
，
4 D
．
1
，
1
，
2
6
．三角形的三边长分 别为
①5
，
12
，
13
；
②9
，
40
，
41
；
③8
，
15
，
17
；
④13
，
84
，
85
，
其中能够构成直角三角形 的有（ ）

A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

7
．如图，在
6×6
的正方形 网格中，连接两格点
A
，
B
，线段
AB
与网格线的交点为点
C
，
则
AC
：
CB
为（ ）


A
．
1
：
3 B
．
1
：
4 C
．
1
：
5 D
．
1
：
6
8．若三角形的三边长分别等于，，2，则此三角形的面积为________．
9
．下列各组数中，能构成直角三角形的是
(

)
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
10
．学校的书香苑呈三角形形状，三边分别是
9
，
12
，
15
，那么书香苑的面积是（

）

A
．
135 B
．
180 C
．
108 D
．
54
11
．
△ABC< br>的顶点都在格点上，如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为
1
，则
△AB C
周长是
_________

12
．求图中直角三角形中未知的 长度：
b=______
，
c=________
．


13．如图， 圆柱的底面周长为
上一点且
，是底面圆的直径， 高，点是母线
． 一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是

_____．

14．如图，已知直线a∥b，a，b之 间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到
直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A ，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，
且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝________ ．

15．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的< br>边长为
37
，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与 y
的数量关系是_____．

16．在ABCD中，AB=3，BC=4，当AB CD的面积最大时，下列结论：①AC=5；
②∠A+∠C=180
o
；③AC⊥BD ；④AC=BD．其中正确的有_________．（填序号）
17
．如图所示，
△ABC
经过平移得到
△DEF
，已知
CE
＝
2 cm
，
AC
＝
3 cm
，
AB
＝
4 cm
，
∠A
＝
90°
，则
CF
＝
______ ___cm
，平移的距离是
_________
．


18
．如图，已知长方体的三条棱
AB
、
BC
、
BD
分 别为
4
，
5
，
2
，蚂蚁从
A
点出发沿长< br>方体的表面爬行到
M
的最短路程的平方是
_____.

19
．如图，正方体的底面边长分别为
2cm
和< br>3cm
，高为
5cm
．若一只蚂蚁从
P
点开始
经过四 个侧面爬行一圈到达
Q
点，则蚂蚁爬行的最短路径长为
_____cm
．

20
．如图，长方体的底面边长分别为
2 cm
和
4 cm
，高为
5 cm.
若一只蚂蚁从
P
点开始
经过
4
个侧面爬行一圈到达
Q
点，则蚂蚁爬行的最短路径长为
______cm.

21
．
5×5
的正方形网格中隐 去了一些网格线，
AB
，
CD
间的距离是
2
个单位，
CD
，如图，
EF
间的距离是
3
个单位，格点
O
在
CD
上（网格线的交点叫格点）．请分别在图
①
、
②
中作 格点三角形
OPQ
，使得
∠POQ=90°
，其中点
P
在< br>AB
上，点
Q
在
EF
上，且它们不
全等．


22．（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为
10
、
2
5
、
10
；
（
2
）求此三角形的面积及最长边上的高
.

23
．如图，
A
城气象台测得台风中心在
A
城正西方向
320km的
B
处
,
以每小时
40km
的

速度向北偏东
60˚
的
BF
方向移动,
距离台风中心
200km
的范围内是受台风影响的区域
.

(1)A
城是否受到这次台风的影响
?
为什么
?
(2)< br>若
A
城受到这次台风影响
,
则
A
城遭受这次台风影响 有多长时间
?
24
．如图所示，在
△ABC
中，
AB=2 0
，
AC=12
，
BC=16
，
D
为
BC
边上一点，把
△ABC
沿
AD
折叠，使
AB
落在直 线
AC
上，求重叠部分（阴影部分）的面积．


25
．如 图，是一块由边长为
20cm
的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点
A
处 ，它
想先后吃到小朋友撒在
B
、
C
处的鸟食，则鸽子至少需要走多远 的路程？



26．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争 吵之后，两人不欢而散，龙
1
米秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像 是和龙
2
2
梅成直角，她的速度是米秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好 相距200
3
梅的速度是
米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么 原来的速度相向而行，多
长时间后能相遇？.
27
．观察图
1
：每 个小正方形的边长均是
1
，我们可以得到小正方形的面积为
1
．

（
1
）图
1
中阴影正方形的面积是 ，并由面积求正方形的边长，可得边长
AB
长
为 ；

（2）在图2：3×3正方形方格中，由题（1）的解题思路和方法，设计一个边长为
正方形。
的

28
．长方体的长为
20cm
，宽为
10cm
，高为
15cm
，点
B
离点
C5cm
，一只蚂蚁如 果要
沿着长方体的表面从点
A
爬到点
B
去吃一滴蜜糖，需要爬行的最 短距离是多少？

参考答案
1
．
A
【解析】试题解析：如图所示：过点
O
作
OC⊥AB
于点
C
，连接
BO
，


由题意可得出；
CO=5cm
，
BO=13cm
，

∴BC=
135
=12（cm），
∴AB=24cm
，

∴
截面
ABB
1
A
1
的面积是：
24×1 0=240
（
cm
2
）．

故选
A
．

2
．
C
【解析】

【详解】

解：根据题意，找到OA
n
=的规律，
，，，…，，
22
所以OA
1
到OA
25
的值分 别为，
故正整数为
故选：
C
．

【点睛】

=1， =2， =3， =4， =5．
本题主要考查勾股定理，解本题的关键在于利用勾 股定理求得直角三角形的边长，发现
OA
n
=
3
．
A
【解析】

【分析】

设
AN=x,
由翻折的性质 可知
DN=AN=x,
则
BN=9-x,
在
Rt
△
DBN
中利用勾股定理列方程求解即
可
.
【详解】

的规律.

设AN=x,由翻折的性质可知DN=AN=x,则BN=9-x.
∵D是BC的中点,
∴BD=.
在Rt△BDN中,由勾股定理得:ND
2
=NB
2< br>+BD
2
,即x
2
=（9-x）
2
+3
2< br>,
解得:x=5.
AN=5.
所以A选项是正确的.
故选：
A
【点睛】

本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应 用
,
由翻折的性质得到
DN=AN=x,BN=9-x,
从而
列出关 于
x
的方程是解题的关键
.
4
．
D
【解析】

连接
CC′
，交
AB
于点
D
，

∵AC=3
，
BC=4
，
AB=5
，

∴BC
2
+AC
2
=AB
2

，

∴△ABC
是直角三角形．

根据折叠的性质，得
AB
垂直平分
CC′
，

∴CD=，
∴CC′=2CD=，
故选
D
．


【点睛】本题考查了折叠的性质以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合
思想 的应用．

5
．
B
【解析】

【分析】

利用勾股定理求解即可
.
【详解】

A
和
C
选项可以构成三角形，但不是直角三角形 ；
D
选项构不成三角形；
B
选项可以构成直
角三角形
.
【点睛】

熟记直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键
.
6
．
C
【解析】

222
试题解析：
①
、
∵5+12=169=13
，
∴
能构成直角三角形，故本小题正确 ；

②
、
9
2
+40
2
=1681=41
2
=169
，
∴
能构成直角三角形，故本小题正确；
③
、
8
2
+15
2
=289=17
2
，
∴
能构成直角三角形，故本小题正确；

④
、
∵152
+20
2
=625=15
2
=49
，
∴能构成直角三角形，故本小题正确．

故选
D
．

7
．
C
【解析】

【分析】

构建如图所示的图形，利用平行线分线段成比例得到
【详解】

如图

，

==.

∵CD∥BE,

∴ ==.
故选
C.
【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例，熟练掌握这一点是解题的关键
.
8．
可得，三角形为直角三角形，再求面积.
，

，.
【解析】【分析】由
【详解】因为，
所以，
所以，三角形为直角三角形
.
所以，三角形面积：
故答案为：
.
【点睛】本题考核知识点：勾股定理逆定理
.
解题关键点：利用勾股定理逆定理证出三角形
是直角三角形
.
9
．
A
222
【解析】分析：根据勾股定理逆定理：
a+ b=c
，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．

详解：A、∵1
2
+1
2
=（）
2
，∴能构成直角三角形，故A正确；
B
、
∵4
2
+5
2
≠6
2
，
∴
不能 构成直角三角形，故
B
错误；

C
、
∵5
2
+12
2
≠23
2
，
∴
不能构成直角三角形，故
C
错误；

D
、
∵6
2
+8
2
≠ 11
2
，
∴
不能构成直角三角形，故
D
错误．

故选：
A
．

点睛：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和 掌握，要求学生熟练掌握：已知
△ABC
222
的三边满足
a+b=c
，则
△ABC
是直角三角形．

10
．
D
【解 析】试题解析：∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，9
2
+12
2
=15
2
，
∴△ABC是直角三角形，
∴书香苑的面积是
故选D．
1
912=54
.
2

11．
的长，从而求出

的周长为：
.
的长
的周长． 【解析】分析：根据勾股定理分别求出< br>详解：
故答案为：
点睛：本题考查了勾股定理及三角形的周长公式，关键是运用勾股定理 求出
度．勾股定理的内容是:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
12
．
12 30
【解析】利用勾股定理即可得出答案
.
解：在如图所示的直角三角形中，由勾股定理得，

b15
2
9
2
12
；
c24
2
18
2
30
.
故答案为：
12
；
30.
13
．
5
【解析】

【分析】

先把图形展开，连接
AP
， 求出
CP
、
AC
长，根据勾股定理求出
AP
即可．

【详解】

如图展开，连接
AP
，则线段
AP
的长 是从
A
点出发沿着圆柱的表面爬行到点
P
的最短距离，


∵BC=6cm，PC=BC，

∴PC=4cm，

∵圆柱的底面周长为6cm，

∴AC=3cm，

在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP=
故答案是：
5
．

【点睛】

考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间线段最短，解决立体几何两点间
< br>的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．
14
．
10
【解析】

【分析】

过
P作
PC⊥a
于
C
，当
Q
、
B
、
C
三点一线时，
PA+AB+BQ
最小
.
【详解】

作
QD∥b,PD⊥QD.
如图，当AB∥PC时，AB又等于PC，所以四边形P ABC是平行四边形，PA=BC，所以PA+BQ
＝BC＋BQ，当Q、B、C三点一线时，PA+A B+BQ最小.在直角三角形PQD中，根据勾股
定理得QD=
BC＋BQ=BC=10.
=8.在直角三角形QDC中，根据勾股定理得QC=10，所以PA+BQ＝
.
【点睛】

本题的解题关键是作图确定
B
点位置，根据勾股定理求线段长度
.
15
．
x+y=19


【解析】试题解析：∵正方形A的边长为
37
，
∴S
A
=37
，

根据勾股定理的几何意义，得
x +10+
（
8+y
）
=S
A
=37
，

∴x+y=37-18=19
，即
x+y=19
．

点睛：以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．

16
．
①②④

【解析】

【分析】

由当ABCD的面积最大时，AB⊥BC，可判定ABCD是矩形，由矩形 的性质，可得②④正
确，③错误，又由勾股定理求得AC=5．
【详解】

∵当ABCD的面积最大时，AB⊥BC，
∴ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AC=BD，故③错误，④正确；
∴∠A+∠C=180°
；故
②
正确；

∴AC==5，故①正确．
故答案为：
①②④
．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．注意证得
▱ABCD
是矩形
是解此题的关键．

17
．
7 7 cm
【解析】试题分析：在
Rt△ABC
中，由勾股定理得：

BC＝，
AB
2
AC
2
＝
4
2
3
2
＝5（cm）
∵△ABC
经过平移得到
△DEF
，

∴EF
＝
BC
＝
5cm
，

∴ CF
＝
CE
＋
EF
＝
2
＋
5
＝< br>7
（
cm
），

∵C
点与
F
点对应，

∴
平移的距离是
CF
的长度，

即平移的距离是
7cm
．

故答案为：
7
，
7cm
．

18
．
61
【解析】分析
:
要求长方体中两点之间的最 短路径
,
最直接的作法
,
就是将长方体展开
,
然后利
用两点之间线段最短解答
,
注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种
,
分别 求出
,
选取最短的
路程
.
22
22
详解
:
如图
①:AM=AB+BM=16+(5+2)=65;

22
22
如图
②:AM=AC+CM=9+4=85;
222
如图
:AM=5+(4+2)=61.

∴
蚂蚁从
A
点出发沿长方体的表面爬行到
M
的最短路程的平方是
:61.
故答案为
:61.
点睛
:
此题主要考查了平面展开图
,
求最短路径
,
解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开
“
化立体为 平面
”,
用勾股定理解决
.
19．5
【解析】

【分析】

要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然 后利用两点之间
线段最短解答．

【详解】

展开图如图所示：


由题意，在
Rt△APQ
中，
PD=10cm
，
DQ=5cm
，

∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=
故答案为：5
【点睛】

本题考查 了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面
图形后，再确定两点之 间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造
．
=5（cm），

直角三角形解决问题．

20
．
13
【解析】

试题分析：要求长方体中两点之间 的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利
用两点之间线段最短解答．如图：


∵PA=2×
（
4+2
）
=12
，
QA=5
∴PQ=13
．

考点：平面展开
-
最短路径问题．


21
．见解析

【解析】

【分析】

先 将
AE
、
BF
上的网格线补齐，因为
∠POQ
＝
9 0°
，则
P
和
Q
都在
O
点的右侧，且
PQ
在格
点上，当
P
点在靠近
A
的第二个格点处，利用旋转的方 法，将
OP
旋转
90°
，然后判断
EF
,
同理判断 当
P
在第三个格点、第四个格点、第五个格点时上是否存在点
Q
使得
∠POQ
＝
90°
EF
上是否存在点
Q
使得
∠PO Q
＝
90°.
【详解】

解：
△POQ
如图所示；

【点睛】

熟练掌握网格中直角三角形的作图技巧是本题的解题关键
.

22．（1）三角形画对 （2）三角形面积是5 高是
5

【解析】试题分析：（
1
）根据勾股定理画出三角形即 可；（
2
）求出三角形的面积，再由三角
形的面积公式即可得出结论
.
试题解析：

（
1
）如图，
△ABC
即为所求
.

（2）
S
ABC
34
最长边的高为：
111
1313425
，
222
10
5
.
25
23
．（
1）
A
城受台风影响；（
2
）
DA=200
千米，
AC=160
千米

【解析】

试题分析：（
1
）由
A
点向
BF
作垂线，垂足为
C
，根据勾股定理求得AC
的长，与
200
比较
即可得结论；（
2
）点
A
到直线
BF
的长为
200
千米的点有两点，分别设为
D
、
G
，则
△ADG
是等腰三角形，由于
AC⊥BF
，则
C
是
DG
的中点，在
Rt△ADC
中，解出
C D
的长，则可
求
DG
长，在
DG
长的范围内都是受台风影响 ，再根据速度与距离的关系则可求时间．

试题解析：

（
1
）由
A
点向
BF
作垂线，垂足为
C
，

在
Rt△ABC
中，
∠ABC=30°
，
AB=320km
，则
AC=160km
，

因为
160
＜
200< br>，所以
A
城要受台风影响；

（
2
）设
BF
上点
D
，
DA=200千米，则还有一点
G
，有
AG=200
千米．

因为
DA=AG
，所以
△ADG
是等腰三角形，

因为
AC⊥BF
，所以
AC
是
DG
的垂直平分线，
CD=GC
，

在
Rt△ADC
中，
DA=200
千米，
AC=160
千米，

由勾股定理得，
CD=
DA< br>2
AC
2
=
200
2
160
2
=120
千米，

则
DG=2DC=240
千米，

40=6
（小时）遭受台风影响的时间是：
t=240÷
．


24
．重叠部分（阴影部分）的面积为
36
．

【解析】

【分析】

设
定理得
【详解】

解：设
∵在
∴
∴在
∴
解得：，
．
中，
，
，
中，
，
，
，，
，
，把折叠，使AB落在直线AC上，
，
，利用轴对称性质得
.
，，，利用勾股
∴重叠部分（阴影部分）的面积为：

【点睛】

本题考核知识点：轴对称，勾股定理
.
解题关键点：熟记轴对称性质和勾股定理
.
25
．最短路程为
360cm
【解析】试题分析：解答此题要先找出< br>AB、BC
所在的长方形，数出小格的个数，再计算．
试题解析：
∵
每一块地砖的长度为
20cm,
∴A
、B
所在的长方形长为
20×4=80cm
，宽为
20×3=60cm,
AB80
2
60
2
100
cm.
12=240cm
，宽为
20×5=100cm,
又
∵B
、
C
所在的长方形长为
20×
∴
BC240100260cm.
AB+BC=100+260=360cm.
所以鸽子最少走
360cm.
26．她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来 的速度相向而行，171
22
3
秒后能相遇．
7
【解析】试题分析 ：首先分别计算出龙梅和玉荣走的路程，进而计算得出她们走的路程长度、
她们之间的距离满足勾股定理 ，所以她们走的方向成直角，要计算她们相遇的时间，用总路
程除以她们的速度和即可
.
试题解析：

1
×4×60=120（米），
2
2
玉荣走的路程： ×4×60=160（米），
3
龙梅走的路程：
∵120
2
+160
2
=200
2
，

∴
她们走的方向成直角，

1273
1200
+）=200÷ = =171（秒）；
23677
3
答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171秒后能相 遇．
7
以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（
点睛：本题关键在于勾股定理 逆定理的运用
.
27．（1）2，
【解析】

【分析】

（1）依据勾股定理即可得到AD
2
=2，进而得出图1中阴影正方形的面积是2；边 长AB长
；（2）详见解析.

为；
． （2）依据勾股定理可得线段AB=
【详解】

2
（
1
）
∵AD=2
，

∴图1中阴影正方形的面积是2；边长AB长为
故答案为：2，；
，
；
（2）如图，线段AB=
理由：．
【点睛】

本题主要考查了勾股 定理的运用，解题时注意：类比是一种推理方法，根据两种事物在某些
特征上的相似，作出它们在其他特 征上也可能相似的结论．

28．需要爬行的最短距离是15
【解析】

【分析】

首先将长方体沿
CF
、
FG
、
GH
剪开，向右翻折，使面
FCHG
和面
ADCH
在同一个平面内，
连接
AB
；或将长方体沿
DE
、
EF
、
F C
剪开，向上翻折，使面
DEFC
和面
ADCH
在同一个
平 面内，连接
AB
，或将长方体沿
CF
、
CH
、
FG
剪开，向下翻折，使面
HGFC
和下面在同
一个平面内，连接
AB< br>，然后分别在
Rt△ABD
与
Rt△ABH
与
Rt△ABC< br>，利用勾股定理求得
AB
的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．

【详解】

将长方体沿
CF
、
FG
、
GH
剪开，向右翻折，使面
FCHG
和面
ADCH
在同一个平面内，
连接
AB
，如图
1
，

由题意可得：
BD=BC+CD=5+10=15cm
，
AD=CH=15cm
，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
cm．
将长方体沿
DE
、
EF
、
FC
剪开，向上翻折，使面
DEFC
和面
ADCH
在同一个平面内，

连接
AB
，如图
2
，

由题意得：
BH=BC+CH=5+15=20cm
，
AH=10cm
，

在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是
15< br>连接
AB
，如图
3
，

由题意可得：
BB′ =B′E+BE=15+10=25cm
，
AB′=BC=5cm
，

在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
∵


cm
．


∴则需要爬行的最短距离是
【点睛】

考查平面展开
-
最短路径问题，勾股定理，注意分类讨论，画出示意图是解题的关键< br>.