我的大学规划-屎字组词

勾股定理习题集

一、选择题（本大题共
13
小题，共
39.0
分）
1.

下列命题中，是假命题的是


A.
在

中，若

，则

是直角三角形
B.
在

中，若




，则

是直角三角形
C.
在

中，若

：

：

：
4
：
5
，则

是直角三角形
D.
在

中，若
a
：
b
：

：
4
：
5
，则

是直角三角形
a
、
b
、
c
分别为

、

，


；

、

的对边，2.

已知


中，则下列条件中：

；
3
：
2
；
4
：
5
；

：

：


：

：


：

：

其中

能判断

是直角三角形的有

个．
A.
1

B.
2

C.
3

D.
4

3.

下列四组线段中，可以构成直角三角形的是


A.

，

，


B.

，

，


C.


，


，



D.


，


，



4.

如图，直线
l
上有三个正方形

，

，

，若

，

的面积分别为
5
和
11
，则
b
的面积
为




A.
4

B.
6

C.
16

D.
55

5.

一位工人师傅测量一个等腰三角形工件 的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数
据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位 师傅从下列数据中找
出等腰三角形工件的数据


A.

，

，


B.

，

，


C.

，

，


D.

，

，


6.

直角三角形两条直角边的和为
7
，面积为
6
，则斜边为


A.



B.
5

C.
25

D.
7

7.

如图，在四边形
ABCD
中，


，分别以四
边形的四条边为边向外作四个正方形，若






，



，则






A.
136

B.
64

C.
50

D.
81

8.

如图，在矩形
ABCD
中，将矩形沿
AC
折叠，

，

，
点
D
落在

处，则重叠部分

的面积是




A.
8

B.
10

C.
20

D.
32

9.

如图，第
1
个正方形

设边长为

的边为第一个 等腰直
角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是
第
2
个正方形的边 ，第
2
个正方形的边是第
2
个等腰三
角形的斜边

依此不断连接下去

通过观察与研究，写
出第
2016
个正方形的边长


为



第1页，共44页

A.







C.












B.









D.






10.

如果将长为
6cm
，宽为
5cm
的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长 不可能是


A.
8cm

B.




C.


D.
1cm

11.


中，

，

，高

，则

的周长为


A.
42

B.
32

C.
42
或
32

D.
37
或
33

12.

如图，在

中，


，

，

，

是

的平分线

若

，

分别是
AD
和
AC
上的动点，则

的最小值是


A.


B.
4

C.


D.
5

13.

如图所示，

的顶点
A
、
B
、
C
在边长为
1
的正方形网格的格点上，

于
点
D
，则
BD
的长为



A.



B.




C.



D.






二、填空题（本大题共
15
小题，共
45.0
分）

14.

如图，

，

，


，

，

则阴影部分的面积


______
．




12
：
13
，且周长为
60cm
， 则它的面积为
______


．
15.

若一个三角形的三边之比为
5
：
16.

如图，在

中，

，

过点
D
作

于

，

是
AB
的中点，
点
E
，则
DE
的长是
______
．





第2页，共44页

17.

如图，所 有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边长为
3cm，则图中所有正
方形的面积之和为
______


．






18.

如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形

若正方形
A
、
B
、
C
、
D
的边长 分别是
3
、
5
、
2
、
3
，则最大正方形< br>E
的面积是
______
．






19.

如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，







，则第
n
个直角
三角形的面积为
______
．





20.

如图，在

中，

，

，点
M
为
BC
中点，

于点
N
，则
MN
的长是
______
．




21.

如图，点
P
是等边

内一点，连接

，

，

，


：
PB
：

：
4
：
5
，以
AC
为边作
≌
，连接

，
则有以下结论：

是等边三角形；

是直角三角形；


；



其中一定正确的是
______

把所
有正确答案的序号都填在横线上





是用
4
个全等的直角三角形与
1
个小正方形镶嵌而成的正
22.

如图所示，
方形图案，已知大正方形面积为
49
， 小正方形面积为
4
，若用

，

表
示直角三角形的两直角边

，下列四个说法：






，

，

，

其中说法正确的
结论有
______
．

23.

已知，如图长方形
ABCD
中，

，

，将此长方形折
叠，使点
B
与点
D
重合，折痕为
E F
，则

的面积为
______
．

24.

若直角三角形的两条边长为

，

，且满足

，则
该直角三角形的第三条边长为
______
．

25.

如图，矩形
ABCD
中，

，

，如果将该矩形沿
对角线
BD
折叠，那么 图中阴影部分的面积
______
．





第3页，共44页

26.

如果一架
25
分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角
7
分米，若
梯子的顶端沿墙下 滑
4
分米，那么梯足将向右滑
______
分米．

27.

如图，点
E
是正方形
ABCD
内的一点， 连接
AE
、
BE
、
CE
，
将

绕点
B
顺时针旋转


到

的位置

若

，

，

，则


______
度







其中
b
是整数，且

，那么以
a
、
28.

已知
a
是


的整数部分，



，
b
为两边的直角三角形的第三边的长度是
______
．

三、计算题（本大题共
2
小题，共
12.0
分）

在

中，
29.

如图，


，


，

，
垂足为

，

，求
AB
的长．





< br>折叠矩形的一边
AD
，使点
D
落在
BC
边的点
F
处，
30.

如图，
已知

，

，求
EC
的长．







四、解答题（本大题共
8
小题，共
64.0
分）

31.

如图，在笔直的铁路上
A
、
B
两点相距

，

、
D
为两村庄，

，

，

于

，

于
B，现要在
AB
上建一个中转站
E
，使
得
C
、< br>D
两村到
E
站的距离相等

求
E
应建在距
A
多远
处？






32.

如图，在

中，

，

，

，求

的
面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他
们的解题思路，完成解答过程．

作

于
D
，设

，用含
x
的代数式表示
CD
，则


______
；

请根据勾股定理，利用
AD
作为“桥梁”建立方程，并求出
x
的值；

利用勾股定理求出
AD
的长，再计算三角形的面积．


第4页，共44页

33.

如图，一个长方体形的木柜放在墙角处

与墙面和地面均没有缝隙

，有一只蚂蚁从
柜角
A
处沿着木柜表面爬到柜角


处



请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

当

，

，



时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

求点


到最短路径的距离．






34.

在

中，


，

、

、

的对边长分别为
a
、
b
、
c
，设

的面
积为
S
，周长为
l
．

填表：

三边
a
、
b
、
c

3
、
4
、
5

5
、
12
、
13

8
、
15
、
17

2

4

6















如果

，观察上表猜想：



______
，

用含有
m
的代数式表示

；

说出

中结论成立的理由．



35.

点

，

的位置如图，在网格上确定点
C
，使

，


．

在网格内画出

；

直接写出

的面积为
______
．





第5页，共44页

36.

如图，将长方形
ABCD
沿直线
AE
折叠 ，顶点
D
恰好落
在
BC
边上点
F
处

已知

，


求：

的长；

阴影部分的面积．









37.

小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认
真的探索．
【思考题】如图，一架

米长的梯子
AB
斜靠在竖直的墙
AC
上，这时
B
到墙
C
的
距离为

米，如果梯子的顶端沿墙下滑

米，那么点
B
将向
外移动多少米？

请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点
B
将向外移动
x
米，即



，
则



，











而





，在





中，由












得方
程
______
，
解方程得



______
，



______
，

点
B
将向外移动
______
米



解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑

米”改为“下滑

米”，那么该题的答
案会是

米吗？为什么？
【问题二】在“ 思考题”中，梯子的顶端从
A
处沿墙
AC
下滑的距离与点
B
向外移
动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．


38.

如图，有一段
15m
长的旧围墙
AB< br>，现打算利用该围墙的一部分

或全部

为一边，
再用
32m
长的篱笆围成一块长方形场地
CDEF
．

怎样围成一个面积为

的长方形场地？

长方形场地面积能达到

吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说
明理由．







第6页，共44页

答案和解析

【答案】

1.
C
2.
C

8.
B
9.
B

14.
24

15.
120

3.
C

10.
A

4.
C

11.
C

5.
B

12.
C

6.
B

13.
A

7.
B


16.


17.
27

18.
47

19.




20.


21.


22.


23.



24.
5
或



25.



26.
8

27.
135

28.


或
5

29.
解：在

中，


，


，








，






；
即

，

．
在

中，






．




30.
解：

四边形
ABCD
为矩形，

，

，


，

折叠矩形的一边
AD
，使点
D
落在
BC
边的点
F
处

，

，
在

中，









，

，
设

，则

，

，
在

中，






，






，解得

，

的长为
3cm
．

31.
解：设

，则

，
由勾股定理得：
在

中，










，
在

中，










，
由题意可知：

，
所以：







，
第7页，共44页

解得：

分


所以，
E
应建在距
A
点
15km
处．

32.


33.
解：

如图，
木柜的表面展开图是矩形或




．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或


；



蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的
长是










．
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形





爬过的路径


的长



，

蚂蚁沿着木柜表面




爬过的路径


的长是











．




，故最短路径的长是





．


作




于
E
，









，





是公共角，




∽




，

即









，






则














为所求．

34.


35.
5

36.
解：

如图，

，

，

；
由勾股定理得：

；
由题意得：

设为

，


；


；

，

，而

，
∽
，






，解得：

．


．

由题意得：




，

阴影

矩形









．

37.






；

；

舍去

；


38.
解：

设

，则

，
依题意得：

，
整理得



，
第8页，共44页

解得




，



，
当



时，


当



时




不合题意舍去



能围成一个长
14m
，宽
9m
的长方形场地．


设

，则

，
依题意得



整理得









故方程没有实数根，

长方形场地面积不能达到

．

【解析】

1.
解：
A
、在

中，若

，则

是直角三角形，是真命题；
B
、在

中，若




，则

是直角三角形，是真命题；
C
、在

中，若

：

：

：
4
：
5
，则

是直角三角形，是假命题；
D
、在

中，若
a
：
b
：

：
4
：
5
，则

是直角三角形，是真命题；
故选
C
．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题

判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

2.
解：











，


















，

此三角形是直角三角形，故本小题正确；


：

：

：
3
：
2
，

设

，则



，



，

，






，

此三角形是直角三角形，故本小题正确；

：

：

：
4
：
5
，

设

，则

，

．


，


，
解得


，


，


，


，

此三角形不是直角三角形，故本小题错误；

，

设

，则

，


，
解得：


，


，

此三角形是直角三角形，故本小题正确．
故选
C
．
分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长

，

，

满足





，
那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

3.
解：
A
、





，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B
、





，不能构成直角三角形，故不符合题意；
第9页，共44页

C
、












，能构成直角三角形，故符合题意；
D
、











，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：
C
．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长

，

，

满足





，那么这个
三角形就是直角三角形．

4.
解：

、
b
、
c
都是正方形，

，


；


，

，


，

，
≌
，

，

；
在

中，由勾股定理得：









，
即







，
故选：
C
．
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和 勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力
要比较强．

5.
解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直
角三角形，且








，符合勾股定理，故选
B
．
根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线

根据勾股定理知：底边
的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．
考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．

6.
解：设一直角边为
x
，则另一直角边为

，
根据题意得


，
解得：

或

，
则另一直角边为
3
和
4
，
根据勾股定理可知斜边长为





，
故选：
B
．
设一直角边为
x
，则另一直角边为

，可得面积是


，根据“面积为
6
”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长．
此题主要利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容

找到关
键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

由题意可知：
7.
解：




，




，




，




，
如果连接
B D
，在直角三角形
ABD
和
BCD
中，










，
即








，
因此



，
故选
B
．
连接
BD
，即可利用勾股定理的几何意义解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．

重叠部分

的面积是矩形
ABCD
的面积减去

与

的面积再除以
2
，
8.
解：
矩形的面积是
32
，


，
第10页，共44页

，

由

翻折而成，

，

，

，

，















，









．
故选
B
．
解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力．



．
9.
解：第
2016
个正方形的边长






故选
B
第一个正方形的边长是
2
，设第二个的边长是
x
，则



，则



，即第二个的
边长是：




；设第三个的边长是
y
，则



，则






，同理可以


得到第四个正方形的边长是




，则第
n
个是：




．


正确理解各个正方形的边长之间的关系是解题的关键，大正方形 的边与相邻的小正方形
的边，正好是同一个等腰直角三角形的斜边与直角边．

易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：
10.
解：








，故折痕长不可能为
8cm
．
故选：
A
．
根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．
考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．

11.
解：此题应分两种情况说明：


当

为锐角三角形时，在

中，









，
在

中，













的周长为：

；


当

为钝角三角形时，
在

中，









，
在

中，









，

．

的周长为：



当

为锐角三角形时，

的周长为
42
；当

为钝角三角形时，

的
周长为
32
．
故选
C
．
本题应分两种情况进行讨论：

当

为锐角三角形时，在

和

中，运用勾股定理 可将
BD
和
CD
的长求出，两者相加即为
BC
的长，从而可 将

的周长求出；

当

为钝角三角形时，在

和

中，运用勾股定理可将
BD
和
CD
第11页，共44页

的长求出，两者相减即为
BC
的长，从而可将

的周长求出．
此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论 ，易错
点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．

12.
解：如图，过点
C
作

交
AB
于点
M
，交
AD
于点
P
，过点
P
作

于
点
Q
，


是

的平分线．

，这时

有最小值，即
CM
的
长度，

，

，


，











．







，










，
即

的最小值为

．
故选：
C
．
过点
C
作

交
AB
于点
M
，交
AD
于点
P
，过点
P
作

于点
Q
，由
AD
是

的平分线

得出

，这时

有最小值，即
CM
的长度，运用勾股定理求出
AB
，再运用



，得出
CM
的值，即

的最小值．

本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足

有最小值时点
P
和
Q
的位
置．



13.
解：

的面积



，
由勾股定理得，








，
则




，
解得




，
故选：
A
．
根据图形和三角形的面积公式求出

的面积，根据勾股定理求出
AC
，根据三角形
的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之
和一定等于斜边 长的平方是解题的关键．

14.
解：在

中，






，

，

，






，即可判断

为直角三角形，
阴影部分的面积





．
答：阴影部分的面积

．
故答案为：
24
．
先利用勾股定理求出
AB
，然后利用勾股定理的逆定理判断出

是直角三角形，然
后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
此 题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角
形
ABD< br>为直角三角形．

15.
解：设三边分别为

，

，

，
则

，
第12页，共44页

，

三边分别为

，

，

，






，

三角形为直角三角形，


．
故答案为：
120
．
根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．

16.
解：过
A
作

于
F
，连接
CD
；

中，

，

，则



；

中，

，

；
由勾股定理，得

；



；




，







；







，即

故答案为：

．





．

过
A
作
BC
的垂线，由勾股 定理易求得此垂线的长，即可求出

的面积；连接
CD
，
由于

，则

、

等底同高，它们的面积相等，由此可得到

的面
积；进而可根据

的面积求出
DE
的长． 此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能
力．

17.
解：

最大的正方形的边长为
3cm
，

正方形
G
的面积为

，
由勾股定理得，正方形
E
的面积

正方形
F
的面积

，
正方形
A
的面积

正方形
B
的面积

正方形
C
的面积

正
方形
D
的面积

，

图中所有正方形的面积之和为

，
故答案为：
27
．
根据正方形的面积公式求出正方形
G
的面积，根据勾股
定理计算即可．
本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是

，

，斜边长为
c
，
那么





．

18.
解：设中间两个正方形的边长分别为
x、
y
，最大正方形
E
的边长为
z
，则由勾股定
理得：






；






；






；
即最大正方形
E
的边长为：


，所以面积为：

．
故答案为：
47
．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为

，

，

，由勾股定理得出






，






，






，即最大正方形的面积为

．
第13页，共44页

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直 角三角形中，两条直角边长的平方之和一定
等于斜边长的平方是解答此题的关键．

19.
解：根据题意可知：





，





，



第
n
个直角三角形的直角边


长为


．

第
n
个直角三角形的另一条直角边长为
1
．

第
n
个直角三角形的面积为




．


故答案为：

．

这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下
去，且有一个 直角边的边长为

从而可求出面积．
本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理求出 三角形的斜边正好是下一个三角形的直角
边．

20.
解：连接
AM
，

，点
M
为
BC
中点，

三线合一

，

，

，

，

，
在

中，

，

，

根据勾股定理得：









，
又







，







．
连接
AM
，根据等腰三角形三线合一的性质得到

，根据勾 股定理求得
AM
的长，
再根据在直角三角形的面积公式即可求得
MN
的长．
综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理

特别注意结论：直角三角形斜边上的高等
于两条直角边的乘积除以斜边．

≌

，则

21.
解：

是等边三角形，则


，又

，


，
是正三角形，

正确；
又
PA
：
PB
：

：
4
：
5
，

设

，则：

，

，

，
根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且


，

正确；
又是正三角形，


，



正确；错误的结论只能是


．
故答案为

．
先运用全等得出

，

，从而


，得出

是
等边三角形，


，

，再运用勾股定理逆定理得出


，由
此得解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形 的知识，解决本
题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结< br>论是解题的关键．

22.
解：

为直角三角形，

根据勾股定理：





，
故本选项正确；

由图可知，



，
第14页，共44页

故本选项正确；

由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为



，
即

；
故本选项正确；

由

可得

，
又





，

得，



，
整理得，

，



，
故本选项错误．

正确结论有

．
故答案为

．
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
本题考 查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定
理并认清图中的关系是解 题的关键．

23.
解：

长方形折叠，使点
B
与点
D
重合，

，
设

，则

，
在

中，






，






，
解得：

，

的面积为：





，
故答案为：

．
首先翻折方法得到

，在设出未知数，分别表示出线段

，

，

的长度，然
后在

中利用勾股定理求出
AE
的长度，进而求出
AE
的长度，就可以利用面积< br>公式求得

的面积了．
此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想 象能力，解题过程中应注意折叠后哪些
线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折 叠一下即可．

24.
解：该直角三角形的第三条边长为
x
，

直角三角形的两条边长为

，

，且满足

，

，

．
若
4
是直角边，则第三边
x
是斜边，由勾股定理得：






，

；
若
4
是斜边，则第三边
x
为直角边，由勾股定理得：






，



；

第三边的长为
5
或


．
故答案为：
5
或


．
设该直角三角形的第三条 边长为
x
，先根据非负数的性质求出
a
、
b
的值，再分4
是斜边
或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查的是勾股定理 ，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定
等于斜边长的平方是解答此题的关键．< br>


第15页，共44页

25.
解：

四边形
ABCD
是矩形，


，

，

，


，

．

与

关于
BD
对称，
≌
，

，

，

．
设
DE
为
x
，则

，

，由勾股定理，得






，
解得：

，

，







．
故答案为
90
．
根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出

，由勾股定理就可以得出
DE
的值，
由三角形的面积公式就可以求出结论．
本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴
对称的性 质求解是关键．

26.
解：如下图所示：
AB
相当于梯子，

是梯子和

是下滑后的形状，墙面、地面形成的直角三角形，


，
即：

分米，

分米，

分米，
BD
是梯脚移动的距离．
在

中，由勾股定理可得：






，





分米．

分米，
在

中，由勾股定理可得：






，

分米，

分米，
故答案为：
8
．
梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于

和

，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状

由题意可得出

分米，

分米，

分米，在

中，由勾股定理可得：





，将
AB
、
CB
的值代入该式求出
AC
的值，

；在

中，求出
OD
的值，

分米，即求出了梯脚移动的距离．
本题主要考查勾股定理在实际中的应用，通过作相应的等价 图形，可以使解答更加清晰
明了．

27.
解：连接



绕点
B
顺时针旋转


到



是直角，

是直角三角形，

与

全等

，




，







，

，

，






，
第16页，共44页

是直角三角形，


，


．
故答案为：
135
．
首先根据旋转的性质得出，

是直角三角形，进而得出


，即
可得出答案．
此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出

是直角三角形是解题关键．

28.
解：







，



，

，



，



，
又

是整数，且

，

，



．
分两种情况：

若

为直角边，则第三边











；
若

为斜边，则第三条边











．
故答案为


或
5
．
先根据






，可得出
a
的值，根据



，结合
b
是整数，且

，求
出
b
、
c
的值，再分情况讨论，

为直角边，

为斜边，根据勾股定理可求出第三边
的长度．
本题 考查了估算无理数的大小、勾股定理的知识，注意“夹逼法”的运用是解答本题的
关键．

29.
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得


，故



，由此可证得

是等腰三角形，即可求出
AD
的长，再根据含
30
度角的
直 角三角形的性质即可求出
AB
的长．
此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的应用；求得


是正确解答本题的关键．

30.
根据矩形的性质得

，

，


，再根据
折叠的性质得

，

，在

中，利用勾股定理计算出

，
则

，设

，则

，在

中，根据勾股定理得






，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对 称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等

也考查了勾股定理．

31.
根据题意设出
E
点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

32.
解：

，

，

，
故答案为：

；


，






，






，








，
解得：

；


由

得：









，







．
第17页，共44页

直接利用
BC
的长表示出
DC
的长；

直接利用勾股定理进而得出
x
的值；

利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD
的长是解题关键．

33.
根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

34.
解：

的面积



，周长

，故当
a
、
b
、
c
三边分别为
3
、
4
、
5
时，



，

，故



，同理将其余两组数据代
入可得

为

，

．

应填：

，

，








通过观察以上三组数据，可得出

．


，

，













．


，






，



，

即



．

的面积



，周长

，分别将
3
、
4
、

，

、
12
、

，

、
15
、
17
三组数据代入两式，可求出的值；


通过观察以上三组数据，可得出：



；

根据

，






，



可得出：

，即



．
本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．

35.
解：

如图所示：










在

中，


，








．
第18页，共44页

故

的面积为




．
故答案为：
5
．

先连结
AB
，再确定
C
点，连结

，

即可求解；

根据勾股定理得到

，

的长，再根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理，学生作图与根据图象分析处理、以及计算面积的能力．


36.

证明
∽
，列出比例式



，求出

，得到

．

运用

阴影



，即可解决问题．
该题主要考查了旋转变换的性质及其应用、勾股定理及其应用等问题．

37.
解：





，
故答案为；

，

舍去

，

．


不会是

米，
若





米，则



米

米

米，



米

米

米，





，





，













该题的答案不会是

米．

有可能．
设梯子顶端从
A
处下滑
x米，点
B
向外也移动
x
米，
则有





，
解得：



或



舍



当梯子顶端从
A
处下滑

米时，点
B
向外也移动

米，即梯子顶端从
A
处沿墙
AC
下滑的距离与点
B
向外移动的距离有可能相等．

直接把


C
、


C
、




的值代入进行解答即可；

把

中的

换成

可知原方程不成立 ；设梯子顶端从
A
处下滑
x
米，点
B
向外也
移动< br>x
米代入

中方程，求出
x
的值符合题意．
本 题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于
x
的一元
二 次方程是解答此题的关键．

38.

首先设

，则

，进而利用面积为

得出等式求出即
可；

结合

中求法利用根的判别式分析得出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形的面积是解题关键．



《第
1
章勾股定理》

单元测试


一、选择题（本大题共
10
小题，共
30.0
分）
1.

若一直角三角形两边长分别为
12
和
5
，则第三边长为




A.
13

B.
13
或



C.
13
或
15

D.
15

2.

下列各组线段中，能构成直角三角形的是




A.
2
，
3
，
4

B.
3
，
4
，
6

C.
5
，
12
，
13

D.
4
，
6
，
7

3.

如果一个直角三角形的两条直角边分别为

，

，那它的斜边长




A.
2n

B.


C.



D.



4.

以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有





，
4
，
5
；



，


，


；

，

，

；

，

，

．
A.
1
个
B.
2
个
C.
3
个
D.
4
个
5.

等腰三角形的腰长为
10
，底长为
12
，则其底边上的高为




第19页，共44页

A.
13

B.
8

C.
25

D.
64

6.

五根小木棒，其长度分别为
7
，
15
，
20
，
24
，
25
，现 将它们摆成两个直角三角形，
如图，其中正确的是




A.

B.

C.

D.

7.

如图，小方格都是边长为
1
的正方形，则四边形
AB CD
的面
积是




A.
25

B.


C.
9

D.





8.

三角形的三边长为
a
，
b
，
c
，且满足



，则这个三角形是




A.
等边三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
锐角三角形
9.


是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地

已知


，

米，

米，如果要在这块空地上种植草皮，按 每平方米草皮
a
元计算，那么共需
要资金




A.
50a
元
B.
600a
元
C.
1200a
元
D.
1500a
元
10.

如图，

于
B
，

和

都是等腰直角三角形，
如果

，

，那么
AC
的长为






A.
12

B.
7

C.
5

D.
13

二、填空题（本大题共
8
小题，共
24.0
分）
11.

如图为某楼梯，测得楼梯的长为
5
米，高
3
米，计划在楼
梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
______
米


12.

在直角三角形
ABC
中，斜边

，则







______
．
13.

直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
______ cm
．
14.

如图，在

中，


，

，

以斜边
AB
为直径作半圆，则这个半圆的面积是
______
．




第20页，共44页

15.

如图，在校园内有两棵树，相距
12m
，一棵树高
13m
，另一棵树高
8m
，一只小鸟
从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小 鸟至少要飞
______



AB
垂直平分线交
BC
于

若

中，


，
16.

如图，

，

，则
AC
等于
______
．




17.

如图，四边形
ABCD
是正方形，
AE
垂直于
BE
，且

，

，阴影部分的面积是
______
．




18.

如图，所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直
角三角形，其中最大的正方形的边长为
7cm
，则正方形
A
，
B
，
C
，
D
的面积之和为
______


．





三、计算题（本大题共
2
小题，共
18.0
分）


，

，

，

，

，
19.

如图所示的一块地，
求
这块地的面积．









第21页，共44页

20.

如图，一架

米长的梯子
AB
，斜靠在一竖直的墙
AC
上，
这时梯足
B
到墙底端
C
的距离为

米，如果梯子的顶端沿
墙下滑

米，那么梯足将向外移多少米？







四、解答题（本大题共
3
小题，共
28.0
分）

，

，

，21.

如图，所示，四边形
ABCD
中，

，


，求该四边形的面积．







22.

如图，已知一等腰三角形的周长是
16
，底边上的高是

求这个三
角形各边的长．












23.

如图，某 沿海开放城市
A
接到台风警报，在该市正南方向
100km
的
B处有一台风中心，沿
BC
方向以

的速度向
D
移动，已知城市
A
到
BC
的距离

，那么台 风中
心经过多长时间从
B
点移到
D
点？如果在距台风中心
3 0km
的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在
D
点休闲
的游人在接 到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？







第22页，共44页

第23页，共44页

答案

1.
B

8.
C

11.
7


12.
8


13.
24


14.


2.
C

9.
B

3.
D

10.
D

4.
B


5.
B

6.
C

7.
B




15.
13


16.
4


17.
19


18.
49


19.
解：连接
AC
，

已知，在直角

中，

，

，
根据





，可以求得

，
在

中，

，

，

，

存在





，

为直角三角形，
要求这块地的面积，求

和

的面积之差即可，





，



，



，


，
答：这块地的面积为

．


20.
解；在直角

中，已知

，

，
则





，








，

在直角





中，




，且




为斜边，














，






答：梯足向外移动了

．


21.
解：在

中，

，

，则有






．







．
在

中，

，

，

．








，



．






，

为直角三角形，

第24页，共44页

．

四边形






．



22.
解：设

，则


由勾股定理，可以得到





，也就是





，

，

，

．


23.
解：

，

，


在

中，根据勾股定理，得





，
则台风中心经过

小时从
B
移动到
D
点；

如图，

距台风中心
30km
的圆形区域内都会受到不同程度的影响，

人们要在台风中心到达
E
点之前撤离，

，

游人在


小时内撤离才可脱离危险．




勾股定理习题集

一、选择题（本大题共
13
小题，共
39.0
分）
1.

下列命题中，是假命题的是


A.
在

中，若

，则

是直角三角形
B.
在

中，若




，则

是直角三角形
C.
在

中，若

：

：

：
4
：
5
，则

是直角三角形
D.
在

中，若
a
：
b
：

：
4
：
5
，则

是直角三角形
a
、
b
、
c
分别为

、

，


；

、

的对边，2.

已知


中，则下列条件中：


；
3
：
2
；
4
：
5
；

：

：


：

：


：

：

其中
能判断

是直角三角形的有

个．
A.
1

B.
2

C.
3

D.
4

3.

下列四组线段中，可以构成直角三角形的是


A.

，

，


B.

，

，


C.


，


，



D.


，


，



4.

如图，直线
l
上有三个正方形

，

，

，若

，

的面积分别为
5
和
11
，则
b
的面积
为




A.
4

B.
6

C.
16

D.
55

5.

一位工人师傅测量一个等腰三角形工件 的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数
据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位 师傅从下列数据中找
出等腰三角形工件的数据


A.

，

，


B.

，

，


C.

，

，


D.

，

，


6.

直角三角形两条直角边的和为
7
，面积为
6
，则斜边为


A.



B.
5

C.
25

D.
7

第25页，共44页

7.

如图，在四边形
ABCD
中，


，分别以四
边形的四条边为边向外作四个正方形，若






，



，则






A.
136

B.
64

C.
50

D.
81

8.

如图，在矩形
ABCD
中，

，

，将矩形沿
AC
折叠，
点
D
落在

处，则重叠部分

的面积是




A.
8

B.
10

C.
20

D.
32

9.

如图，第
1
个正方形

设边长为

的边为第一个 等腰直
角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是
第
2
个正方形的边 ，第
2
个正方形的边是第
2
个等腰三
角形的斜边

依此不断连接下去

通过观察与研究，写
出第
2016
个正方形的边长


为




A.







C.












B.









D.






10.

如果将长为
6cm
，宽为
5 cm
的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是


A.
8cm

B.




C.


D.
1cm

11.


中，

，

，高

，则

的周长为


A.
42

B.
32

C.
42
或
32

D.
37
或
33

12.

如图，在

中，


，

，

，

是

的平分线

若

，

分别是
AD
和
AC
上的动点，则

的最小值是


A.


B.
4

C.


D.
5

13.

如图所示，

的顶点
A
、
B
、
C
在边长为
1
的正方形网格的格点上，

于
点
D
，则
BD
的长为



A.



B.




C.



D.







第26页，共44页

二、填空题（本大题共
15
小题，共
45.0
分）

14.

如图，

，

，


，

，

则阴影部分的面积


______
．


12
：
13
，且周 长为
60cm
，则它的面积为
______


．
15.

若一个三角形的三边之比为
5
：
16.

如图，在

中，

，

，

是
AB
的中点，
过点
D
作

于点
E
，则
DE
的长是
______
．





17.

如图，所有的四边形都是正方形 ，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方
形的边长为
3cm
，则图中所有正方 形的面积之和为
______


．






18.

如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四 边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形

若正方形
A
、B
、
C
、
D
的边长分别是
3
、
5、
2
、
3
，则最大正方形
E
的面积是
____ __
．





19.

如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，







，则第
n
个直角
三角形的面积为
______
．




第27页，共44页

20.

如图，在

中，

，

，点
M
为
BC
中点，

于点
N
，则
MN
的长是
______
．




21.

如图，点
P
是等边

内一点，连接

，

，

，


：
PB
：

：
4
：
5
，以
AC
为边作
≌
，连接

，
则有以下结论：

是等边三角形；

是直角三角形；


；



其中一定正确的是
______

把所
有正确答案的序号都填在横线上





是用
4
个全等的直角三角形与
1
个小正方形镶嵌而成的正
22.

如图所示，
方形图案，已知大正方形面积为
49
， 小正方形面积为
4
，若用

，

表
示直角三角形的两直角边

，下列四个说法：






，

，

，

其中说法正确的
结论有
______
．

23.

已知，如图长方形
ABCD
中，

，

，将此长方形折
叠，使点
B
与点
D
重合，折痕为
E F
，则

的面积为
______
．

24.

若直角三角形的两条边长为

，

，且满足

，则
该直角三角形的第三条边长为
______
．

25.

如图，矩形
ABCD
中，

，

，如果将该矩形沿
对角线
BD
折叠，那么 图中阴影部分的面积
______
．





26.

如果一架
25
分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯 足距离墙角
7
分米，若
梯子的顶端沿墙下滑
4
分米，那么梯足将向右 滑
______
分米．

27.

如图，点
E< br>是正方形
ABCD
内的一点，连接
AE
、
BE
、CE
，
将

绕点
B
顺时针旋转


到

的位置

若

，

，

，则


______
度







其中
b
是整数，且

，那么以
a
、
28.

已知
a
是


的整数部分，



，
b
为两边的直角三角形的第三边的长度是
______
．

三、计算题（本大题共
2
小题，共
12.0
分）

在

中，
29.

如图，


，


，

，
垂足为

，

，求
AB
的长．




第28页，共44页

折叠矩形的一边
AD，使点
D
落在
BC
边的点
F
处，
30.

如图，
已知

，

，求
EC
的长．








四、解答题（本大题共
8
小题，共
64.0
分）

31.

如图，在笔直的铁路上
A
、
B
两点相距

，

、
D
为两村庄，

，

，

于

，

于
B，现要在
AB
上建一个中转站
E
，使
得
C
、< br>D
两村到
E
站的距离相等

求
E
应建在距
A
多远
处？






32.

如图，在

中，

，

，

，求

的
面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他
们的解题思路，完成解答过程．

作

于
D
，设

，用含
x
的代数式表示
CD
，则


______
；

请根据勾股定理，利用
AD
作为“桥梁”建立方程，并求出
x
的值；

利用勾股定理求出
AD
的长，再计算三角形的面积．


33.

如图，一个长方体形的木柜放在墙角处

与墙面和地面均没有缝隙

，有一只蚂蚁从
柜角
A
处沿着木柜表面爬到柜角


处



请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

当

，

，



时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

求点


到最短路径的距离．




第29页，共44页

34.

在

中，


，

、

、

的对边长分别为
a
、
b
、
c
，设

的面
积为
S
，周长为
l
．

填表：

三边
a
、
b
、
c

3
、
4
、
5

5
、
12
、
13

8
、
15
、
17

2

4

6















如果

，观察上表猜想：



______
，

用含有
m
的代数式表示

；

说出

中结论成立的理由．



35.

点

，

的位置如图，在网格上确定点
C
，使

，


．

在网格内画出

；

直接写出

的面积为
______
．







36.

如图，将长方形ABCD
沿直线
AE
折叠，顶点
D
恰好落
在
B C
边上点
F
处

已知

，


求：

的长；

阴影部分的面积．










37.

小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认
真的探索．
第30页，共44页

【思考题】如图，一架

米长的梯 子
AB
斜靠在竖直的墙
AC
上，这时
B
到墙
C的
距离为

米，如果梯子的顶端沿墙下滑

米，那么点
B
将向
外移动多少米？

请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点
B
将向外移动
x
米，即



，
则



，











而





，在





中，由












得方
程
______
，
解方程得



______
，



______
，

点
B
将向外移动
______
米



解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑

米”改为“下滑

米”，那么该题的答
案会是

米吗？为什么？
【问题二】在“ 思考题”中，梯子的顶端从
A
处沿墙
AC
下滑的距离与点
B
向外移
动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．


38.

如图，有一段
15m
长的旧围墙
AB< br>，现打算利用该围墙的一部分

或全部

为一边，
再用
32m
长的篱笆围成一块长方形场地
CDEF
．

怎样围成一个面积为

的长方形场地？

长方形场地面积能达到

吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说
明理由．







第31页，共44页

答案和解析

【答案】

1.
C
2.
C

8.
B
9.
B

14.
24

15.
120

3.
C

10.
A

4.
C

11.
C

5.
B

12.
C

6.
B

13.
A

7.
B


16.


17.
27

18.
47

19.




20.


21.


22.


23.



24.
5
或



25.



26.
8

27.
135

28.


或
5

29.
解：在

中，


，


，








，






；
即

，

．
在

中，






．




30.
解：

四边形
ABCD
为矩形，

，

，


，

折叠矩形的一边
AD
，使点
D
落在
BC
边的点
F
处

，

，
在

中，









，

，
设

，则

，

，
在

中，






，






，解得

，

的长为
3cm
．

31.
解：设

，则

，
由勾股定理得：
在

中，










，
在

中，










，
由题意可知：

，
所以：







，
第32页，共44页

解得：

分


所以，
E
应建在距
A
点
15km
处．

32.


33.
解：

如图，
木柜的表面展开图是矩形或




．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或


；



蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的
长是










．
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形





爬过的路径


的长



，

蚂蚁沿着木柜表面




爬过的路径


的长是











．




，故最短路径的长是





．


作




于
E
，









，





是公共角，




∽




，

即









，






则














为所求．

34.


35.
5

36.
解：

如图，

，

，

；
由勾股定理得：

；
由题意得：

设为

，


；


；

，

，而

，
∽
，






，解得：

．


．

由题意得：




，

阴影

矩形









．

37.






；

；

舍去

；


38.
解：

设

，则

，
依题意得：

，
整理得



，
第33页，共44页

解得




，



，
当



时，


当



时




不合题意舍去



能围成一个长
14m
，宽
9m
的长方形场地．


设

，则

，
依题意得



整理得









故方程没有实数根，

长方形场地面积不能达到

．

【解析】

1.
解：
A
、在

中，若

，则

是直角三角形，是真命题；
B
、在

中，若




，则

是直角三角形，是真命题；
C
、在

中，若

：

：

：
4
：
5
，则

是直角三角形，是假命题；
D
、在

中，若
a
：
b
：

：
4
：
5
，则

是直角三角形，是真命题；
故选
C
．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题

判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

2.
解：











，


















，

此三角形是直角三角形，故本小题正确；


：

：

：
3
：
2
，

设

，则



，



，

，






，

此三角形是直角三角形，故本小题正确；

：

：

：
4
：
5
，

设

，则

，

．


，


，
解得


，


，


，


，

此三角形不是直角三角形，故本小题错误；

，

设

，则

，


，
解得：


，


，

此三角形是直角三角形，故本小题正确．
故选
C
．
分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长

，

，

满足





，
那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

3.
解：
A
、





，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B
、





，不能构成直角三角形，故不符合题意；
第34页，共44页

C
、












，能构成直角三角形，故符合题意；
D
、











，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：
C
．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长

，

，

满足





，那么这个
三角形就是直角三角形．

4.
解：

、
b
、
c
都是正方形，

，


；


，

，


，

，
≌
，

，

；
在

中，由勾股定理得：









，
即







，
故选：
C
．
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和 勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力
要比较强．

5.
解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直
角三角形，且








，符合勾股定理，故选
B
．
根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线

根据勾股定理知：底边
的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．
考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．

6.
解：设一直角边为
x
，则另一直角边为

，
根据题意得


，
解得：

或

，
则另一直角边为
3
和
4
，
根据勾股定理可知斜边长为





，
故选：
B
．
设一直角边为
x
，则另一直角边为

，可得面积是


，根据“面积为
6
”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长．
此题主要利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容

找到关
键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

由题意可知：
7.
解：




，




，




，




，
如果连接
B D
，在直角三角形
ABD
和
BCD
中，










，
即








，
因此



，
故选
B
．
连接
BD
，即可利用勾股定理的几何意义解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．

重叠部分

的面积是矩形
ABCD
的面积减去

与

的面积再除以
2
，
8.
解：
矩形的面积是
32
，


，
第35页，共44页