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勾股定理
1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系 （
a＋b=c
），
不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一 些几何问题，特别是证
明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等
辅助线构造直角三角形.
2．勾股定 理的逆定理是把数的特征（
a＋b=c
）转化为形的特征（三角形中的一个角是直
角） ，可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合
题，关键是挖掘“ 直角”这个隐含条件.
△ABC中 ∠C＝Rt∠

a
2
＋b
2
=c
2
3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：
①3、4、5；
②6、8、10；
③5、12、13；
④8、15、17；
⑤9、40、41.
4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.
一般地说，在平面几何中，经常利用 直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而
判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判 定直角三角形和判定直角的. 利用它可
以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：
（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形
；
5．勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m和n(m>n),那么m
2
-n
2
，2mn, m
2
+n
2
是一组勾股数。
222
222
k
2
1k
2
1
② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
22

K

K

③ 如果k是大于2的偶数，那么k,

1
,

1
是一组勾股数。

2

2

④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
22

典型例题分析

例1 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别
是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S
1
、S
2
、S
3
、S
4
，则S
1
+S
2
+S
3
+ S
4
=____

1

依据这个图 形的基本结构，可设
S
1
、S
2
、S
3
、S
4
的边长为a、b、c、d
则有a
2
+b
2
= 1，c
2
+d
2
=3，S
1
=b
2
，S< br>2
=a
2
，S
3
=c
2
，S
4=d
2

S
1
+S
2
+S
3+S
4
=b
2
+a
2
+c
2
+d2
=1+3=4
例2 已知线段a，求作线段
5
a
分析一 ：
5
a＝
5a
2
＝
4a
2
a
2

∴
5
a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二：
5
a＝
9a4a
2

∴
5
a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图（略）
例3 如图：(1)以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等 边△的面积，S
1
、
S
2
、S
3
之间有何关系，说 明理由。
(2)如图(2)，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1
，S
2
，S
3
之间
有何关系？
(3)如 果将图(2)中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面
积之和 正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)
2

分析：
(1)中S
1
，S
2
，S
3
的表示均与直角三角

形的边长有关。

出S
1
，S
2
，S
3
的关系，S
1
+S
2
=S
3

(3)图中阴影部分的面积是S
1
+S
2
+S
△
∴S
阴影
=S
△
ABC



所以根据勾股定理可得
(2)类似于(1)：S
1
+S
2
=S
3

ABC
-S
3

2

例4. 如图3，图中 所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正
方形的面积之和为507cm2
，试求最大的正方形的边长。
分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即
S
1
+S
2
=S
3
，S
5
+ S
6
=S
4
，S
3
+S
4
=S
阴

所以S
1
+S
2
+S
5
+S
6
=S
3
+S
4
=S
阴

从而有3S
阴
=507，即S
阴
=169(cm
2
)
∴最大的正方形的边长为13cm

例5 图(7)中，若大正方形EFG H的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形
ABCD，试问怎么剪才能使剩下的图形ABC D仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形
面积的59

(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a，b且a>b，
则
将正方形EFGH的边长三等分，使
顺次连结A、B、C、D，所得正方形ABCD的面积即为 原正方形面积的
ABE，△BCF，△CDG，△DAH即可。

二、要学会用方程观点解题
，只要剪去△
例6. 已知：如图7，△ABC中，A B=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC
折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。

分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。
由已知，可得 ，因此欲求EF，只要求AF的长。
设AF=x，则FC=x，BF=4-x
只要利用Rt△ABF中，AF
2
-BF
2
=AB
2< br>这个相等关系布列方程
x
2
-(4-x)
2
=9，问题就可以解决

例7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(a 分析：有的同学认为，在Rt△ABC中，
∵a、b、c为连续整数，
∴a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。
这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是

3

设b=x(x为正整数，且x≥2)，由已知，则 a=x-1，c=x+1
∵c
2
-a
2
=b
2
∴(x+1)
2
-(x-1)
2
=x
2

即4x=x
2
，又∵x>0， ∴只有x=4
∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12

例8. 已知：如图8，△ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求△ABC的
面积。
分析：为了求△ABC的面积，只要求出BC边上的高AD 若设BD=x，
则DC=21-x，只要利 用AB
2
-BD
2
=AD
2
=AC
2
-D C
2
这个相等关系，列方程
13
2
-x
2
=20
2
-(21-x)
2
，求出x的值 问题就能解决


例9 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：



(2)推算出OA
10
的长；
(3)求出

(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
的值。
答案
(1)
例10.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD,求证：AB＝AC
证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n
则c+n=b+m, c-b=m-n
∵AD⊥BC，根据勾股定理，得
A
22222

AD＝c-m=b-n
b
c
∴c
2
-b
2
=m
2
-n
2
, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)
C
B
　m
D
n
(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB＝AC

4

例11 .已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABC D，AE＝a，AF＝b,且S
EFGH
＝
2
求：
ba
的值
3
AE
D

H

解：根据勾股定理
2
a+b=EF＝S
EFGH
＝ ①
3
222
F
BC
∵4S
△
AEF
＝S
ABCD
－S
EFGH

∴ 2ab=
1
②
3
G
3
1
－②得 （a-b）
2
= ∴
ba
＝
3
3
例12 .已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC，ME⊥MF
求证：EF
2
＝BE
2
＋CF
2
答案 .延长EM到N，使MN＝EM，连结CN，显然△MNC≌△MEB，NC＝BE，NF＝EF……
A
(11)
E
F
B
M
C

例13 .Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC
与C B的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿
＿。 F
A
(12)
D

0
E
B
C

答案与提示：. 可证DF＝DE＝2
3


（选讲）例14 如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂
蚁，它想吃到上底面 上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少?

B

B


A
C
5
A
C
A

答案
(2

)
2
10
2


练习
1 在边长为整数的△ABC中，AB>AC，如果AC = 4，BC = 3，求AB的长.
分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从AC< AB<
AC+ BC知：4< AB<7，得AB为5或6.

2 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。
求证：DE
2
=AD
2
+BE
2
。
C< br>C
F
B
A
D
E
A
D
E
B< br>
分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并
构造直角三角形。

3 如图，在△A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC边上的高A D= 。
A
B
答案12。
D
C

4 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重
叠部分△AFC的面积是 。
D
C
A
F
B

设EF=x，那么AF=CF= 8-x，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3，
S=4*82-3*42=10
答案：10


6
E

5 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿
长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米?
答案AB=5
A
C
B

6 在△ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长.
答案25或7
A
A




CB
D
C
B
D

7 在△A BC中，D是 BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC的面
积。
A
A
答案84或36



B
C
D

BC
D




7