就业热门专业排名-祝福祖国的诗歌

课 题： 加法原理和乘法原理 (一)

教学内容：
加法原理和乘法原理

教学目的：
了解学习本章的意义,激发学生的兴趣； 理解分类计数原理与分步计数原理,培养
学生的归纳概括能力；会利用两个原理分析和解决一些简单的应 用问题.
教学重点：
分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)

教学难点：
分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解

教学过程：
一、课前复习
1．作为高中数学必修内容的一个部份，本章在整个高中 数学中占有重要地位以计数问
题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应 用的组合数学的
最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方 法
的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；
作为初中一种多项式乘 法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强
化，而且与后面概率中的二项分布有着密切 联系
2．这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组
合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通
过分类进行 分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基
础上，
3．一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握
手次数共有多少 ？
某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少
种不 同走法？
揭示本节课内容：等我们学了这一部分内容后，这些问题会很容易解决
从 本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合它们研究
对象独特，研究问题 的方法不同一般虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是
我们今后学习二项式定理、概率论 的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有
关至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调 配的问题，就离不开它
二、讲解新课
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车， 一天中火车有3班，汽车有2班，
那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每
一种走法都可以从甲地到乙地，所以， 共有3+2=5种不同的走法，
如图所示
问题二：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以
乘轮船一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地
到乙地共有多少种不同的走法?
火车
分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，
甲地
乙地
汽车
有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方
轮船
法，乘轮船，有3种方 法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9
种方法
知识点1 分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有
m
1
种不同的方法， 在第二类办

法中有
m
2
种不同的方法，……，在第n类办法中 有
m
n
种不同的方法那么完成这件事共有
Nm
1
m
2

Lm
n
种不同的方法
问题三：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天
中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
分析:因 为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所
以，乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有326
种不同走法，如图所示，所有走法：火车1──汽
车1；火车1──汽车2；
火车2──汽车1；火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3──汽车2
问题四：如图 ,由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条从A村经B村
去C村，共有多少种不同的走法 ？
A村
C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村
B村
去B村有2种方法,第二步, 由B村去C村有3种方法,∴从
A村经 B村去C村共有 2×3 = 6 种不同的方法
知识点2 分步计数原理（乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m
1
种不同的方法，做第二步 有
m
2
种
不同的方法，……，做第n步有
m
n
种不 同的方法，那么完成这件事有
Nm
1
m
2

L

m
n

种不同的方法
指出：分类计数原理(加法原理)中，“完 成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，
即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间 没有重复也没有遗漏．进行分类时，要
求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方 法，都能独立完成这件事.
只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.
分步计数 原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以
完成这件事，这些步 骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，
各步骤都不可缺少，需要依次完成 所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对
于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的 方法，那么完成这件事的方法数就可以直接
用乘法原理.
可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是:
Nm
1
m
2

Lm
n
,
Nm
1
m
2

L

m
n
， 这种变形还提醒人们，分类和分步，常是
在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可 以根据解题需要灵活而巧妙
地分类或分步．
强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联
类比．
两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数
两个基本原理的区别：一个 与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法
原理是“分步完成”分类和分步计数原理 ，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题区别在
于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互 独立，用其中任何一种方法都可以做完这件
事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独 立，只有各个步骤都完成才算完成
了这件事。

三、典例解析
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层
放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取 1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，
有4种方法；第2类是从第2层取1本文 艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本
体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种 数是4+3+2=9种∴从书架上任取1
本书，有9种不同的取法；
（2）从书架的第1、2 、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1
本计算机书，有4种方法；第2步从第 2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取
1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架 的第1、2、3层各取1本书，不同取法
的种数是
43224
种 ∴从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法
例2 一种号码拨号锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨
号盘可以组成多少个四位数号码？
解：每个 拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字
组成的四位数字号码的个 数是
N1010101010000
，∴可以组成10000个四位数号
码 。
例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1
名上晚班两个步 骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的
工人有2种选法根据分步技数 原理，不同的选法数是
N326
种，6种选法可以表示如
下：所以，从3名工人 中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法
例4 甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4 种，乙厂生产的收音机外壳形状有4
种，颜色有5种，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共 有所少种不同的品种？
解：收音机的品种可分两类：第一类：甲厂收音机的种类，分两步：形状有3种 ，颜色
有4种，共
3412
种；第二类：乙厂收音机的种类，分两步：形状有4种 ，颜色有5种，
共
4520
种，∴共有
122032
个品种
四、课堂练习
1．某班级有男学生5人，女学生4人

(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？
(2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？
解：(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事，共有2类办法，第一类办法，从男学生
中任选一人， 共有
m
1
= 5种不同的方法；第二类办法，从女学生中任选一人， 共有
m
2
= 4
种不同的方法，∴根据加法原理, 得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9种
(2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成,第一步，选一名
男学生，有
m
1
= 5种方法；第二步，选一名女学生，有
m
2
= 4种方法；∴根据乘法原理, 得
到不同选法种数共有
N = 5 × 4 = 20 种
2．满足
A
∪
B
=｛1,2｝的集合
A
、B
共有多少组?

解：分析一:
A
、
B
均是｛ 1,2｝的子集:φ,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝,但不是随便两个子集搭配
都行,本题尤如含
A
、
B
两元素的不定方程,其全部解分为四类:

1)当
A
=φ时,只有
B
=｛1,2｝,得1组解;
2)当
A
=｛1｝时,
B
=｛2｝或
B
=｛1,2 ｝,得2组解;
3)当
A
=｛2｝时,
B
=｛1｝或
B< br>=｛1,2｝,得2组解;
4)当
A
=｛1,2｝时,
B
=φ或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝,得4组解.
根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.
分析二: 设
A
、B
为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步
可 办好此事:第1步装“1”,可装入
A
不装入
B
,也可装入
B
不装入
A
,还可以既装入
A
又装入
B
,
有3种装 法;第2步装2,同样有3种装法.根据分步计数原理共有3×3=9种装法,即原题共有9
组解.
五、备选习题
1．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
解：(1)从书架上任取一本 书，有两种方法：第一类可从6本数学书中任取一本，有6种
方法；第二类可从5本语文书中任取一本， 有5种方法；根据加法原理可得共有 5+6=11 种
不同的取法
(2) 从书架上任取数 学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本数学书，有
6种方法；第二步任取一本语文书， 有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法
2．从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从
丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

解：2×3＋4×2=14.

六、教学小结