聚散两依依-快乐练习曲

四年级奥数：加法原理（一）

例
1
从甲地到乙地，可以乘火 车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有
4
班，汽车有
3
班，轮船有
2
班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，
共有多少种不同走法？

分析与解：一天中乘坐火车有
4
种走法，乘坐汽车有
3
种走法，乘坐 轮船有
2
种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：
4
＋
3
＋
2=9
（种）不同走法。

例
2
旗杆上最多可以挂两面信号 旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如
果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号 ？

分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，
有红、黄、蓝
3
种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、
蓝黄
6
种。所以一共可以表示出不同的信号


3
＋
6=9
（种）。

以上两例利用的数学思想就是加法原理。

加法原理：如果完成一件任务有
n
类方法，在第一类方法中有
m1
种不同方法，
在第二类方法中有
m2
种不同方法
……
在第
n
类方法中有
mn
种不同方法，那< br>么完成这件任务共有

N=m
1
+m
2
+…+m
n
种不同的方法。

乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一 定要注意它
们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的
不同 方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，
每一类中的任何一种方法都能 完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方
法数之和。

例
3
两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都
是偶数。

3=9
（种）情况；同理， 因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有
3×< br>两数都是偶数的也有
9
种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情
况有
9
＋
9
＝
18
（种）。

例
4
用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不
同 的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？


分析与解：本题与上一讲的例
4
表面上十分相似，但解法上却不相同。因为上一
讲例
4
中，区域
A
与其它区域都相邻，所以区域
A
与其它区域的颜色都不相同。
本例中没有一个 区域与其它所有区域都相邻，如果从区域
A
开始讨论，那么就
要分区域
A与区域
E
的颜色相同与不同两种情况。

当区域
A
与区 域
E
颜色相同时，
A
有
5
种颜色可选；
B
有
4
种颜色可选；
C
有
3
种颜色可选；
D
也有
3
种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有

4×3×3
＝
180
（种）。


5×
当区域
A
与区域
E
颜色不同时，
A
有
5
种 颜色可选；
E
有
4
种颜色可选；
B
有
3
种 颜色可选；
C
有
2
种颜色可选；
D
有
2
种 颜色可选。根据乘法原理，此时
不同的染色方法有

4×3×2×2
＝
240
（种）。


5×
再根据加法原理，不同的染色方法共有


180
＋
240=420
（种）。

例
5
用
1
，
2
，
3
，
4
这四种数码组成五位数 ，数字可以重复，至少有连续三位是
1
的五位数有多少个？

分析与解：将至 少有连续三位数是
1
的五位数分成三类：连续五位是
1
、恰有连
续四 位是
1
、恰有连续三位是
1
。

连续五位是
1
，只有
11111
一种；


中任一个，所以有
3
＋
3
＝
6
（种）；





4
＋
4×3
＋
3×3< br>＝
33
（种）。


3×

由加法原理，这样的五位数共有


1
＋
6
＋
33
＝
40
（种）。

在例
5
中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情
况，其中使用的都是加法原理。

例
6
右图中每个小方格的边长都是
1
。一只小虫从直线
AB
上的
O
点出发，沿着
横线与竖线 爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到
AB
上（不一定回到
O
点）。如 果小虫爬行的总长是
3
，那么小虫有多少条不同的爬行路线？


分 析与解：如果小虫爬行的总长是
2
，那么小虫从
AB
上出发，回到
A B
上，其
不同路线有
6
条（见左下图）；小虫从与
AB
相邻 的直线上出发，回到
AB
上，
其不同路线有
4
条（见右下图）。

实际上，小虫爬行的总长是
3
。小虫爬行的第一步有四种情况：

向左，此时小虫还在
AB
上，由上面的分析，后两步有
6
条路线；

同理，向右也有
6
条路线；

向上，此时小虫在与
AB
相邻的直线上，由上面的分析，后两步有
4
条路线；

同理，向下也有
4
条路线。

根据加法原理，共有不同的爬行路线


6
＋
6
＋
4
＋
4
＝
20
（条）

练习
20

1.
南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有
20
班火
车、
6
班飞机、
8
班汽车和
4
班轮船 ，那么共有多少种不同的走法？


2.
光明小学四、五、六年级共订300
份报纸，每个年级至少订
99
份报纸。
问：共有多少种不同的订法 ？


3.
将
10
颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？


4.
在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？

5.
用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相 邻的区域染
不同的颜色。问：共有多少种不同


的染色方法？


6.
用
1
，
2
，
3
这三种数 码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续
两位是
2
的有多少个？


7.
下图中每个小方格的边长都是
1
。有一只小虫从
O
点出发，沿图中格线爬
行，如果它爬行的总长度是
3
，那么它最终停在直线< br>AB
上的不同爬行路线有多
少条？




第
21
讲

加法原理（二）

我们通常解题， 总是要先列出算式，然后求解。可是对有些题目来说，这样
做不仅麻烦，而且有时根本就列不出算式。这 一讲我们介绍利用加法原理在
“
图
上作业
”
的解题方法。

例
1
小明要登上
10
级台阶，他每一步只能登
1
级 或
2
级台阶，他登上
10
级台阶
共有多少种不同的登法？

分析与解：登上第
1
级台阶只有
1
种登法。登上第
2
级台阶可由第
1
级台阶上去，
或者从平地跨
2
级上去，故有
2
种登法。登上第
3
级台阶可从第
1
级台阶跨
2
级上去，或者从第
2
级台阶上去，所以登上第
3
级台阶的方法数是登上第1
级台
阶的方法数与登上第
2
级台阶的方法数之和，共有
1+2
＝
3
（种）
……
一般地，
登上第
n
级台阶 ，或者从第（
n—1
）级台阶跨一级上去，或者从第（
n—2
）级台
阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（
n—1
）级和第（
n—2
）级分 别有
a
种和
b
种方法，则登上第
n
级有（
a
＋
b
）种方法。因此只要知道登上第
1
级和第
2
级台阶各 有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登上第
1
级有
1
种 方法，登上第
2
级有
2
种方法，可得出下面一串数：


1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
。

其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和 。登上第
10
级台阶的方
法数对应这串数的第
10
个，即
8 9
。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级
台阶的方法数（见下图）。


例
2
在左下图中，从
A
点沿实线走最短路径到
B
点 ，共有多少条不同路线？


分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点， 例如右上图中的
D
点，
不是经过左边的
E
点，就是经过下边的
F
点。如果到
E
点有
a
种走法（此处
a
＝
6
），到
F
点有
b
种走法（此处
b
＝
4
），根据加法原理，到
D
点就有（
a
＋
b
）
种走法（此处为
6
＋
4=10
）。我们可以从左下角
A
点 开始，按加法原理，依次向
上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有
35条不同路线。

例
3
左下图是某街区的道路图。从
A
点 沿最短路线到
B
点，其中经过
C
点和
D
点的不同路线共有多 少条？


分析与解：本题可以同例
2
一样从
A
标 到
B
，也可以将从
A
到
B
分为三段，先
是从
A
到
C
，再从
C
到
D
，最后从
D
到
B
。如右上图所示，从
A
到
C
有
3
种 走
法，从
C
到
D
有
4
种走法，从
D
到
B
有
6
种走法。因为从
A
到
B
是分几 步走
的，所以应该用乘法原理，不同的路线共有

4×6
＝
72
（条）。


3×
例4
沿左下图中箭头所指的方向从
A
到
B
共有多少种不同的走法？

分析与解：如右上图所示，先标出到
C
点的走法 数，再标出到
D
点和
E
点的走
法数，然后标出到
F
点的走法数，最后标出到
B
点的走法数。共有
8
种不同的
走法。
例
5
有
15
根火柴，如果规定每次取
2
根或
3
根，那么取完这堆火柴共有多少种
不同取法？

分析与解：为了便 于理解，可以将本题转变为
“
上
15
级台阶，每次上
2
级或
3
级，
共有多少种上法？
”
所以本题的解题方法与例
1类似（见下表）。



注意，因为每次取
2
或< br>3
根，所以取
1
根的方法数是
0
，取
2
根和 取
3
根的
方法数都是
1
。取
4
根的方法数是取1
根与取
2
根的方法数之和，即
0
＋
1
＝1
。
依此类推，取
n
根火柴的方法数是取（
n-3
）根 与取（
n-2
）根的方法数之和。所
以，这串数（取法数）中，从第
4
个数起，每个数都是它前面第
3
个数与前面第
2
个数之和。取完
1 5
根火柴共有
28
种不同取法。

练习
21

1.
小明要登
15
级台阶，每步登
1
级或
2
级台阶，共有多少种不同登法？


2.
小明要登
20
级台阶，每步登
2
级或
3
级台阶，共有多少种不同登法？


3.
有一堆火柴共
10
根，每次取走
1
～
3
根，把这堆火柴全部取完有多少种不
同取法，


4.
在下图中 ，从
A
点沿最短路径到
B
点，共有多少条不同的路线？

5.
左下图是某街区的道路图，
C
点和
D
点正在修路不能通过，那么从
A
点
到
B
点的最短路线有多 少条？


6.
右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从< br>A
点穿过房间到达
B
处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少 种不同的走法？


答案


练习
20


1.38
种。


2.10
种。

提示：没有年级订
99
份时，只有三个 年级各订
100
份一种订法；只有一个
年级订
99
份时，另外两个年 级分别订
100
份和
101
份，有
6
种订法；有两个年级订
99
份时，另外一个年级订
102
份，有
3
种订法 。


3.8
种。

5
（个），两个数码都是偶数的有
4.45
个。提示：两个数码都是奇数 的有
5×
4×5
（个）。


5.420
种。


解：如右图所示，按
A
，
B
，
C
，
D
，
E
顺序染色。若
B
，
D
颜色相同，则有

4×3×1×3=180
（种）；


5×
若
B
，
D
颜色不同，则有

4×3×2×2=240
（种）。


5×
共有不同的染色方法
180+240=420
（种）。


6.21
个。

提示：与例
5
类似，连 续四位都是
2
的只有
1
种，恰有连续三位是
2
的有
4
种，恰有连续两位是
2
的有
16
种。


7.10
条。

提示：第一步向下有
5
条，第一步向上 有
1
条，第一步向左或向右各有
2
条。




练习
21


1.987
种。
2.114
种。


3.274
种。

提示：取走
1
根有
1
种方法，取走
2
根有
2
种方法，取走
3
根有
4< br>种方法。
将
1
，
2
，
4
作为数列的前三项， 从第
4
项起每项都是它前三项的和，得到


1
，
2
，
4
，
7
，
13
，
24
，< br>44
，
81
，
149
，
274
。

第
10
项
274
就是取走
10
根火柴的方法数。


4.56
条。


5.48
条（见下图）。



6.55
种。