初二物理试题-benefited

第20讲 加法原理（一）
例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车 ，还可以乘轮船。一天中
火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从
甲地到乙地，共有多少种不同走法？
分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法， 乘坐轮船
有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。
例2 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一
面，如果用挂信号旗表示信号，最多 能表示出多少种不同的信号？
分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面
信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄
蓝、黄红、蓝红、蓝黄 6种。所以一共可以表示出不同的信号
3＋6=9（种）。
以上两例利用的数学思想就是加法原理。
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有 m
1
种不同
方法，在第二类方法中有m
2
种不同方法 ……在第n类方法中有m
n
种不
同方法，那么完成这件任务共有
N=m
1
+m
2
+…+m
n

种不同的方法。
乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所
以完成任务的不同方法数等 于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件
事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务 ，所以完成任
务的不同方法数等于各类方法数之和。
例3两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者
两数都是偶数。
因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；
同理，两数都是偶 数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之
和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
例4用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区
域染不同的颜色。问：共有多 少种不同的染色方法？

1

分析与解：本题 与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。因
为上一讲例4中，区域A与其它区域都相邻，所 以区域A与其它区域的
颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域
A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。
当区域A与区域E颜色相同 时，A有5种颜色可选；B有4种颜色
可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。根据乘法原理， 此时不
同的染色方法有
5×4×3×3＝180（种）。
当区域A与区域 E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色
可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2 种颜色可选。根据
乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×2×2＝240（种）。
再根据加法原理，不同的染色方法共有
180＋240=420（种）。
例5用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少 有连续
三位是1的五位数有多少个？
分析与解：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类： 连续五位是1、
恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。
连续五位是1，只有11111一种；


中任一个，所以有3＋3＝6（种）；




2

3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。
由加法原理，这样的五位数共有
1＋6＋33＝40（种）。
在例5中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若
干种情况，其中使用的都是加法原理。
例6右图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线 AB上的O点出发，
沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不
一 定回到O点）。如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬
行路线？

分 析与解：如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB
上，其不同路线有6条（见左下图 ）；小虫从与AB相邻的直线上出发，
回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）。

实际上，小虫爬行的总长是3。小虫爬行的第一步有四种情况：
向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；
同理，向右也有6条路线；
向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4
条路线；
同理，向下也有4条路线。
根据加法原理，共有不同的爬行路线
6＋6＋4＋4＝20（条）

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