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加法原理
发现不同
知识框架


一、加法原理概念引入
生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每 一类方法中，又有几种可能的
做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．
例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？
分析这个问题 发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有
5种走法，如果乘 长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同
的走法． < br>在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就
可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二
类的方法数．
二、加法原理的定义
一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有
m
1
种不同做法，第二类方法中有
m
2
种不同做
法 ，…，第k类方法中有
m
k
种不同做法，则完成这件事共有
N m
1
 m
2
……m
k
种不同方法，这就是
加法原理．
加法原 理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的
问题可以使 用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．
分类时，首先要根据问题的特点确定一 个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，
分类时要注意满足两条基本原则：
① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．
运用加法原理解题时，关键是 确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等
于局部之和”．
三、加法原理解题三部曲
1、完成一件事分N类；
2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；
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3、类类相加

分类讨论中加法原理的应用
加法原理
树形图法、标数法及简单的递推
标数法
简单递推

树形图法


例题精讲

模块一、分类讨论中加法原理的应用（枚举法）

【例 1】 柯南去给步美买生日礼 物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同
的纪念品10种，那么，柯南买 一种礼物可以有多少种不同的选法？






【例 2】 从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？







【巩固】 从1～50中每次取两个不同的数相加，和大于50的共有多少种取法？







【例 3】 甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少
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种不同的订法？









【巩固】 光彦和元太共有《爆笑校园》不超过9本，他们各自有《爆笑校园》的数目有多少种可能的情况？










【例 4】 把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．



【巩固】 一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？








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【例 5】 袋中有3个相同红球，4个相同黄球和5个相同白球，家明从中任意拿出6 个球，他拿出球的情
况共有________种可能．




【巩固】 思思想将3个相同的小球放入
A
、
B
、
C
三个盒中，那么一共有________种不同的放法．









【例 6】 四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：
一共有多 少种不同的方法？







【巩固】 甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二 个
位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？






【例 7】 1、2、3、4四个数字，从小到 大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，
可以得到多少个不同的乘积?
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【巩固】 苹果、梨子和香蕉三人去公园玩，想拍一张照片留念，他们只拍了一 张照片（人相同，位置不
同为一张，可拍单人照），请问他们共有多少种不同的照法？





【例 8】 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？








【巩固】 明明带8元钱去商店买冰激凌。有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支。如 果
这8元钱全部用于买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法?








【例 9】 1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?

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【巩固】 1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?










模块二、树形图法和标数法

一、树形图法
“树形图法”实际上是枚 举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而
且有条理又不重复遗漏，使人一目了然 ．

【例 10】 A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)， 这样经过了5次传球后，
球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？









【巩固】 一只青蛙在A ，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共
有多少种不同的跳法？

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【巩固】 一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城 市，明天就到另一个城市．假如他第
一天在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方 案?







二、标数法 < br>适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法
总数． 标数法是加法原理与递推思想的结合．



【例 11】 如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？
E
C
F
A
B
D
G

A
E
C
F
B
D
G





【巩固】 如图，从
A
点到
B
点的最近路线有多少条？
7 13

BB



A

A

【例 12】 如图为一幅街道图，从
A
出发经过十字路口
B
，但不经过
C
走到
D
的不同的最短路线有 条.
DD
B
A
C
A
B
C





【巩固】 小王在一年 中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在
P
点，他去少年宫都是走最近的路，且
每 次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．
P
人工湖
B
超市
A
D
E
C
P
人工湖
B
超市< br>A
D
E
C

B
C

B
C
【例 13】 在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？
A



A

【巩固】 在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？

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AA
CC
B

B



【例 14】 如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的
走法？
北北
北京北北京北

北京欢京北

北京欢京北

欢迎欢欢迎欢
你你




【巩固】 右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法．
我
爱
希
望
爱
希
希
望
望
杯
杯
杯
望
杯
杯
我
爱
希
望
爱
希
希
望
望
杯
杯
杯
望
杯
杯



课堂检测

【随练1】

一个自然数各位上的数字之和是 5（例如：13 的数字和为 1+3=4，7 的数字之和为 7），而
且各位数字都不相同。这样的自然数有（ ）个
．




【随练2】 有30枚二分硬币和8枚五分硬币，用这些硬币不能构成1分到1元之间（含1 分和1元）的币
值的种数是多少？

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【随练3】 把1、2、3、 4、5、6、7、8这八个数分成两组（每组4个数），使得这两组数的和相等，这样
不同的分法共有多 少种？








【随练4】 一本书从第一页直至最后一页的页码中共用了2010个数字，那么这本书有 个三位数页码？






【随练5】 一次数学课堂练习有 3 道题，老师先写出一道，然后每隔 5 分钟再写出一道，规定：
①每个学生在老师写出一道新题时如果原有题还没有完成，必须立即停下来转做新题；
②完成一道题时，如果老师没有写出新题，就转做前面相邻未做完的题
那么，做完这三道题的不同顺序共有_______种可能．








【随练6】 有些数如33、232、5775、3676 3……从左到右读与从右往左读是一样的，我们把这些数叫做对
称数，在三位数中共有 个对称数？



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【随练7】 将长为17的木棒截成长度为整数的三段 ，使他们构成一个三角形的三边。不同的截法对应了不
同的三角形，（相同的截法，截成的三段不管怎样 摆，所构成的三角形都算作同一种三角形），
那么所得到不同三角形的个数有（）个？
A．8 B.7 C.6 D.5 E.4





【随练8】 如图，在正六边形ABCDEF中，一只青蛙从A点开始跳，它每次可以跳到相邻两个顶点中
的一个上，青蛙在5次之内（含5次）跳到C点不同跳法有（）种
．

A.5 B. 6 C.7 D.8 E.9

【随练9】 把五个相同的球放到三个不同的盒子里（有的盒子可以不放），请问有多少方法？










家庭作业

【作业1】 五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子.从中 取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子
配成一套装束.问：有多少种不同的装束？


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【作业2】 有数字1、2、3可以组成多少个数？（每个数字最多只能用一次）





【作业3】 在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何 点不得重复经过．问：这只甲虫最多
有几种不同走法？






【作业4】 在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列．问：共有多少种不同
的放法？





【作业5】 “数学”这个词的英文单词是“MATH”． 用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，
每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出 多少种不同搭配方式？






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【作业6】 12个人围成一圈，从中选出3个人，其中恰有两个人相邻，共有 种不同的选法。










【作业7】 在三位数中，各位数字之和是5的三位数有多少个？








【作业8】 在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？








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