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在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题：
问题一：从A地道B地， 可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有3班，轮船
有2班。那么从A地道B 地共有多少种不同的走法？






问题二 ：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3条道路。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的
走法？ 解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。






 加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有
m
1
种不同的方法，第二类方法中有
m
2
种
不同的方法…….第n类方法中有< br>m
n
种不同的方法。那么，完成这件事共有
Nm
1
m2
m
n
种不同的方
法。
 乘法原理：为了完成一 件事，需要n个步骤。做第一步有
m
1
种不同的方法，做第二步有
m
2
种不同的
方法……做第n步有
m
n
种不同的方法。那么，完成这件 事共有
Nm
1
m
2
m
n
种不同的方 法。


【例题1】每天从武汉到北京去，有4班火车，2班飞机，1班汽车。请问 ：每天从武汉到北京去，乘坐这
些交通工具共有多少种不同的走法？






【拓展1】学校开展读书竞赛活动，小明要从4本故事书、2本文艺书 、3本科技书里任意选取一本书，共
有多少种不同的选法?

【例题2】如图，从家村去乙村有3条道路，从乙村去 丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。小华
从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？






【拓展2】（2008年第六届“走 进美妙的数学花园”中国青少年解题技能展示大赛试题）在右图的每个方
格中各放1枚围棋子（黑子或白 子），共有多少种不同的放法？






【 例题3】数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3这四个数字组成三位数，请问：（1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？





【拓展3】用1、2、3、4这四个数可以组成多少个没有重复数字的四位数?






【例题4】十把钥匙开十把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来?




【拓展4】15把钥匙开15把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。请问：最多试开 多少次，就能把锁和钥匙
配起来?




【例题5】用 五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域所染的颜色不同。请问：
共有多少种 不同的染色方法?

A
C
B
E


思路点拨：从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。解答本题的关键
在于：①对有最多相邻区域的区域先染色；②对不相邻的两个区域染成同色。
解：（1）当区 域A与区域E的颜色相同：A有5种不同的方法，B有4种不同的方法，C有3种不同的方法，
D有3种 不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×3=180（种）。
（2）当区域A 与区域E的颜色不同时：A有5种不同的方法，E有4种不同的方法，B有3种不同的方法，
C有2种不 同的方法，D有2种不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×2×2=240
（ 种）。
（3）根据加法原理，不同的染色方法共有180+240=420（种）
【拓展5 】如图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、蓝、白、绿五种颜色中的某一种涂染，若使相邻的
区域 涂不同的颜色，问：有几种不同的涂法?
A
D
D
B
C




【例题6】某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二
面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示 多少种不同的信号?


思路点拨：用一面旗子可以表示3种不同信号（红、黄、蓝 ），用两面旗子可以表示3×2=6（种）信号，
用三面旗子可以表示3×2×1=6（种）信号，运用 加法原理，可以计算出表示信号的种数。
3+3×2+3×2×1=15（种）
【拓展6】 右图是某以地区的道路分布图，A,B,C,D分别代表四个城镇，那么从A镇去C镇一共有多少种
不同 的走法?(每个点不重复经过)




【例题7】将A、B、C 、D、E、F、G七位学生在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻。请问共有多少
种不同的排列方法 ?
E

思路点拨：可以分两类情况考虑：
若B站在两端，B有两种 选择，C只有一种选择，另五人分别有5，4，3，2，1种站法选择，这种情况共
有2×1×5×4× 3×2×1=240（种）不同站法。
若B站在中间，B有五种选择。B无论在中间何处，C都有两种 选择，另五人分别有5、4、3、2、1种站法
选择，这种情况共有5×2×5×4×3×2×1=12 00（种）不同站法。因此七人排一列，B与C必须相邻，共
有240+1200=1440（种）不同
【拓展7】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）节日期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有 2
个红灯，4个绿灯。如果两个红灯不相邻，则不同的排法有 种。





【精练1】从武汉到南京去，每天有2班火车、3班汽车、 2班飞机、1班轮船。请问：每天从武汉到南京
去，一共有多少种不同的走法?




【精练2】“六一”儿童节，小东到书店去买书，他喜欢的书有：3种故事书、4 种科学书、5种文艺书，
他带的钱只能买其中一种，请问：他有多少种不同的选择方法?




【精练3】（小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）奥运吉祥物中的五 个“福娃”取自“北京欢迎您”的谐
音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放五个 不同的“福娃”，那么一共有多少种
不同的放法?




【精练4】（天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题）用4种颜色的水彩笔给“MATH”四个字涂颜色 ，
要求不同字母用不同颜色的笔去涂，共可以有多少种不同颜色搭配方式?




【精练5】（长春市天宇杯数学测试题）用0，1，2，3，4，5这六个数字可 以组成多少个没有重复数字的
三位数?



【精练6】人民电影 院有6个门，其中A,B,C,D这四个门只供散场时作为出口，甲乙这两个门既可以作为
入口页可以作 为出口（如图）。请问：如果要到人民电影院去看电影，共有几种不同的进出路线?

A
B
D
C
甲 乙




【精练7】(第十四届“华罗庚杯”少年数学邀请赛试题)按照中国篮球职业联赛组委会的规定，每队队员
的号码可以选择范围是0—55号，但选择两位数的号码时，每位数字不能超过5。那么，可供每支球队选择的号码共有多少个?




【精练8】(2008年巨人 学校数学“尖子班”入学试题)如图，要从A走到B，但C，D不能通过，所以增
添了一条斜着的路。如 果只能向右、向上、向斜上方走，一共有多少种不同的走法?
B
C
D
A






【精练9】有两个相同 的正方体，每个正方体的六个面上分别别有数字1，2，3，4，5，6，将两个正方体
放在桌面上，向 上的一面数字之和为偶数的有多少种情况?





【 精练10】（南京市“兴趣杯”数学邀请赛试题）六年级的大哥哥大姐姐要毕业了，准备照一张合影留作
纪念。4个男同学，2个女同学共6个人站成一排，要求2个女同学紧挨着站在正中间。请问：一共有多