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加法原理习题3

答案：

1、在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数 的个数．由
于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为
9×9×9×9＝6561，
其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10 000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于1000
0且含有数字1的自然数共有9 999-6560=3439个

2、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？
分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。
因为骰子 上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。根
据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。



用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
分析与解：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连 续三位是1。
连续五位是1，只有11111一种；


中任一个，所以有3＋3＝6（种）；



3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。
由加法原理，这样的五位数共有

1＋6＋33＝40（种）。
在此题中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情况，其中使用的都是加法原理。


下图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线 与竖线爬行，可上可下，可左可右，
但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）。如果小虫爬行的总长是 3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？

分析与解：如果小虫爬行的总长是2，那么小 虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小
虫从与AB相邻的直线上出发，回到 AB上，其不同路线有4条（见下图）。

实际上，小虫爬行的总长是3。小虫爬行的第一步有四种情况：
向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；
同理，向右也有6条路线；
向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；
同理，向下也有4条路线。
根据加法原理，共有不同的爬行路线
6＋6＋4＋4＝20（条）

1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果 每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么
共有多少种不同的走法？
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？

1.用五种颜 色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色
方法？

2.用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？
3.下图中每个小方格的边长都是1。有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么
它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？


下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？


分析与解：本题可以同例2一样从A标到B，也可以将从A到B分为三段，先是从A到C ，再从C到D，最后从D
到B。如上图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从D到B有6 种走法。因为从A到B是分几步走的，
所以应该用乘法原理，不同的路线共有
3×4×6＝72（条）。
沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？


分析与解：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后 标出到F点的走法数，
最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法
有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

分析与解：为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2 级或3级，共有多少种上法？”所以本
题的解题方法与例1类似（见下表）。



注意，因为每次取2或3根，所以取1根的方法数是0，取2根和取3根的方法数都是1 。取4根的方法数是取
1根与取2根的方法数之和，即0＋1＝1。依此类推，取n根火柴的方法数是取 （n-3）根与取（n-2）根的方法数之
和。所以，这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是 它前面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴
共有28种不同取法。


1.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？
2.小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？
20=3×0＋2×10 C(10，0)＝1种
＝3×2＋2×7 C(9，2)＝36种
＝3×4＋2×4 C(8，4)＝70种
＝3×6＋2×1 C(7，1)＝7种

所以，共有1＋36＋70＋7＝114种不同的登法。

2.现有1角人民币4张 ，2角的人民币2张，1元的人民币3张。如果从中至少取1张，至多取9张，那么共可配成
多少种不同 的钱数？

3.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，

1、左下图是某街区的道路图，C点和D点正在修路不能通过，那么从A点到B点的最短路线有多少条？

2、右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间 到达B处，如果只能从小号码房间走向
大号码房间，那么共有多少种不同的走法？

3、用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？

解答：

乘法原理例题讲解1


乘法原理例题讲解2



乘法原理例题讲解3

在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数 的个数．由
于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为
9×9×9×9＝6561，
其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比1000 0小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于1000
0且含有数字1的自然数共有999 9-6560=3439个

1、如下图，A，B ，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同
的颜 色，共有多少种不同的染色方法？

分析与解：将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染色五步。
先给A染色，因为有5种颜 色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色
可选择，故有4种不 同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给
D染色， 因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法
5×4×3×3×2＝360（种）。
2、、用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色 ，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的
染色方法？

分析与解：本 题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。因为上一讲例4中，区域A与其它区域都
相邻， 所以区域A与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，< br>那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。
当区域A与区域E颜色相同时，A 有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。
根据乘法原理，此时不 同的染色方法有
5×4×3×3＝180（种）。
当区域A与区域E颜色不同时， A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；
D有2种颜色可选。根 据乘法原理，此时不同的染色方法有
5×4×3×2×2＝240（种）。
再根据加法原理，不同的染色方法共有
180＋240=420（种）。

3.如 图,把A、B、C、D、E这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不
相 领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?

A

B

C

D


E

按A,B,C,D,E的顺序,分别有4, 3,2,2,2种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有4×3×2×2×
2=96(种).

4、用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？
分析与解：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三 位是1。
连续五位是1，只有11111一种；
中任一个，所以有3＋3＝6（种）；
3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。
由加法原理，这样的五位数共有 1＋6＋33＝40（种）。
在此题中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种 情况，其中使用的都是加法原理。

5、有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？
分析与解： 将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就
在其 间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第< br>五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有29＝512（ 种）。因为每
一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。

5、变速自行车主动车轴上有48、36、24三种齿数的轮子，后轴飞轮有36、16、12、24四种齿数的 轮子，变速车共
有多少种不同的速变？
解：3×4=12（种）
答：变速车共有12种不同的速变。