热烈-湖南租房

分类加法原理与分步乘法原理
[基础训练]
1．满足a，b∈ {－1,0,1,2}，且关于x的方程ax
2
＋2x＋b＝0有实
数解的有序数对( a，b)的个数为( )
A．14
C．12
B．13
D．10
答案：B 解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝ 0，此时有
序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；
当a≠ 0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为
(－1，－1)，(－1,0)，( －1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，
－1)，(2,0)．
综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.
2．[2016四川卷]用数字1,2,3 ,4,5组成没有重复数字的五位数，其
中奇数的个数为( )
A．24
C．60
B．48
D．72
答案：D 解析：由题意 可知，个位可以从1,3,5中任选一个，有
1
A
3
种方法，其他数位上的数 可以从剩下的4个数字中任选，进行全排
414
列，有A
4
种方法，所以奇数 的个数为A
3
A
4
＝3×4×3×2×1＝72，故
选D.
3．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法
有 ( )
A．10种
C．5
2
种
B．2
5
种
D．2
4
种
答案：D 解析： 共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2
种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有2< br>4
种．
4．把3种农作物，种植在如图所示的4块土地里，要求相邻地块
不种 同一种农作物，则不同的种植方法种数为( )

A．24
C．12
答案：B 解析：先分步，

B．18
D．6
从左到右先种第一块，有3种方法；
再种第二块，有2种方法．
下面分类，若第三块与第一块相同，有1种方法，此时第四块有
1种方法，共有3×2×1×1＝6(种 )；
若第三块与第一块不同，有1种方法，
此时第四块有2种方法，共有3×2×1×2＝12(种)．
综上，共有6＋12＝18(种)不同的种植方法．
5．如图所示，在A，B间有四个焊接点 1,2,3,4，若焊接点脱落导
致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的< br>不同情况有( )

A．9种
C．13种
B．11种
D．15种
答案：C 解析：按照焊接点脱落的个数进行分类．
若脱落1个，有(1)，(4)，共2种；
若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1, 2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；
若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；
若脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．
综上共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．
6．在某校举行的羽毛球两人决赛 中，采用5局3胜制的比赛规则，
先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，< br>则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有
( )
A．6种 B．12种

C．18种
答案：D 解析：分三种情况：
D．20种
恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；
恰好 打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C
2
3
＝6(种)情形；
恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C
2
4
＝1 2(种)情形．
所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．
x
2
y
2
7．设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则关于x，y的方程
m＋
n
＝1
表示焦点位于x轴上的椭圆有( )
A．6个
C．12个
所以当m＝4时，n＝1,2,3；
当m＝3时，n＝1,2；
当m＝2时，n＝1.
故满足条件的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．
8．式子(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h) (i＋j＋k＋l＋m)展开后共有
________项．
答案：60 解析：(a＋b＋c )(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)的展开式
各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分 步乘法计数原理，可
得其展开式共有3×4×5＝60(项)．
9．[2019辽宁沈阳月考 ]三边长均为正整数，且最大边长为11的
三角形的个数是________．
答案：36 解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，
要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取 11时，x可取1,2,3，…，11，
有11个三角形；当y取10时，x可取2，3，…，10，有 9个三角形；…；
当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．综上知，所求三角形的个
数为1 1＋9＋7＋5＋3＋1＝36.
B．8个
D．16个
答案：A 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，

10. 如图所示，在连接正八边形的三 个顶点而成的三角形中，与
正八边形有公共边的三角形有________个．

答案：40 解析：分两类：
①有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；
②有两条公共边的三角形共有8个．
故共有32＋8＝40(个)．
11．用红、 黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小
正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的 小正方形所涂颜色都不相
同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.
1
4
7
2
5
8
3
6
9
答案：108 解析：把区域分为三部分，
第一部分1,5,9，有3种涂法．
第二部分4,7,8，
当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；
当5,7异色时，7有2种涂法，4,8均只有1种涂法，
故第二部分共4＋2＝6种涂法．
第三部分与第二部分一样，共6种涂法．
由分步乘法计数原理知，共有3×6×6＝108(种)涂法．
[强化训练]
1． [2019山东济南质检]有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的
裙子，另有2套不同样式的连衣裙． “五一”节某同学需选择一套服
装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式( )
A．24 B．14

C．10
＝12(种)方式；
D．9
答案：B 解析：第一类：一件衬衣、一件裙子搭配一套服装有4×3
第二类 ：选2套连衣裙中的一套，有2种选法．
由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式．
2．[2019甘肃兰州一中期末]第一届“一带一路”国际合作高峰论
坛于2017年5月1 4日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的
安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个 区域内工作，且
每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有( )
A．96种
C．124种
B．100种
D．150种
答案：D 解析：因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以
把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按 照1,1,3来分，另
一种是按照2,2,1来分．
113
C
5
C
4
C
3
3
当按照1,1,3来分时，不同的分法共有N
1< br>＝
A
2
A
3
＝60(种)；
2
221C
5
C
3
C
1
当按照2,2,1来分时，不同的分法共 有N
2
＝
A
2
A
3
3
＝90(种)． < br>2
根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N
1
＋N
2< br>＝
150(种)，故选D.
3．[2019重庆模拟]对图中的A，B，C，D四个区 域染色，每块
区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.
A B
C D
现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有
( )
A．12种
C．20种
B．18种
D．22种
答案：B 解析：若A，D染色相同，先染A，D处，有3种方法，
再染 B处，有2种方法，最后染C处，有2种方法，共有3×2×2＝

12种；
若A，D染色不同，先染A处，有3种方法，再染D处，有2种
方法，然后染B处，有1种方法 ，最后染C处，有1种方法，共有
3×2×1×1＝6(种)．
根据分类加法计数原理，可得共有12＋6＝18(种)不同的染色方
法，故选B.
4.[2019武汉模拟]如图所示，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的
线条爬行到点C，再由点C沿着 置于水平面的长方体的棱爬行至顶点
B，则它可以爬行的不同的最短路径有________条( )

A．40
C．80
的最短路径有：
B．60
D．120
答案：B 解析：蚂蚁从A到C需要走五段路，如图，则A到C

ABDEFC，ABTEFC，ABTS FC，ABTSMC，AQTEFC，AQTSFC，

AQTSMC，AQPSFC，AQPSMC，AQPNMC，共有10条路径．
从C到B共有3×2＝6(条)路径．
根据分步乘法计数原理可知，蚂蚁从点A到点B可以爬 行的不同
的最短路径有10×6＝60(条)，故选B.
5.[2019石家庄模拟]满足a ，b∈{－1,1,2}，且关于x的方程ax
2
＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b )的个数为 ( )
A．9
C．7
的条件为Δ＝2
2
－4ab＝4－4ab≥0，
当a＝－1时，b＝－1,1,2，共3种情况；
当a＝1时，b＝－1,1，共2种情况；
当a＝2时，b＝－1，有1种情况．
共有3＋2＋1＝6(种)情况．
6．[2 019郑州模拟]有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班
的数学，在数学检测时要求每位教师不能 在本班监考，则监考的方法
有( )
A．8种
C．10种
B．9种
D．11种
B．8
D．6
答案：D 解析：由a，b的取值可知，ax
2
＋2x＋b＝0有实数解
答案：B 解析：设四位 监考教师分别为A，B，C，D，所教的
班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下 的三个班，
共有3种不同方法，
同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，
故共有3×3＝9(种)．
7．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从点P处进，点Q< br>处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同的游览
线路有 ( )

A．6种
C．12种

B．8种
D．48种
答案：D 解析：从点P处进入交点O以后，游览每 一个景点所
走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入
另外两个景点 ，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16(种)不同的方法；若
先游览B景点，有16种不同的方法； 若先游览C景点，有16种不同
的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48(种)．
8．x＋y＋z＝10的正整数解的组数为________．
答案：36 解析：可按x的值分类：
当x＝1时，y＋z＝9，共有8组；
当x＝2时，y＋z＝8，共有7组；
当x＝3时，y＋z＝7，共有6组；
当x＝4时，y＋z＝6，共有5组；
当x＝5时，y＋z＝5，共有4组；
当x＝6时，y＋z＝4，共有3组；
当x＝7时，y＋z＝3，共有2组；
当x＝8时，y＋z＝2，共有1组，
8×9
由分类加法计数原理可知，共有8＋7 ＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝
2
＝36(组)．
9．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
(1)y＝ax
2
＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？
(2)y＝ax
2
＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
解：(1)y＝ax
2
＋bx＋c表示二次函数时，
a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，

c的取值有6种情况，
因此y＝ax
2
＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数． < br>(2)y＝ax
2
＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c
的取值均有6种情况，因此y＝ax
2
＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)
图 象开口向上的二次函数．
10．用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．

图1 图2
(2)若为图2着色时共有120种不同的方法，求n.

(1)若n＝6，为图1着色时共有多少种不同的方法？
解：(1)分四步：第1步涂A有6 种不同的方法；第2步涂B有5
种不同的方法；第3步涂C有4种不同的方法；第4步涂D有4种不同的方法．
根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480(种)不同的方法．
(2)由题意，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，注意到n∈N
*
，可得n＝5.