(完整版)小学奥数:格点型面积(毕克定理)
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小学奥数:格点型面积(毕克定理)
板块一 正方形格点问题
在一张纸上
,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定
是1个单位
),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点.在方格网中,以格点为顶
点画出
的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.
那么,格点多边形的面
积如何计算?它与格点数目有没有关系?如果有,这两者之间的关系能否用计算
公式来表达?下面就让我
们一起来探讨这些问题吧!
用N表示多边形内部格点,L表示多边形周界上的格点,S表示
多边形面积,请同学们分析前几个例
题的格点数.
我们能发现如下规律:
SN<
br>L
1
.这个规律就是毕克定理.
2
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点,它的边界上有L个格点,
则它的面积为
SN
L
1
.
2
【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子
连结起来
就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?
面积等于
2平方厘米的三角形有多少个?
【例 2】
如图,
44
的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有 个.
【例 3】
判断下列图形哪些是格点多边形?
⑵
【例 4】
如图,计算各个格点多边形的面积.
⑴
⑶
⑷
【巩固】如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么?(教
师总结:面积数值均扩大4
倍.)
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
【例 5】
如图(a),计算这个格点多边形的面积.
I
III
(b)(c)
II
(a)
【例 6】
(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网,计算阴影部分的面积.
D
F
A
1cm
C
1cm
EB
【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积.
⑴
⑵
【巩固】求下列各个格点多边形的面积.
⑴
⑵
⑶
【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?
⑷
【例 9】 右图是一个
812
面积单
位的图形.求矩形内的箭形
ABCDEFGH
的面积.
H
G
A
C
B
E
D
F
【例 10】
右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?
【巩固】如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?
【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)
55
的方格
纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点
称为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格
点都不在一条直线上,并且使这7个点用
直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是
平方厘米.
【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲
区城市小学数学邀请赛在7月21
日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三
个数字所占的面积之和是多少?
【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个
边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格.现
将这两个正方形的一部分重叠起来,若左上角的
阴影部分(块状)面积为
5.12cm
2
,右下角的阴影部
分(线状)面积为
7.4cm
2
,求大正方形的面积.
【例 14】
(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54,AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四<
br>边形CEPQ的面积.
A
P
F
A
P
F
B
Q
C
D
EB
Q
C
D
E
板块二
三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指:每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边
三角形.规定它的面
积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.
关于三角
形格点多边形的面积同样有它的计算公式:如果用S表示面积,N表示图形内包含的格点数,L表
示图形
周界上的格点数,那么有
S2NL2
,就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数
的2倍与
周界上格点数的和减去2.
【例 15】 如图(a),有21个点,每相邻三个点
成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.计算
三角形ABC的面积.
A
C
B
B
A
E
F
D
(b)
C
【巩固】如图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算
V
AB
C的面积.
A
C
B
(a)
【例 16】
求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形).
【例 17】 把大正三
角形每边八等分,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中
粗线所围成的三角
形的面积.
⑴⑵
⑶
⑷
【例 18】
如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?
【例 19】
把同一个三角形的三条边分别5
等分、7等分(如图1,图2),然后适当连接这些等分点,便得
到了若干个面积相等的小三角形.已知
图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分
的面积是______平方分米.
【例 20】
将图中的图形分割成面积相等的三块.
【例 21】
如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问:大正六角星形面积是多少平方厘米?
【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米.M是
AB中点,N是CD中
点,P是EF中点.问:三角形MNP的面积是多少平方厘米?
AM
B
F
P
E
B
R
C
N
DC<
br>N
D
S
M
A
Q
F
P
E
【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构
成的三角形面积都是2平方厘米.那么,三角形ABC的面积是
_____平方厘米.