小学奥数格点型面积毕克定理
lol薇-六千
小学奥数：格点型面积（毕克定理）
板块一 正方形格点问题
在一张纸上
，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距
离都相等(通常规定是1个单位
)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫
做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出
的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的
乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么
，格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有，这两者之间的关
系能否用计算公式来表达
下面就让我们一起来探讨这些问题吧！
用
N
表示多边形内部格点，
L
表示多边形周界上的格点，
S
表示多边形面积，请同
学们分析前几个例题的
格点数．
我们能发现如下规律：
SN
L
1
．这个规
律就是毕克定理．
2
毕克定理
若一个格点多边形内部有
N
个格点，它的边界上有
L
个格点，
【例 1】 用9个钉子钉成
相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当
的三个钉子连结起来就得到一个三角形，
这样得到的三角形中，面积等于1平方厘
米的三角形的个数有多少
面积等于2平方厘米的三角形有多少个
【例 2】
如图，以棋子为顶点的正方形有 个．
44
的方格纸上放了16枚棋子，
【例 3】
判断下列图形哪些是格点多边形
【例 4】
如图，计算各个格点多边形的面积．
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结
果说出相应面积么(教师总结：面
积数值均扩大4倍．)
【例 5】
如图(
a
)，计算这个格点多边形的面积．
【例 6】
(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的
面积．
【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．
⑴
⑵
【巩固】求下列各个格点多边形的面积．
【例 8】
我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少
【例 9】 右图是一个
812
面积单位的图形．求矩形内的箭形
ABCDEFGH
的面积．
【例
10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少
【巩固】
如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多
少平方厘米
【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)
55
的方格纸，小方格的面积是
1平方厘米，
小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一
条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形
的面积是
平方厘米．
【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一
届保良局亚洲区城市小学数
学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么
7、2、
1三个数字所占的面积之和是多少
【例 13】 (第六届“从小爱数学”
邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大
小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠
起来，若左上角的阴影部分(块
状)面积为
5.12cm
2
，右下角的阴影部
分(线状)面积为
7.4cm
2
，求大正方形的面积．
【例
14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形
ABCDEF
的面积是54，
AP<
br>=2
PF
，
CQ
=2
BQ
，
求阴影四边形<
br>CEPQ
的面积．
板块二 三角形格点问题
所谓三角形格点多边
形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三
角形．规定它的面积为1，以这样的
点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公
式：如果用
S
表示面积，
N
表示图形内包
含的格点数，
L<
br>表示图形周界上的格点数，那么有
S2NL2
，就是格点多边形面积等
于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
【例 15】 如图(
a
)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是
等边三角形．计算三
角形
ABC
的面积．
【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积
为1的等边三角形，计算
V
ABC
的面
积．
【例 16】
求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三
角形)．
【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的
面积
是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．
【例 18】 如图，如果每一
个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形
ABCD
的面积是
多少平方厘米
【例 19】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这
些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294
平方分米，那么图
2中阴影部分的面积是______平方分米．
【例 20】
将图中的图形分割成面积相等的三块．
【例 21】
如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积
是多少平方厘米
【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形
ABCDEF
的面积是6平方厘米
．
M
是
AB
中点，
N
是
CD
中点，
P
是
EF
中点．问：三角形
MNP
的面积是多少平方厘米
【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角
形
ABC
的面积是_____平方厘米．