小学奥数：格点型面积毕克定理
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小学奥数：格点型面积（毕克定理）
正方形格点问题板块一
通
常规定并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直
直线，，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格
点为顶
)个单位是1 点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格
点多边形．那
么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间
的关系能否用计算
公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！
S用 题的格点数．L．这个规律就是毕克定理．
我们能发现如下规律：1SN
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
L．则它的面积为 1NS2
请同学们分析前几个例表示多边形面积，N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，
2毕克定理
【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一
根皮筋将适当的三个
钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角
形的个数有
多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【例
2】 如图，的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个． 44
断下列图形哪些是格点多边形？判3】 【例
⑵⑴⑶⑷ 如图，计算各个格点多边形的面积． 4【例 】
⑴⑵⑶⑹⑸⑷
4【巩固】如果两格点之
间的距离是2教师总结：面积数值均扩大，能利用刚计算的结果说出相
应面积么？( 倍．)
【例 5】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
IIIIII(a)(c)(b)
【例 6】
(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面
积．
DAFCEB1cm
1cm
别计算图中两个格点多边形的面积． 分【例 7】
⑴ ⑵
【巩固】求下列各个格点多边形的面积．
⑴⑵⑶⑷
们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？8】 我 【例
面积单位的图形．求矩形内的箭形右
图是一个的面积．】 【例9ABCDEFGH812
HGFAEDCB
，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？右图中每个小正方形的面积都是1 10】
【例
平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，每
一个小方格的面
积都是1
(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)
平方厘米，小方格的顶点的方格纸，小方格的面积是1
【例 11】55个点用个格点都不在一条直
线上，并且使这77个格点，要求其中任意3称为格点．请
你在图上选
平方厘米．直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积
是
21月)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 12】
(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛
试题【例 三个数字所占的面积之和是多少？、1，那么7、2下
面的图形中，日开幕，每一个小
方格的面积是1
现个大小相同的小方格．)两个边长相等的正方形各被分成25邀请赛试题【例 13】 (第六届“从
小爱数学”
2
，右下角的阴影部)面积为块状将这两个正方形的一部分重叠起来，若左
上角的阴影
部分(5.12cm
2
，求大正方形的面积．线状分()面积为7.4cm
()ABCDEF54AP2
的面积．CEPQ边形
，求阴影四BQCQ，=2PF=，的面积是图中正六边形第六届“华杯赛”试题 14【例
】
PPFFAA
EBEQCCDD
板块二 三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所<
br>形成的三角形都是等边三角形．规定它的面 积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形
格
点多边形．表N表示图形内包含的格点数，L关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算
公式：如果用
S表示面积，倍与示图形周界上的格点数，那么有，就是格点多边形面积等于图
形内部所包含格点数的2
2NLS2 2．周界上格点数的和减去，所形成的三角形都是等边三角
形．计算21个点，每
相邻三个点成“∵”或“∴”如图(a)，有【例 15】
ABC的面积．三角形
AA
1【巩固】如图，
ECCDF
BB)a()b(
的面积．
每相邻三个点所形成的三角形都是面积为的等边三角形，计算ABC
A
CB
．
求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)【例 16】
⑵⑴⑷⑶
，求图中【例把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是 】
17128 粗线所围成的三角形的面积．
的面积是多少平方厘米？平方厘米，那么四边形如图，如果每一个小三角形的面积是】
【例
18 1ABCD
，然后适当
连接这些等分点，便得2)(把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分如图1，图
19【例 】
中阴影部分平方分米，那么图2到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是
294 平方分米．的面积是______
【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．
问：大正六角星形面积是多少平方厘米？】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘
米，21【例
中平方厘米．是CDNM是AB中点，ABCDEF( 【例22】
第五届“华杯赛”试题)正六边形的
面积是6 的面积是多少平方厘米？是EF中点．问：三角形MNP
点，
P
QFFAAPMMPEEBBSRDCCDNN
的面积是平方厘米．那么，三角形2ABC如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是】
【例23
平方厘米．_____