四年级奥数《高斯求和》答案及解析
终南山黑暗的一面-英语学习计划
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算
出答案等于5050。高斯为什
么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算
为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”
的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后
一项
称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例
如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，
公差为
2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1
1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1
，末项是1999，共有1999
个数。由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2
11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项
是11，末项是31，共有31-11
＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一
目了然的，这时就需要先求出项数。根据首
项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-
首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3
3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）
最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数
也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒
子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后
放回盒子里；第二次又
从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十
次从盒子里拿出十只球，将每只球各
变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒
乓球？
分析与解：一只球变成3只球，
实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2
只球……第十次多了2×10只球。因此拿了
十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
解：项数=（末项-
首项）÷公差+1=（200-2）÷2+1=1
和=（首项+末项）×项数÷2，
所以2＋4＋6＋…＋200=（2+200）×100÷2=10100
（2）17＋19＋21＋…＋39；
解：项数=（末项-
首项）÷公差+1=（39-17）÷2+1=12
和=（首项+末项）×项数÷2，
所以17＋19＋21＋…＋39=（17+39）×12÷2=336
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
解：项数=（末项-
首项）÷公差+1=（50-5）÷3+1=16
和=（首项+末项）×项数÷2，
所以5＋8＋11＋14＋…＋50=（5+50）×16÷2=24200
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
解：项数=（末项-
首项）÷公差+1=（101-3）÷7+1=15
和=（首项+末项）×项数÷2，
所以3＋10＋17＋24＋…＋101=（3+101）×15÷2=780
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
解：项数=（末项-首项）÷公差+1=（93-5）÷4+1=23
所以，和=（首项+末项）×项数÷2=（5+93）×23÷2=1127
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
解：末项=首项+公差×（项数-1）=13+5×（30-1）=158
所以，和=（首项+末项）×项数÷2=（13+158）×30÷2=2565
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲
打多少次？
解：有题可知，时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，时钟整点敲打的次数构成
了首
项为1，末项为12，公差为1的等差数列：1，2，3，4，5，…，12。
那么时钟每小时整点敲打的次数的和=（首项+末项）×项数÷2=（1+12）×12÷2=78；
因为每半点钟也敲一下，所以半点钟敲打总次数为12，所以时钟每小时共敲打78+12=90次；
所以时钟一昼夜敲打次数为90×24=2160
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
解：100以内除以3余2的数有，（1×3+
2），（2×3+2），（3×3+2），…（32×3+2）；
构成了首项为5，末项为98，公差为3的等差数列，
因为，项数=（末项-
首项）÷公差+1=（98-5）÷3+1=32
所以，和=（首项+末项）×项数÷2=（5+98）×32÷2=1648
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
解：十位数比个位数大的数中，
十位数为10的有1个：10；十位数为2的有2个：20,21；
十位数为3的有：30,31,32
；十位数为4的有4个：0,41,42,43；以此类推，十位数为9
的有9个：90,91,92,
93,94,95,96,97,98。因此则构成了首项为1，末项为9，公差为1的
等差数列。
因为和=（首项+末项）×项数÷2=（1+9）×9÷2=45
所以十位数比个位数大的数共有45个。