无线网络密码查看器-莅临什么意思

利用均值不等式求最值的方法

均值不等式
ab
ab( a0，b0，
当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它
2
可以求 解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能
利用均 值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。

一、配凑
1. 凑系数
例1. 当
0x4
时，求
yx(82x)
的最大值。 解析：由
0x4
知，
82x0
，利用均值不等式求最值，必须和 为定值或积为定值，此题为两个
式子积的形式，但其和不是定值。注意到
2x(82x) 8
为定值，故只需将
yx(82x)
凑上一个系
数即可。
y x(82x)
112x82x
2
[2x·(82x)]()8

222
当且仅当
2x82x
，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，
yx(82x)
的最大值为8。
评注：本题无法直接 运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最
大值。

2. 凑项
例2. 已知
x
51
，求函数
f(x)4x2
的最大值。
44x5
1
不是定值，故需对
4x2
进行凑
4x5
解 析：由题意知
4x50
，首先要调整符号，又
(4x2)·
项才能得到 定值。
∵
x
5
，54x0

4
11
1
(54x)3
2(54x)·3231

4 x554x
54x
∴
f(x)4x2
当且仅当
54x 
1
，即
x1
时等号成立。
54x
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离

1

x
2
7x10
(x≠1)
的值域。 例3. 求
y
x1
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1 ）的项，再将其分离。
x
2
7x10(x1)
2
5(x 1)44
y(x1)5

x1x1x1
当
x10
，即
x1
时
y2(x1)·
4
59
（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
x1
当
x10
，即
x1
时
y52(x1)·
4
1
（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 x1
x
2
7x10
(x≠－1)
的值域为
( ，1][9，)
。 ∴
y
x1
评注：分式函数求最值，通常化成< br>ymg(x)
然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换
例4. 已知
a0，b0，a2b1
，求
t
解法1：不妨 将
A
B(A0，m0)
，g(x)恒正或恒负的形式，
g(x)
11

的最小值。
ab
11

乘以1，而1用a＋2b代换。
ab
1111
()·1()·(a2b)

abab
1
2ba
2
ab
2ba
3
ab

2ba
32·
ab
322

a21

2ba
2ba




时取等号，由
< br>a
当且仅当
b
，得

2
ab

b1

a2b1
2


2


a21
11

t
的最小值为
322
。 即

时，
2
ab

b1
2
解法2：将
11

分子中的1用
a2b
代换。
ab
a2ba2b2ba
12
abab

2 ba
3322
ab
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到
t3 
求得
t

三、换元
例5. 求函数
y
2b a2ba

，而与的积为定值，即可用均值不等式
abab
11
< br>的最小值。
ab
x2
的最大值。
2x5
解析：变量代换，令
t
当t＝0时，y＝0
当
t0
时，
y
x2
，则
xt
2
2(t0 )，则y
t
2t1
2

1
2t
1
t

1
22t·
1
t

2

4当且仅当
2t
1
2
，即
t
时取等号。
t
2
故
x
32
。
时，y
max
24
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求 最值问题，从而
为构造积为定值创造有利条件。


四、取平方
例6. 求函数
y
15
2x152x(x)
的最大值。
22
解析：注意到
2x1与52x
的和为定值。

3

y
2
(2x152x)
2
42(2x 1)(52x)
4(2x1)(52x)8
又
y0
，所以< br>0y22

当且仅当
2x152x
，即
x
故
y
max
22
。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我 们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，
积极创造条 件利用均值不等式。

［练一练］
1. 若
0x2
，求
y
2. 求函数
y

3
时取等号。
2
x(63x)
的最大值。
1
x(x3)
的最小值。
x3
x
2
8
(x1)
的最小值。 3. 求函数
y
x1
4. 已知
x0，y0
，且
119
，求
xy
的最小值。
xy
4

9
参考答案：1.


3
2. 5 3. 8 4.
新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）
典题精讲
例 1（1）已知0＜x＜
（2）求函数y=x+
1
，求函数y=x(1-3x)的最大值 ;
3
1
的值域.
x
思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某 个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）
中，未指出x＞0，因而不能直接使用 基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.
1
,∴1-3x＞0.
3
113x(13x)
2
111
∴y=x(1-3x)= ·3 x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，
3321266
1
函数取得最大值.
12
（1）解法一：∵0＜x＜

4

11
,∴-x＞0.
33
1
xx
11 11
3
∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］
2
=，当且仅当x=- x,即x=时，等号成立.
31236
2
11
∴x=时，函数取得最大值.
612
解法二：∵0＜x＜
（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+
1
1
≥2
x
=2，当且仅当x=1时，等号成立.
x
x
当x＜0时，y=x+
1
1
=-［(-x)+］. < br>x
(x)
∵-x＞0,∴(-x)+
1
1
≥2,当且仅当- x=
,即x=-1时，等号成立.
x
(x)
∴y=x+
1
≤-2.
x
1
的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).
x
综上,可知函数 y=x+
绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件 ，同时要
注意等号成立的条件是否具备.
1
的最小值.
x1
1
思路分析：x＞-1

x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
x1
变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+
解：∵x＞-1,∴x+1＞0.
∴f(x)=x+
11
1
=x+1+-1≥2
(x1)
-1=1.
x1x1
(x1)
1
,即x=0时,取得等号.
x1
当且仅当x+1=
∴f(x)
min
=1.
x
4
3x
2
3
变式训练2求函数y=的最小值. 2
x1
思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前 面求最值的方法不易求
解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.
解：令t=x
2
+1，则t≥1且x
2
=t-1.
x4
3x
2
3
(t1)
2
3(t1)3t< br>2
t11
t1
. ∴y==
2
ttt
x 1
∵t≥1,∴t+
≥2
t
1
t
1
1
=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.
t
t
∴当x=0时，函数取得最小值3.

5

< br>例2已知x＞0,y＞0，且
1
9
+=1，求x+y的最小值.
x< br>y
思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要 的变形，下
面给出三种解法，请仔细体会.
解法一：利用“1的代换”,
∵
1
9
+=1,
x
y
1
x
∴x +y=(x+y)·(+
9y9x
)=10+

.
yxy
∵x＞0,y＞0,∴
y9x

≥2
xy
y9x
=6.

xy
当且仅当
y9x

，即y=3x时，取等号.
xy
又
1
9
+=1,∴x=4,y=12.
x
y
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.
解法二：由
1
9y
+=1，得x=.
x
yy9
∵x＞0,y＞0,∴y＞9.
x+y=
y
y 99
99
+y=y+=y++1=(y-9)++10.
y9
y9y9y9
∵y＞9,∴y-9＞0.
∴
y99
9
≥2
(y9)
=6.
y9
y9
当且仅当y-9=
9
，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x =4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由
y9
1
9
+=1， 得y+9x=xy,
x
y
∴(x-1)(y-9)=9.
∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2
(x1)(y9)
=16,
当且仅当x-1=y-9时取得等号.又
1
9
+=1,
x
y
∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.

6

绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足
的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问
题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.
黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：
1
9
6
9
+
≥2
①,即
≤1,∴
xy
≥6.
x
y
xy
xy
∴x+y≥2
xy
≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.
产 生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是
1
9
=，不等式②等号成立的条件是x =y.在同一个题目
x
y
中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立 的条件不同，会导致错误结论.
变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,
思路分析：本题属于“1”的代换问题.
解：x+y=(x+y)(
ab

=1，x+y的最小值为18，求a,b的 值.
xy
abbxaybxay

)=a+

+b=10+.
xyyxyx
∵x,y＞0,a,b＞0，
∴x+y≥10+2
ab
=18，即
ab
=4.
又a+b=10，
∴


a2,

a8,
或


b8b2.

4
的最小值（0＜x＜1）.
lgx
例3求f(x)=3+lgx+
思路分析：∵0＜x＜1,
∴lgx ＜0,
4
＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加 上负
lgx
号变正数.
解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,
44
＜0.∴-＞0.
lgxlgx< br>∴(-lgx)+(-
4
4
)≥2
(lgx)(
)
=4.
lgx
lgx
∴lgx+
44
≤-4.∴f(x)=3+ lgx+≤3-4=-1.
lgxlgx
1
4
,即x=时取得等号.
100
lgx
7
当且仅当lgx=

则有f(x)=3+lgx+
4
(0＜x＜1)的最小值为-1.
lgx
黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.
51
，求函数y=4x-2+的最大值.
44x5
5
思路分析： 求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0.
4
5
解：∵x＜,∴4x-5＜0.
4
11
y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3
4x554x
变式训练1已知x＜
≤-2
(54x)
当且仅当5-4x=
1< br>+3=-2+3=1.
54x
1
,即x=1时等号成立.
54x
所以当x=1时，函数的最大值是1.
38
时，求函数y=x+的最大值.
22x3
8
思路分析：本题 是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些
2x318332x83

技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（）+,再求 最值.
22x32232x2
18332x83

解：y=（2x- 3）++=-（）+，
22x32232x2
3
∵当x＜时，3-2x＞0，
2
变式训练2当x＜
∴
32x832x81
32x8

≥
2
=4，当且仅当，即x=-时取等号.

232x23 2x2
232x
于是y≤-4+
355
=

，故函数有 最大值

.
2
22
例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方 形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

图3-4-1
（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m
2
，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度
最小？
思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大 值；而(2)则是在
xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.
解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为S，则S=xy.
方法一：由于2x+3y≥2
2x3y
=2
6xy
,

8

∴2
6xy
≤18,得xy≤
2727
，即S≤.
22
当且仅当2x=3y时等号成立.
由


2x2y ,

x4.5,
解得


2x3y18,
y3.


3
y.
2
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18，得x=9-
∵x＞0,∴0＜y＜6.
S=xy=(9-
33
y)y= (6-y)y.
22
∵0＜y＜6,∴6-y＞0.
∴S≤
3(6y)y
2
27
［］=.
222
当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时，可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:∵2x+3y≥2
2x3y
=2
6xy
=24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由


x6,

2x3y,
解得



y4.

xy24,
24
.
y
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小.
方法二:由xy=24 ，得x=
∴l=4x+6y=
961616
16
+6y=6(
+y) ≥6×2

y
=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.
yyy
y
故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.
绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：
（1）x,y都是正数；
（2）积xy（或x+y）为定值；
（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4- 2所示),由
于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道 隔墙建造单价为每米
248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理 池的长和宽,使总造价最低,并
求出最低造价.

图3-4-2
思路分析 ：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性

9

进行求解.
200200
米(0＜x≤16,0＜
≤16),∴12.5≤x≤16.
xx
200200
于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200 .
xx
解：设污水处理池的长为x米,则宽为
=800(x+
324
324
)+16 000≥800×2
x
+16 000=44 800,
x
x
当且仅当x=
324
(x＞0),即x=18时等号成立,而18

［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800.
x
下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.
对任意12.5 ≤x
1
＜x
2
≤16,则x
2
-x
1
＞0 ,x
1
x
2
＜16
2
＜324.
Q(x
2
)-Q(x
1
)=800［(x
2
-x
1
)+3 24(
11

)］
x
2
x
1
=800×
(x
2
x
1
)(x
1
x
2
3 24)
＜0,
x
1
x
2
∴Q(x
2
)＞ Q(x
1
).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.
∴Q(x)≥Q(16)=45 000.
答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.
问题探究
问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度 升高.当住第n层楼时,上下楼
造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因 此随着楼层的升高,环境不满意度降低.
设住第n层楼时,环境不满意程度为
8
.则此 人应选第几楼,会有一个最佳满意度.
n
导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的 问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据
基本不等式求解即可.
探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.
由题意知y=n+
8
.
n
∵n+
8
8
≥2
n
42
,
n
n
当且仅当n=
8
,即n=
22
时取等号.
n
但考虑到n∈N
*
,
∴n≈2×1.414=2.828≈3,
即此人应选3楼,不满意度最低.



10