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第18讲 简单乘除法竖式
内容概述
补全乘法和除法竖式中缺少的数字， 基本方法为依据运算规则推理与枚举试算，
重点掌握末位分析和大小估计的方法。

典型问题
兴趣篇
1. 如图18-1，请在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。






【答案】
475687=332976

【详解】从末尾入手，注意进位。以下以后两空为例：

以此往前推即可！
2. 图18-2是一个残缺的乘法竖式，这个算式的结果是多少？





【答案】1012

【详解】黄金三角，乘法末尾规律。



3. 如图18-3，在图中的空格内填入合适的数字后，能使乘法竖 式成立（其中的3
表示两个乘数的个位数字相乘时向十位进3）。请问：这个算式的结果是多少？





【答案】315
【详解】

4. 如图18-4，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。

【答案】245×36=8820
【详解】末尾入手



5. 图18-5是一个残缺的乘法算式，现在知道其中一个位置上的数字为8，这个
算式的结果是多少？




【答案】1068
【详解】看积位数特征


6. 在如图18-6所示的乘法竖式中，△、□、○、◇分别代表不同的数字，问：
这个三位数是多少？

【答案】634
【详解】（1）从首位入手，△×7+前面进位=44，△可推出为6。
（2）则说明□×7的进位为2，□×7+前面进位=2□，□只可能为3
（3）○×7=2◇，因为图形不同数字不同，所以○只能取4, 4×7=28。

7. 如图18-7，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。






【答案】595÷7=85
【详解】(1)从8×□=5□入手，只可能为8×7=56，所以除数确定为7；
(2)7×□=3□，只能为7×5=35，所以得出商的个位为5；
(3)把竖式补充完整即可。

8. 如图18-8，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。





【答案】1431÷27=53
【详解】（1）27×□=□□5，个位为5的数必为5的倍数，可推出商的十位为5。
（2）27×□=□1，结尾为1，只可能为27×3=82，可推出商的个位为3。
（3）把竖式补充完整即可。

9. 如图18-9，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。





【答案】1533÷73=21或1638÷78=21
【详解】


2×□□=□□6
□×□□=7□


10. 如图18-10，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。





【答案】1044÷9=116
【详解】







（1）被除数的千位为1。
（2）同理，该处十位为1。
（3）□□－□=1，只可能为10-9=1
所以可推出被除数前两位为10，除数为9，商的前两位为11。
（4）9×□=5□，只可能为9×6=54，所以商的个位为6。
（5）补充竖式完整即可。
（1）除数相同，2×它为3位数，下行为2位数，说明下
行第一个数只能为1。即商的个位为1；
（2）1×□□=7□，说明除数的十位为7；
（3）2×7□=□□6，尾数为6，说明除数的个位可以为3，
也可以为8；
（4）把竖式补充完整即可。

拓展篇
1. 如图18-11，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。





【答案】142857×3=428571
【详解】（1）从末尾入手，只可能为7×3=21，所以推出乘数为3。
（2）从后往前推，注意进位即可。

2. 如图18-12，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。




【答案】922×7=6454
【详解】（1）从高位推，9×□+进位=6□，试推为9×7=63，则乘数为7；
（2）从后推2×7=14，进位1；2×7+1=15.......
（3）把竖式补充完整即可。
3. 如图18-13，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。






【答案】17×64=1088
【详解】

（1）填8
（2）7×□=□8，只有7×4=28，所以第2行个位为4
（3）4×□7=□8，只有4×17=68，所以第1行十位为1
（4）补充完整竖式即可
4. 如图18-14，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。






【答案】415×382=158530
【详解】（1）从倒数第2行的末尾和倒数第1行的末尾可推出第一行的个位为5
（2）□15×3=□2□5，可推出只有415×3=1245，可推出第一行为415
（3）415×□=3□2□，可推出只有415×8=3320
（4）补充完整竖式即可

5. 在图18-15所示的乘法竖式中，有些数字被三角形纸片盖住了，请问：算式的
结果是多少？





【答案】1056
【详解】（1）△△×2=三位数，△△×△=两位数，可推出第二行的十位必为1
（2）△△×1=△8，可推出第一行的个位为8

（3）△+8=末尾5，只有7+8=15，所以第3行十位为7
（4）△8×2=△7△，只有88×2=176，可推出第一行十位为8
（5）补充完整竖式即可。

6. 图18-16是一个残缺的乘法算式，请补充完整并求出这个算式的结果。





【答案】98×19=1862
【详解】






（1）只可能为9+9=18或9+8+进位1=18
（2）假设是有进位1，则倒数第二行的十位只能为9，倒数第3行的百位
为8
（3）□□×□=9□，只能为9□×1=9□，所以第一行十位为9，第二行
十位为1
（3）9□×□=88□，只能为98×9=882，所以第一行为98，第二行个位
为9
（4）补充完整竖式即可。
7. 如图18-17所示的竖式中，不同的汉字代表不同的数字 ，“车”、“马”、“炮”
分别代表什么数字？





【答案】8，6，4
【详解】（1）炮+炮=车（无进位），说明车=2×炮，车为偶数
（2）车×车=□炮，用车等于2,4,6,8去试，发现只有8×8=64合适
（3）得出车=8，所以炮=4，补充竖式完整即可得出马=6

8. 如图18-18，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。





【答案】6977÷64=109.......1 【详解】（1）直观上，商的十位为0，倒数第3行末尾为7，因余数为1，所以
倒数第2行末尾为 6
（2）6□×9=□□6，末尾为6，只有64×9=576，所以除数为64
（3）64×□=□□，只能为64×1=64，所以商的百位为1
（4）把竖式补充完整即可

9. 如图18-19，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。










【答案】1008÷9=112
【详解】（1）黄金三角得出，第4行的十位为1，则被除数
的前两位为10，第3行为9，得出除数为9，商的前两位
为11。
（2）补充完整竖式即可。

10. 如图18-20，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。








【答案】117684÷12=9807
【详解】
（1）□×除数=3位数，8×除数=2位数，则□只能为9，除数为12
（2）商的十位显然为0
（3）把竖式补充完整即可

11. 图18-21是一个残缺的除法竖式，这个算式中的被除数是多少？







【答案】11087
【详解】（1）从余数必小于除数上判断，除数必为99
（2）99×□=□□，只可能为99×1=99，所以商为111
（3）补充竖式完整即可

12. 在如图18-22所示的竖式 中，不同的汉字代表不同的数字，请找出每一个汉
字对应的数字，并把这个竖式写出来。




【答案】408÷6=68
【详解】
（1）喝×喝=□喝；茶×喝=□茶；
符合第一个式子的只有6×6=36和5×5=25；
明显当喝=5时，第二个式子不能成立，所以喝=6
（2）6×8=48时，才符合茶×喝=□茶，所以茶=8
（3）补充竖式完整即可得出上=4，好=0


超越篇
1. 如图18-23，在图中的空格内填入1、2、3、4、5、6、8这几个数字（其中2
已经填好），每 个数字使用一次，使竖式成立。




【答案】158×4＝632
【详解】从个位数字突破，只能是3×4，4×8，6×7，一 一验证有158×4＝632
满足。

2. 如图18-24，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。

【答案】992×19＝18848
【详解】从乘积的个位数字为8突破，只 能是1×8，2×4，2×9，3×6，乘积
的万位数字只能为1，结合千位和百位均为8，验证有99 2×19＝18848满足。

3. 如图18-25，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。





【答案】19×98=1862
【详解】
第三行的百位只能是 1，最小为150，最大为159，而被乘数1□与乘数的个位数
字□，最大为19×9＝171，其次 为19×8＝152，18×9＝162，…
只有19×8满足，所以被乘数为19，乘数的个位数字为8．
而最终的积最小为18**，所以乘数的十位数字只能为9，即乘数为98．
1
< br>1
1
1
7
8
9
5
1
62
9
8
2
，显然算式的乘积为1862．


4. 如图18-26，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。





【答案】
47×69＝3243

【详解】

解法一：因为49×8＝392，小于400，所以乘数的个位数字是9，又44×9＝396， 小
于400，所以乘数只能是45，46，47，48，49，逐个检验，只有47×69＝3243满 足题

意．
解法二：第一个乘数最大是49，如果第二个乘数的个位为8，那么 49×8＝392，小于400．所
以第二个乘数的个位数字只可能等于9．
进一步可以推出 第一个乘数的个位数字一定大于或等于5，否则第一个乘数乘上9以后
肯定小于400．
于是 第一个乘数的个位数字只可能是5、6、7、8、9中的一个．如果第一个乘数的个位
是5，那么45× 9＝405．
因此第二个乘数的十位数字乘上45所得的积的个位数字应该等于4（否则两个乘数的积
的十位数字就不可能等于4），而45乘任何一个数之后，个位只能等于0或5，不等于4，
所 以第一个乘数的个位不等于5．
同样可知第一个乘数的个位也不可能等于6、8和9．
而当 第一个乘数的个位数字等于7时，47×9＝423，并且47×6＝282，正好可以满足两
个乘数的 积的十位等于4．
我们还可以知道47乘上6以外的其他任何一个数字，个位都不可能等于2，因此答 案是
唯一的：47×69＝3243．


5. 在如图18-27所示的 竖式中，不同的符号代表不同的数字，请找出每一个符号
对应的数字，并把这个竖式写出来。





【答案】544÷8＝68
【详解】 ○×○＝ □△，可能为4×4＝16，7×7＝49，8×8＝64，9×9＝81，
一一验证得只有68×8＝ 544满足，即：544÷8＝68.

6. 如图18-28， 在图中的每个方框内填入一个不是2的数字，可以使其成为正确
的算式，求所得的乘积。





【答案】
30096

【详解】
由已知条件，最后结果的首位数字不能是2，因此中能是3．这说明4位上作加
法时有进位．
百位数上相加时最多向千位进2，所以要使千位数有进位，其中的未知数字至少是
10－2－ 2＝6，即三个三位数加数中的第二个至少是600．因为它是第一个乘数与一个一
位数字的乘积，因此 该乘数肯定大于60．
第二个乘数的百位数字与第一个乘数的乘积在220～229之间，所以它只能是3
(否则4×60＞229)．而220~229之间个位数字不是2且是3的倍数的只有
25＝3×75和228＝3×76．
如果第一乘数是75，又第二个乘数的百位数字是3， 那么它们的乘积小于75×400＝30000，
它的首位数字也就不可能是3，不满足．
乘 数是76，另一个乘数就要大于30000÷76＞394，那么只有395、396、397、398、399
这五种可能，它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30324 ．由于各个
数字都不一能是2，所以只有76×396＝30096满足题目的要求．
算式中所得的乘积为30096．

7. 在图18-29的除法竖式中，除了给出的数字4名，空格内的数字都不是4，求
算式的被除数。

【答案】38766
【详解】由“黄金三角”可知竖式第四行第一位和第二位分别为1和0，第五行
第一位为9.因为除数是 四百多和九百多的因数，除数的百位只能为1，从而各位
为2. 验证得被除数为38766.

8. 图18-30是一个四位数除以一个一位数的除法竖式，图18-31是这个四位数除
以另一个一位数的除法竖式，求这个四位数。








【答案】1014或1035
[][]
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【详解】
①
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②
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0
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[]
[]
[]
0
由①式知被除数为10**，①式的除数为3或9；②式的除数为2或5，且大于被除数的< br>十位数字．
经验证，当①、②两式的除数分别为3和2时，被除数是1014；当①、②两式的 除数
分别为9和5时，被除数是1035．
有如下两种情况：

第一种情况 第二种情况
11
3
5
510
9
13
9
①
9
②
33
1
8
4
50
1
7
4
①
3
10
②
2
10
； 45
9
11
9
24
24
0
10
14< br>14
0
45
0
207
5
1035
10
；
35
35
0