初中数学公式判定方法大全
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初中数学公式判定方法大全
初中数学公式、判定方法大全
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
垂线段最短
7 平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直
线与这条直线平行
8
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直
线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14
两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论
三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等
于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2
三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和
20 推论3
三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应
相等的两个三角形全等
23
角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应
相等的两个三角形全等
24
推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相
等的两个三角形全等
25
边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三
角形全等
26 斜边、直角边公理(HL)
有斜边和一条直角边
对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1
在角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等
28 定理2
到一个角的两边的距离相同的点，在
这个角的平分线上
29
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点
的集合
30
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个
底角相等 (即等边对等角）
31 推论1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并
且垂直于底边
32
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和
底边上的高互相重合
33 推论3
等边三角形的各角都相等，并且每一
个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有
两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等
角对等边）
35
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2
有一个角等于60°的等腰三角形是
等边三角形
37
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那
么它所对的直角边等于斜边的一半
38
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两
个端点的距离相等
40 逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
41
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离
相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等
形
43 定理 2
如果两个图形关于某直线对称，那么
对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3
两个图形关于某直线对称，如果它们
的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理
如果两个图形的对应点连线被同一条
直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对
称
46勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方
和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、
b、c有关系a^2+b^2=c^2
，那么这个三角形是
直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理
n边形的内角的和等于
（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相
等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相
等
54推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线
互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四
边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的
四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2
矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是
矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是
矩形
64菱形性质定理1
菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并
且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）
÷2
67菱形判定定理1
四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边
形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直
角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，
并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2
关于中心对称的两个图形，对称点连
线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理
如果两个图形的对应点连线都经过某
一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理
等腰梯形在同一底上的两
个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等
的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条
直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直
线，必平分另一腰
80 推论2
经过三角形一边的中点与另一边平行
的直线，必平分第
三边
81
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于
第三边，并且等于它
的一半
82
梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，
并且等于两底和的
一半 L=（a+b）÷2
S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质
如果a／b=c／d,那么(a±b)／
b=(c±d)／d
85 (3)等比性质
如果a／b=c／d=…=m／
n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理
三条平行线截两
条直线，所得的对应
线段成比例
87
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边
（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88
定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边
的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直
线
平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交
的直线，
所截得的三角形的三边与原三角形三边
对应成比例
90 定理
平行于三角形一边的直线和其他两边
（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原
三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三
角形相似（ASA）
92
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三
角形和原三角形相似
93 判定定理2
两边对应成比例且夹角相等，两
三角形相似（SAS）
94 判定定理3
三边对应成比例，两三角形相似
（SSS）
95 定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直
角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两
个直角三角形相似
96 性质定理1
相似三角形对应高的比，对应中
线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
97
性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3
相似三角形面积的比等于相似比
的平方
99
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，
任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，
任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的
点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的
点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定
点为圆心，定长为半
径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨
迹，是着条线段的垂直
平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这
个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这
两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦并且
平分弦所对的两条弧
111推论1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的
两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并
且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
115推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的
其余各组量都相等
116定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半
117推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆
或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边
的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任
何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点
的半径
124推论1
经过圆心且垂直于切线的直线必经
过切点
125推论2
经过切点且垂直于切线的直线必经
过圆心
126切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧对的圆
周角
129推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么
这两个弦切角也相等
130相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分
成的两条线段长的积相等
131推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一
半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，
切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论
从圆外一点引圆的两条割线，这一点
到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r
②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切
d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R
＞r)
136定理
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公
共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内
接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为
顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个
内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°
／n
140定理
正n边形的半径和边心距把正n边形
分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边
形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，
由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）
(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R／180
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR
／2
146内公切线长=
d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
实用工具:常用数学公式
公式分类 公式表达式
乘法与因式分
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b|
|a|≤
b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
a2-b2=(a+b)(a-b)
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-√
(b2-4ac)2a
根与系数的关系 X1+X2=-ba X1*X2=ca 注：
韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0
注：方程没有实根，有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2)
sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2)
cos(A2)=-√
((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA))
ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB
tanA-
tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
-ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中
R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和
边c的夹角
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆
心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py
x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h'
正棱台侧面积
S=12(c+c')h'
圆台侧面积
S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积
S=12*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形
面积公式 s=12*l*r
锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式
V=13*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，
L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
sin30:二分之一 sin45:二分之根二 sin60:二分之
根三
cos30:二分之根三 cos45:二分之根二
cos60:二分之一
tan30:三分之根三 cos45:一 tan60:根
三
等比数列：
若q＝1 则S=n*a1
若q≠1
推倒过程：
S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-1)
等式两边同时乘q
S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^
1式－2式 有
S=a1*(1-q^n)(1-q)
等差数列
推导过程：
S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……(a1+(n-1)*d)
把这个公式倒着写一遍
S=(a1+(n-1)*d)
+(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+……＋a1
上两式相加有
S＝(2a1+(n-1)d)*n2=n*a1+n*(n-1)*d2
补充：
平行四边形
1. 两组对边分别平行
2. 对边相等
3. 平行四边形的对角相等
4.
邻角互补
5. 对角线互相平分
菱形的
1、四条边相等
2、两条对角线互相垂直平分
3、每一条对角线平分一组对角
矩形的
1.两条对角线相等
2 .四个角都是直角
正方形
既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱
形的一切性质。
一组邻边相等的矩形是正方形。
梯形 一组对边平行而另一组对边不平行
普通梯形
梯形
等腰梯形（1.两条腰相等2.同一底上的两
个内角相等3.对角线相等）
直角梯形（一条腰和底垂直）